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Teorema de Banach-Alaoglu

En el análisis funcional y ramas afines de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del ...

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En el análisis funcional y ramas afines de las matemáticas , el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu ) establece que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado es compacta en la topología débil* . [ 1 ] Una demostración común identifica la bola unitaria con la topología débil* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología producto . Como consecuencia del teorema de Tychonoff , este producto, y por lo tanto la bola unitaria que contiene, es compacta.

Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, a saber, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.

Historia

Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema de Alaoglu es un “resultado muy importante —quizás el hecho más importante sobre la topología débil-* —[que] resuena en todo el análisis funcional”. [ 2 ] En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo dedo([a,b]){\displaystyle C([a,b])}es débilmente* compacto numerable. [ 3 ] En 1932, Stefan Banach demostró que la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado separable es débilmente* compacto secuencialmente (Banach solo consideró la compacidad secuencial ). [ 3 ] La demostración para el caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu . Según Pietsch [2007], hay al menos doce matemáticos que pueden reclamar este teorema o un importante predecesor del mismo. [ 2 ]

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización [ 4 ] [ 5 ] del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos . Este teorema también se denomina teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil* y comúnmente se le llama simplemente teorema de Alaoglu . [ 2 ]

Declaración

Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial sobre el campoK{\displaystyle \mathbb {K} }entoncesincógnita#{\displaystyle X^{\#}}denotará el espacio dual algebraico deincógnita{\displaystyle X}y estos dos espacios quedan asociados de ahora en adelante con el mapa de evaluación bilineal.⟨⋅,⋅⟩:incógnita×incógnita#→K{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }definido por ⟨incógnita,F⟩ =definición F(incógnita){\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x)} donde el triple⟨incógnita,incógnita#,⟨⋅,⋅⟩⟩{\displaystyle \left\langle X,X^{\#},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right\rangle }forma un sistema dual llamado sistema dual canónico .

Siincógnita{\displaystyle X}Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces su espacio dual continuo se denotará porincógnita′,{\displaystyle X^{\prime },}dóndeincógnita′⊆incógnita#{\displaystyle X^{\prime }\subsetequ X^{\#}}siempre se cumple. Denotemos la topología débil-* enincógnita#{\displaystyle X^{\#}}porσ(incógnita#,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}y denotamos la topología débil-* enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}porσ(incógnita′,incógnita).{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).} La topología débil-* también se llama topología de convergencia puntual porque dada una aplicaciónF{\displaystyle f}y una red de mapasF∙=(Fi)i∈I,{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I},}la redF∙{\displaystyle f_{\bullet }}converge aF{\displaystyle f}en esta topología si y solo si para cada puntoincógnita{\displaystyle x}en el dominio, la red de valores(Fi(incógnita))i∈I{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}converge al valorF(incógnita).{\displaystyle f(x).}

Teorema de Alaoglu [ 3 ] — Para cualquier espacio vectorial topológico (TVS)incógnita{\displaystyle X}( no necesariamente de Hausdorff o localmente convexa ) con espacio dual continuoincógnita′,{\displaystyle X^{\prime },}el polarU∘={F∈incógnita′ : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} de cualquier barrioU{\displaystyle U}de origen enincógnita{\displaystyle X}es compacto en la topología débil-* [ nota 1 ]σ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}enincógnita′.{\displaystyle X^{\prime }.}Además,U∘{\displaystyle U^{\circ }}es igual al polar deU{\displaystyle U} con respecto al sistema canónico⟨incógnita,incógnita#⟩{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }y también es un subconjunto compacto de(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)).{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}

Demostración que involucra la teoría de la dualidad.

Prueba

Denotemos por el campo subyacente deincógnita{\displaystyle X}porK,{\displaystyle \mathbb {K} ,}que son los números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }o números complejosdo.{\displaystyle \mathbb {C} .} Esta demostración utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar , sistema dual y operador lineal continuo .

Para comenzar la demostración, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificables. Cuandoincógnita#{\displaystyle X^{\#}}está dotado de la topología débil-*σ(incógnita#,incógnita),{\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right),}entonces este espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff se denota por(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)).{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} El espacio(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}siempre es un TVS completo ; sin embargo,(incógnita′,σ(incógnita′,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}puede que no sea un espacio completo, razón por la cual esta prueba involucra el espacio(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)).{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).} Específicamente, esta demostración utilizará el hecho de que un subconjunto de un espacio de Hausdorff completo es compacto si (y solo si) es cerrado y totalmente acotado . Es importante destacar que la topología del subespacio queincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}hereda de(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}es igual aσ(incógnita′,incógnita).{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}Esto se puede verificar fácilmente demostrando que, dado cualquierF∈incógnita′,{\displaystyle f\in X^{\prime },}una red enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}converge aF{\displaystyle f}en una de estas topologías si y solo si también converge aF{\displaystyle f}en la otra topología (la conclusión se deduce porque dos topologías son iguales si y solo si tienen exactamente las mismas redes convergentes).

El triple⟨incógnita,incógnita′⟩{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }es un emparejamiento dual aunque a diferencia⟨incógnita,incógnita#⟩,{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}En general, no se garantiza que sea un sistema dual. A menos que se indique lo contrario, todos los conjuntos polares se tomarán con respecto al emparejamiento canónico.⟨incógnita,incógnita′⟩.{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}

DejarU{\displaystyle U} ser un barrio del origen enincógnita{\displaystyle X}y dejar:

  • U∘={F∈incógnita′ : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}{\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}ser el polo deU{\displaystyle U}con respecto al emparejamiento canónico⟨incógnita,incógnita′⟩{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle };
  • U∘∘={incógnita∈incógnita : sorberF∈U∘|F(incógnita)|≤1}{\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}ser el bipolar deU{\displaystyle U}con respecto a⟨incógnita,incógnita′⟩{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle };
  • U#={F∈incógnita# : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}{\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}ser el polo deU{\displaystyle U}con respecto al sistema dual canónico⟨incógnita,incógnita#⟩.{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle .}Tenga en cuenta queU∘=U#∩incógnita′.{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime }.}

Un hecho bien conocido sobre los conjuntos polares es queU∘∘∘⊆U∘.{\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }.}

  1. Demuestra queU#{\displaystyle U^{\#}}es unσ(incógnita#,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}-subconjunto cerrado deincógnita#:{\displaystyle X^{\#}:}DejarF∈incógnita#{\displaystyle f\in X^{\#}}y supongamos queF∙=(Fi)i∈I{\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}es una red enU#{\displaystyle U^{\#}}que converge aF{\displaystyle f}en(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)).{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}Para concluir queF∈U#,{\displaystyle f\in U^{\#},}Es suficiente (y necesario) demostrar que|F(tú)|≤1{\displaystyle |f(u)|\leq 1}por cadatú∈U.{\displaystyle u\in U.}PorqueFi(tú)→F(tú){\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}en el campo escalarK{\displaystyle \mathbb {K} }y cada valorFi(tú){\displaystyle f_{i}(u)}pertenece al cerrado (enK{\displaystyle \mathbb {K} }) subconjunto{s∈K:|s|≤1},{\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\},} así también debe ser el límite de esta red.F(tú){\displaystyle f(u)}pertenecen a este conjunto. Por lo tanto|F(tú)|≤1.{\displaystyle |f(u)|\leq 1.}
  2. Demuestra queU#=U∘{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}y luego concluir queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es un subconjunto cerrado de ambos(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}y(incógnita′,σ(incógnita′,incógnita)):{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right):}La inclusiónU∘⊆U#{\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}Se cumple porque todo funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversaU#⊆U∘,{\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ },\,}dejarF∈U#{\displaystyle f\in U^{\#}}de modo quesorbertú∈U|F(tú)|≤1,{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}lo cual afirma exactamente que el funcional linealF{\displaystyle f}está delimitado por el vecindarioU{\displaystyle U}; de este modoF{\displaystyle f}es un funcional lineal continuo (es decir,F∈incógnita′{\displaystyle f\in X^{\prime }}) y entoncesF∈U∘,{\displaystyle f\in U^{\circ },}como se desea. Usando (1) y el hecho de que la intersecciónU#∩incógnita′=U∘∩incógnita′=U∘{\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}está cerrado en la topología del subespacio enincógnita′,{\displaystyle X^{\prime },}la afirmación sobreU∘{\displaystyle U^{\circ }}El cierre es posterior.
  3. Demuestra queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es unσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}- subconjunto totalmente acotado deincógnita′:{\displaystyle X^{\prime }:}Según el teorema bipolar ,U⊆U∘∘{\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}donde porque el vecindarioU{\displaystyle U}es un subconjunto absorbente deincógnita,{\displaystyle X,}Lo mismo debe ser cierto para el conjuntoU∘∘;{\displaystyle U^{\circ \circ };}Es posible demostrar que esto implica queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es unσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}- subconjunto acotado deincógnita′.{\displaystyle X^{\prime }.}Porqueincógnita{\displaystyle X}distingue puntos deincógnita′,{\displaystyle X^{\prime },}un subconjunto deincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}esσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}-limitado si y solo si esσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}- totalmente limitado . Así que en particular,U∘{\displaystyle U^{\circ }}también lo esσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}-totalmente limitado.
  4. Concluir queU∘{\displaystyle U^{\circ }}también es unσ(incógnita#,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}-subconjunto totalmente acotado deincógnita#:{\displaystyle X^{\#}:}Recuerda que elσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}topología enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}es idéntica a la topología de subespacio queincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}hereda de(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)).{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente acotado", implica queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es unσ(incógnita#,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}-subconjunto totalmente acotado deincógnita#.{\displaystyle X^{\#}.}
  5. Finalmente, deduce queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es unσ(incógnita′,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}-subconjunto compacto deincógnita′:{\displaystyle X^{\prime }:}Porque(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}es un TVS completo yU∘{\displaystyle U^{\circ }}es un subconjunto cerrado (por (2)) y totalmente acotado (por (4)) de(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)),{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right),}resulta queU∘{\displaystyle U^{\circ }}es compacto.◼{\displaystyle \blacksquare }

Siincógnita{\displaystyle X}Si es un espacio vectorial normado , entonces el polar de un entorno es cerrado y acotado en norma en el espacio dual. En particular, siU{\displaystyle U} es la bola de unidad abierta (o cerrada) enincógnita{\displaystyle X}entonces el polar deU{\displaystyle U}es la bola de unidad cerrada en el espacio doble continuoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}deincógnita{\displaystyle X}(con la norma dual usual ). En consecuencia, este teorema puede especializarse a:

Teorema de Banach-Alaoglu — Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio normado entonces la bola de unidad cerrada en el espacio dual continuoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}(dotado de su norma de operador usual ) es compacto con respecto a la topología débil-* .

Cuando el espacio dual continuoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}deincógnita{\displaystyle X}es un espacio normado de dimensión infinita, entonces es imposible que la bola unitaria cerrada enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}ser un subconjunto compacto cuandoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}tiene su topología de norma habitual. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología de norma es compacta si y solo si el espacio es de dimensión finita (véase el teorema de F. Riesz ). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial.

Cabe señalar que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil* sea localmente compacta . Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo un entorno del origen en la topología fuerte , pero generalmente no lo es en la topología débil*, ya que tiene interior vacío en esta última, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, Weil demostró que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.

Prueba elemental

La siguiente demostración elemental no utiliza la teoría de la dualidad y solo requiere conceptos básicos de teoría de conjuntos, topología y análisis funcional. De topología se necesita un conocimiento práctico de la convergencia neta en espacios topológicos y familiaridad con el hecho de que un funcional lineal es continuo si y solo si está acotado en un entorno del origen (véanse los artículos sobre funcionales lineales continuos y funcionales sublineales para más detalles). También se requiere una comprensión adecuada de los detalles técnicos de cómo el espacioKincógnita{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}de todas las funciones de la formaincógnita→K{\displaystyle X\to \mathbb {K} }se identifica como el producto cartesiano∏incógnita∈incógnitaK,{\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} ,}y la relación entre la convergencia puntual , la topología del producto y las topologías de subespacio que inducen en subconjuntos como el espacio dual algebraico.incógnita#{\displaystyle X^{\#}}y productos de subespacios como∏incógnita∈incógnitaBrincógnita.{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.} A continuación, se ofrece una explicación de estos detalles para los lectores interesados.

La esencia del teorema de Banach-Alaoglu se puede encontrar en la siguiente proposición, de la cual se deduce el teorema de Banach-Alaoglu. A diferencia del teorema de Banach-Alaoglu, esta proposición no requiere el espacio vectorial.incógnita{\displaystyle X}dotado de cualquier topología.

Proposición [ 3 ] — SeaU{\displaystyle U}ser un subconjunto de un espacio vectorialincógnita{\displaystyle X}sobre el campoK{\displaystyle \mathbb {K} }(dóndeK=R o K=do{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {K} =\mathbb {C} }) y para cada número realr,{\displaystyle r,}dotar a la pelota cerradaBr =definición {s∈K:|s|≤r}{\textstyle B_{r}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}} con su topología habitual (incógnita{\displaystyle X}no es necesario que esté dotado de ninguna topología, sinoK{\displaystyle \mathbb {K} }tiene su topología euclidiana habitual ). Definir U# =definición {F∈incógnita# : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}.{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}.}

Si por cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}rincógnita>0{\displaystyle r_{x}>0}es un número real tal queincógnita∈rincógnitaU,{\displaystyle x\in r_{x}U,}entoncesU#{\displaystyle U^{\#}}es un subespacio cerrado y compacto del espacio del producto∏incógnita∈incógnitaBrincógnita{\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}(donde debido a que esta topología de producto es idéntica a la topología de convergencia puntual , que también se denomina topología débil-* en análisis funcional, esto significa queU#{\displaystyle U^{\#}}es compacto en la topología débil-* o "compacto débil-*" para abreviar).

Antes de probar la proposición anterior, primero se muestra cómo se deduce de ella el teorema de Banach-Alaoglu (a diferencia de la proposición, Banach-Alaoglu supone queincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico (TVS) y queU{\displaystyle U}es un barrio del origen).

Demostración de que la proposición Banach-Alaoglu se deduce de la proposición anterior.

Supongamos queincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico con espacio dual continuoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}y esoU{\displaystyle U}es un barrio del origen. PorqueU{\displaystyle U}es un barrio del origen enincógnita,{\displaystyle X,}También es un subconjunto absorbente deincógnita,{\displaystyle X,}así que para cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}existe un número realrincógnita>0{\displaystyle r_{x}>0}de tal manera queincógnita∈rincógnitaU.{\displaystyle x\in r_{x}U.} Por lo tanto, las hipótesis de la proposición anterior se satisfacen, y así el conjuntoU#{\displaystyle U^{\#}}es, por lo tanto, compacto en la topología débil-* . La demostración del teorema de Banach-Alaoglu estará completa una vez que se demuestre queU#=U∘,{\displaystyle U^{\#}=U^{\circ },}[ nota 2 ] donde recordemos queU∘{\displaystyle U^{\circ }}se definió como U∘ =definición {F∈incógnita′ : sorbertú∈U|F(tú)|≤1} = U#∩incógnita′.{\displaystyle U^{\circ }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~U^{\#}\cap X^{\prime }.}

Prueba de queU∘=U#:{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}:} PorqueU∘=U#∩incógnita′,{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}\cap X^{\prime },}La conclusión es equivalente aU#⊆incógnita′.{\displaystyle U^{\#}\subseteq X^{\prime }.} SiF∈U#{\displaystyle f\in U^{\#}}entoncessorbertú∈U|F(tú)|≤1,{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}lo cual afirma exactamente que el funcional linealF{\displaystyle f}está delimitado por el vecindarioU;{\displaystyle U;}de este modoF{\displaystyle f}es un funcional lineal continuo (es decir,F∈incógnita′{\displaystyle f\in X^{\prime }}), según se desee. ◼{\displaystyle \blacksquare }

Prueba de la proposición

El espacio de productos∏incógnita∈incógnitaBrincógnita{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}es compacto por el teorema de Tychonoff (ya que cada bola cerradaBrincógnita =definición {s∈K:|s|≤rincógnita}{\displaystyle B_{r_{x}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r_{x}\}} es un espacio compacto de Hausdorff [ nota 3 ] . Debido a que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, la demostración de la proposición estará completa una vez que se demuestre que U# =definición {F∈incógnita# : sorbertú∈U|F(tú)|≤1} = {F∈incógnita# : F(U)⊆B1}{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}} es un subconjunto cerrado de∏incógnita∈incógnitaBrincógnita.{\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.} Las siguientes afirmaciones garantizan esta conclusión:

  1. U#⊆∏incógnita∈incógnitaBrincógnita.{\displaystyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}
  2. U#{\displaystyle U^{\#}}es un subconjunto cerrado del espacio de productos∏incógnita∈incógnitaK=Kincógnita.{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}.}

Demostración de (1) :

Para cualquierz∈incógnita,{\displaystyle z\in X,}dejarPrz:∏incógnita∈incógnitaK→K{\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }denota la proyección alz{\displaystyle z}coordenada -ésima ( como se definió anteriormente ). Para demostrar queU#⊆∏incógnita∈incógnitaBrincógnita,{\textstyle U^{\#}\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}},}Es suficiente (y necesario) demostrar quePrincógnita(U#)⊆Brincógnita{\displaystyle \Pr {}_{x}\left(U^{\#}\right)\subseteq B_{r_{x}}}por cadaincógnita∈incógnita.{\displaystyle x\in X.} Así que arreglarincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}y dejarF∈U#.{\displaystyle f\in U^{\#}.} PorquePrincógnita(F)=F(incógnita),{\displaystyle \Pr {}_{x}(f)\,=\,f(x),}Queda por demostrar queF(incógnita)∈Brincógnita.{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}.} Recuerda querincógnita>0{\displaystyle r_{x}>0}se definió en el enunciado de la proposición como cualquier número real positivo que satisfaceincógnita∈rincógnitaU{\displaystyle x\in r_{x}U}(por ejemplo,rtú:=1{\displaystyle r_{u}:=1}sería una opción válida para cada unotú∈U{\displaystyle u\in U}), lo que implicatúincógnita =definición 1rincógnitaincógnita∈U.{\displaystyle \,u_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\frac {1}{r_{x}}}\,x\in U.\,} PorqueF{\displaystyle f}es una función homogénea positiva que satisfacesorbertú∈U|F(tú)|≤1,{\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,\,}1rincógnita|F(incógnita)|=|1rincógnitaF(incógnita)|=|F(1rincógnitaincógnita)|=|F(túincógnita)|≤sorbertú∈U|F(tú)|≤1.{\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}

De este modo|F(incógnita)|≤rincógnita,{\displaystyle |f(x)|\leq r_{x},}lo cual demuestra queF(incógnita)∈Brincógnita,{\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}},}como se desee.

Demostración de (2) :

El espacio dual algebraicoincógnita#{\displaystyle X^{\#}}siempre es un subconjunto cerrado deKincógnita=∏incógnita∈incógnitaK{\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }(Esto se demuestra en el lema siguiente para los lectores que no estén familiarizados con este resultado). El conjunto UB1=definición{        F ∈Kincógnita    :sorbertú∈U|F(tú)|≤1}={        F∈Kincógnita    :F(tú)∈B1 a pesar de tú∈U}={(Fincógnita)incógnita∈incógnita∈∏incógnita∈incógnitaK :  Ftú ∈B1 a pesar de tú∈U}=∏incógnita∈incógnitadoincógnita dónde doincógnita =definición {B1 si incógnita∈UK si incógnita∉U{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}U_{B_{1}}&\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,{\Big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\ \in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}\\&={\big \{}~~\;~~\;~~\;~~f\,\in \mathbb {K} ^{X}~~\;~~:f(u)\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\big \}}\\&={\Big \{}\left(f_{x}\right)_{x\in X}\in \prod _{x\in X}\mathbb {K} \,~:~\;~f_{u}~\in B_{1}{\text{ for all }}u\in U{\Big \}}\\&=\prod _{x\in X}C_{x}\quad {\text{ where }}\quad C_{x}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\begin{cases}B_{1}&{\text{ if }}x\in U\\\mathbb {K} &{\text{ if }}x\not \in U\\\end{cases}}\\\end{alignedat}}} está cerrado en la topología del producto en∏incógnita∈incógnitaK=Kincógnita{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} =\mathbb {K} ^{X}}puesto que es un producto de subconjuntos cerrados deK.{\displaystyle \mathbb {K} .} De este modoUB1∩incógnita#=U#{\displaystyle U_{B_{1}}\cap X^{\#}=U^{\#}}es una intersección de dos subconjuntos cerrados deKincógnita,{\displaystyle \mathbb {K} ^{X},}lo cual prueba (2). [ nota 4 ]◼{\displaystyle \blacksquare }

La conclusión de que el conjuntoUB1={F∈Kincógnita:F(U)⊆B1}{\displaystyle U_{B_{1}}=\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}También se puede llegar a un estado cerrado aplicando el siguiente resultado más general, esta vez demostrado usando redes, al caso especial.Y:=K{\displaystyle Y:=\mathbb {K} }yB:=B1.{\displaystyle B:=B_{1}.}

Observación : SiU⊆incógnita{\displaystyle U\subseteq X}es cualquier conjunto y siB⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}es un subconjunto cerrado de un espacio topológicoY,{\displaystyle Y,}entoncesUB =definición {F∈Yincógnita:F(U)⊆B}{\displaystyle U_{B}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in Y^{X}:f(U)\subseteq B\right\}}es un subconjunto cerrado deYincógnita{\displaystyle Y^{X}}en la topología de convergencia puntual.
Prueba de observación : SeaF∈Yincógnita{\displaystyle f\in Y^{X}}y supongamos que(Fi)i∈I{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}es una red enUB{\displaystyle U_{B}}que converge puntualmente aF.{\displaystyle f.}Queda por demostrar queF∈UB,{\displaystyle f\in U_{B},}lo cual por definición significaF(U)⊆B.{\displaystyle f(U)\subseteq B.}Para cualquiertú∈U,{\displaystyle u\in U,}porque(Fi(tú))i∈I→F(tú){\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}enY{\displaystyle Y}y cada valorFi(tú)∈Fi(U)⊆B{\displaystyle f_{i}(u)\in f_{i}(U)\subseteq B}pertenece al cerrado (enY{\displaystyle Y}) subconjuntoB,{\displaystyle B,}Así también el límite de esta red debe pertenecer a este conjunto cerrado; por lo tantoF(tú)∈B,{\displaystyle f(u)\in B,}con lo cual se completa la demostración.◼{\displaystyle \blacksquare }

Lema (incógnita#{\displaystyle X^{\#}}está cerrado enKincógnita{\displaystyle \mathbb {K} ^{X}})— El espacio dual algebraicoincógnita#{\displaystyle X^{\#}}de cualquier espacio vectorialincógnita{\displaystyle X}sobre un campoK{\displaystyle \mathbb {K} }(dóndeK{\displaystyle \mathbb {K} }esR{\displaystyle \mathbb {R} }odo{\displaystyle \mathbb {C} }) es un subconjunto cerrado deKincógnita=∏incógnita∈incógnitaK{\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }en la topología de convergencia puntual. (El espacio vectorialincógnita{\displaystyle X}no es necesario que esté dotado de ninguna topología).

El lema anterior en realidad también se deduce de su corolario a continuación, ya que∏incógnita∈incógnitaK{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }es un espacio uniforme completo de Hausdorff y cualquier subconjunto de dicho espacio (en particularincógnita#{\displaystyle X^{\#}}) se cierra si y solo si está completo.

Corolario del lema (incógnita#{\displaystyle X^{\#}}es débil-* completo) — Cuando el espacio dual algebraicoincógnita#{\displaystyle X^{\#}}de un espacio vectorialincógnita{\displaystyle X}está equipado con la topologíaσ(incógnita#,incógnita){\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}de convergencia puntual (también conocida como topología débil-*) entonces el espacio topológico resultante(incógnita#,σ(incógnita#,incógnita)){\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff completo .

La demostración elemental anterior del teorema de Banach-Alaoglu muestra en realidad que siU⊆incógnita{\displaystyle U\subseteq X}es cualquier subconjunto que satisfaceincógnita=(0,∞)U =definición {rtú:r>0,tú∈U}{\displaystyle X=(0,\infty )U~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{ru:r>0,u\in U\}}(como cualquier subconjunto absorbente deincógnita{\displaystyle X}), entoncesU# =definición {F∈incógnita#:F(U)⊆B1}{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{f\in X^{\#}:f(U)\subseteq B_{1}\right\}}es un subconjunto débilmente compacto deincógnita#.{\displaystyle X^{\#}.}

Como nota al margen, con la ayuda de la demostración elemental anterior, se puede demostrar (véase esta nota al pie) [ demostración 1 ] que existenincógnita{\displaystyle X}números reales no negativos indexadosmetro∙=(metroincógnita)incógnita∈incógnita{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{x}\right)_{x\in X}}de tal manera que U∘=U#=incógnita#∩∏incógnita∈incógnitaBmetroincógnita=incógnita′∩∏incógnita∈incógnitaBmetroincógnita{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}U^{\circ }&=U^{\#}&&\\&=X^{\#}&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\&=X^{\prime }&&\cap \prod _{x\in X}B_{m_{x}}\\\end{alignedat}}} donde estos números realesmetro∙{\displaystyle m_{\bullet }}También se puede optar por ser "mínimo" en el siguiente sentido: utilizandoPAG =definición U∘{\displaystyle P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\circ }}(entoncesPAG=U#{\displaystyle P=U^{\#}}como en la demostración) y definiendo la notación∏BR∙ =definición ∏incógnita∈incógnitaBRincógnita{\displaystyle \prod B_{R_{\bullet }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{x\in X}B_{R_{x}}}para cualquierR∙=(Rincógnita)incógnita∈incógnita∈Rincógnita,{\displaystyle R_{\bullet }=\left(R_{x}\right)_{x\in X}\in \mathbb {R} ^{X},}si TPAG =definición {R∙∈Rincógnita : PAG⊆∏BR∙}{\displaystyle T_{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{R_{\bullet }\in \mathbb {R} ^{X}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\}} entoncesmetro∙∈TPAG{\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}y por cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}metroincógnita=inf{Rincógnita:R∙∈TPAG},{\displaystyle m_{x}=\inf \left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\},} lo que demuestra que estos númerosmetro∙{\displaystyle m_{\bullet }}son únicos; de hecho, esta fórmula del ínfimo puede utilizarse para definirlos.

De hecho, siCajaPAG{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}denota el conjunto de todos esos productos de bolas cerradas que contienen el conjunto polar.PAG,{\displaystyle P,}CajaPAG⁡ =definición {∏BR∙ : R∙∈TPAG} = {∏BR∙ : PAG⊆∏BR∙},{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~R_{\bullet }\in T_{P}\right\}~=~\left\{\prod B_{R_{\bullet }}~:~P\subseteq \prod B_{R_{\bullet }}\right\},} entonces ∏Bmetro∙=∩CajaPAG∈CajaPAG{\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P}} dónde⋂CajaPAG{\textstyle \bigcap \operatorname {Box} _{P}}denota la intersección de todos los conjuntos pertenecientes aCajaPAG.{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}.}

Esto implica (entre otras cosas [ nota 5 ] ) que∏Bmetro∙=∏incógnita∈incógnitaBmetroincógnita{\textstyle \prod B_{m_{\bullet }}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}}el elemento mínimo único deCajaPAG{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}con respecto a⊆;{\displaystyle \,\subseteq ;} esto puede usarse como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado ). La funciónmetro∙ =definición (metroincógnita)incógnita∈incógnita:incógnita→[0,∞){\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}:X\to [0,\infty )}es una semirroma y no cambia siU{\displaystyle U}es reemplazado por el casco equilibrado convexo deU{\displaystyle U}(porqueU#=[cobal⁡U]#{\displaystyle U^{\#}=[\operatorname {cobal} U]^{\#}}). De manera similar, porqueU∘=[clincógnita⁡U]∘,{\displaystyle U^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}U\right]^{\circ },}metro∙{\displaystyle m_{\bullet }}tampoco cambia siU{\displaystyle U}es reemplazado por su cierre enincógnita.{\displaystyle X.}

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del mismo, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil*. De hecho, la topología débil* en la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio separable es metrizable , por lo que la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.

Específicamente, dejemosincógnita{\displaystyle X}sea ​​un espacio normado separable yB{\displaystyle B}la bola de unidad cerrada enincógnita′.{\displaystyle X^{\prime }.}Desdeincógnita{\displaystyle X}es separable, dejemosincógnita∙=(incógnitanorte)norte=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}sea ​​un subconjunto denso numerable. Entonces, lo siguiente define una métrica, donde para cualquierincógnita,y∈B{\displaystyle x,y\in B}ρ(incógnita,y)=∑norte=1∞2−norte|⟨incógnita−y,incógnitanorte⟩|1+|⟨incógnita−y,incógnitanorte⟩|{\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}} en el cual⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }denota el emparejamiento de dualidad deincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}conincógnita.{\displaystyle X.} Compacidad secuencial deB{\displaystyle B}en esta métrica se puede demostrar mediante un argumento de diagonalización similar al empleado en la demostración del teorema de Arzelà–Ascoli .

Debido a la naturaleza constructiva de su demostración (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de elección), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu se utiliza a menudo en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a problemas de EDP o variacionales . Por ejemplo, si se quiere minimizar una funciónF:incógnita′→R{\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }en el dual de un espacio vectorial normado separableincógnita,{\displaystyle X,}Una estrategia común es construir primero una secuencia minimizadora.incógnita1,incógnita2,…∈incógnita′{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}que se aproxima al ínfimo deF,{\displaystyle F,}Utilizar el teorema secuencial de Banach-Alaoglu para extraer una subsecuencia que converge en la topología débil* a un límite.incógnita,{\displaystyle x,}y luego establecer queincógnita{\displaystyle x}es un minimizador deF.{\displaystyle F.} El último paso a menudo requiereF{\displaystyle F}obedecer una propiedad de semicontinuidad inferior (secuencial) en la topología débil*.

Cuandoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}es el espacio de medidas de Radon finitas en la recta real (de modo queincógnita=do0(R){\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}es el espacio de funciones continuas que se anulan en el infinito, por el teorema de representación de Riesz ), el teorema secuencial de Banach-Alaoglu es equivalente al teorema de selección de Helly .

Prueba

Por cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}dejar Dincógnita={do∈do:|do|≤‖incógnita‖}{\displaystyle D_{x}=\{c\in \mathbb {C} :|c|\leq \|x\|\}} y sea D=∏incógnita∈incógnitaDincógnita{\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}} estar dotado de la topología del producto . Porque cadaDincógnita{\displaystyle D_{x}}es un subconjunto compacto del plano complejo, el teorema de Tychonoff garantiza que su productoD{\displaystyle D}es compacto.

La bola de unidad cerrada enincógnita′,{\displaystyle X^{\prime },}denotado porB1′,{\displaystyle B_{1}^{\,\prime },}puede identificarse como un subconjunto deD{\displaystyle D}de forma natural: F:B1′→DF↦(F(incógnita))incógnita∈incógnita.{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}F:\;&&B_{1}^{\,\prime }&&\;\to \;&D\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&(f(x))_{x\in X}.\\\end{alignedat}}}

Este mapa es inyectivo y es continuo cuandoB1′{\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}tiene la topología débil-* . La inversa de esta aplicación, definida en su imagen, también es continua.

Ahora se demostrará que la imagen del mapa anterior está cerrada, lo que completará la demostración del teorema. Dado un puntoλ∙=(λincógnita)incógnita∈incógnita∈D{\displaystyle \lambda _{\bullet }=\left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}\in D}y una red(Fi(incógnita))incógnita∈incógnita{\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}}en la imagen deF{\displaystyle F}indexado pori∈I{\displaystyle i\in I}de tal manera que límitei(Fi(incógnita))incógnita∈incógnita→λ∙ en D,{\displaystyle \lim _{i}\left(f_{i}(x)\right)_{x\in X}\to \lambda _{\bullet }\quad {\text{ in }}D,} el funcionalgramo:incógnita→do{\displaystyle g:X\to \mathbb {C} }definido por gramo(incógnita)=λincógnita por cada incógnita∈incógnita,{\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\qquad {\text{ for every }}x\in X,} se encuentra enB1′{\displaystyle B_{1}^{\,\prime }}yF(gramo)=λ∙.{\displaystyle F(g)=\lambda _{\bullet }.}◼{\displaystyle \blacksquare }

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normalizados

Supongamos queincógnita{\displaystyle X}es un espacio normalizado y dota a su continuo espacio dualincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}con la norma dual habitual .

  • La bola de unidad cerrada enincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}es débilmente* compacto. [ 3 ] Entonces siincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}Si es de dimensión infinita, entonces su bola unitaria cerrada no es necesariamente compacta en la topología de norma según el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débilmente compacta).
  • Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada esσ(incógnita,incógnita′){\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}-compacto; esto se conoce como el teorema de James . [ 3 ]
  • Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio de Banach reflexivo , entonces toda secuencia acotada enincógnita{\displaystyle X}tiene una subsucesión débilmente convergente. (Esto se deduce al aplicar el teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrizable deincógnita{\displaystyle X}; o, más sucintamente, aplicando el teorema de Eberlein-Šmulian .) Por ejemplo, supongamos queincógnita{\displaystyle X}es el espacio Lp espacioLpag(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}dónde1<pag<∞{\displaystyle 1<p<\infty }y dejarq{\displaystyle q}satisfacer1pag+1q=1.{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.} DejarF1,F2,…{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }sea ​​una secuencia acotada de funciones enincógnita.{\displaystyle X.} Entonces existe una subsecuencia(Fnortek)k=1∞{\displaystyle \left(f_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}y unF∈incógnita{\displaystyle f\in X}de tal manera que ∫Fnortekgramodμ→∫Fgramodμ a pesar de gramo∈Lq(μ)=incógnita′.{\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu \qquad {\text{ for all }}g\in L^{q}(\mu )=X^{\prime }.} El resultado correspondiente parapag=1{\displaystyle p=1}no es cierto, ya queL1(μ){\displaystyle L^{1}(\mu )}no es reflexivo.

Consecuencias para los espacios de Hilbert

  • En un espacio de Hilbert, todo conjunto acotado y cerrado es débilmente relativamente compacto, por lo tanto, toda red acotada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos ).
  • Como los conjuntos convexos cerrados en norma son débilmente cerrados ( teorema de Hahn-Banach ), los cierres en norma de conjuntos convexos acotados en espacios de Hilbert o espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.
  • Conjuntos cerrados y acotados enB(H){\displaystyle B(H)}son precompactos con respecto a la topología del operador débil (la topología del operador débil es más débil que la topología ultradébil que a su vez es la topología débil-* con respecto al predual deB(H),{\displaystyle B(H),}los operadores de clase traza ). Por lo tanto, las secuencias acotadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. Como consecuencia,B(H){\displaystyle B(H)}tiene la propiedad de Heine-Borel , si está equipado con el operador débil o la topología ultradébil.

Relación con el axioma de elección y otros enunciados

El teorema de Banach-Alaoglu puede demostrarse utilizando el teorema de Tychonoff , que, bajo el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( ZF ), es equivalente al axioma de elección . La mayor parte del análisis funcional convencional se basa en ZF + el axioma de elección, que a menudo se denota por ZFC . Sin embargo, el teorema no depende del axioma de elección en el caso separable (véase más arriba ): en este caso, existe una demostración constructiva. En el caso general de un espacio normado arbitrario, el lema del ultrafiltro , que es estrictamente más débil que el axioma de elección y equivalente al teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff , basta para la demostración del teorema de Banach-Alaoglu y, de hecho, es equivalente a él.

El teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro , que implica el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales ( HB ), pero no es equivalente a él (dicho de otra manera, Banach-Alaoglu también es estrictamente más fuerte que HB ). Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach es equivalente a la siguiente versión débil del teorema de Banach-Alaoglu para espacios normados [ 6 ] en la que la conclusión de compacidad (en la topología débil-* de la bola unitaria cerrada del espacio dual) se reemplaza por la conclusión de cuasicompacidad (también llamada a veces compacidad convexa );

Versión débil del teorema de Alaoglu [ 6 ] —Seaincógnita{\displaystyle X}ser un espacio normalizado y dejarB{\displaystyle B}denotamos la bola unitaria cerrada de su espacio dual continuo.incógnita′.{\displaystyle X^{\prime }.}EntoncesB{\displaystyle B}tiene la siguiente propiedad, que se llama ( débil-* )cuasicompacidad ocompacidad convexa : siempre quedo{\displaystyle {\mathcal {C}}}es una portada deB{\displaystyle B}por subconjuntos convexos débilmente cerrados* deincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}de tal manera que{B∩do:do∈do}{\displaystyle \{B\cap C:C\in {\mathcal {C}}\}}tiene la propiedad de intersección finita , entoncesB∩⋂do∈dodo{\displaystyle B\cap \bigcap _{C\in {\mathcal {C}}}C}no está vacío.

La compacidad implica compacidad convexa, ya que un espacio topológico es compacto si y solo si toda familia de subconjuntos cerrados que posee la propiedad de intersección finita (PIF) tiene una intersección no vacía. La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización de espacios compactos en términos de la PIF, con la salvedad de que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también son convexos (en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

Véase también

Notas

  1. ↑ Explícitamente, un subconjuntoB′⊆incógnita′{\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}Se dice que es "compacto (resp. totalmente acotado, etc.) en la topología débil-*" si cuandoincógnita′{\displaystyle X^{\prime }}se le da la topología débil-* y el subconjuntoB′{\displaystyle B^{\prime }}se le da la topología de subespacio heredada de(incógnita′,σ(incógnita′,incógnita)),{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}entoncesB′{\displaystyle B^{\prime }}es un espacio compacto (respectivamente, totalmente acotado , etc.).
  2. ↑ Siτ{\displaystyle \tau }denota la topología queincógnita{\displaystyle X}está (originalmente) dotado de, entonces la igualdadU∘=U#{\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}muestra que el polarU∘={F∈incógnita′ : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}{\displaystyle U^{\circ }={\Big \{}f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}}deU{\displaystyle U}depende únicamente deU{\displaystyle U}(yincógnita#{\displaystyle X^{\#}}) y que el resto de la topologíaτ{\displaystyle \tau }puede ignorarse. Para aclarar lo que se quiere decir, supongamos queσ{\displaystyle \sigma }¿Hay alguna topología TVS enincógnita{\displaystyle X}de tal manera que el conjuntoU{\displaystyle U}es (también) un barrio del origen en(incógnita,σ).{\displaystyle (X,\sigma ).} Denotemos el espacio dual continuo de(incógnita,σ){\displaystyle (X,\sigma )}por(incógnita,σ)′{\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}y denota el polar deU{\displaystyle U}con respecto a(incógnita,σ){\displaystyle (X,\sigma )}por U∘,σ =definición {F∈(incógnita,σ)′ : sorbertú∈U|F(tú)|≤1}{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\Big \{}f\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1{\Big \}}} de modo queU∘,τ{\displaystyle U^{\circ ,\tau }}es solo el conjuntoU∘{\displaystyle U^{\circ }}desde arriba. EntoncesU∘,τ=U∘,σ{\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}porque ambos conjuntos son igualesU#.{\displaystyle U^{\#}.} Dicho de otro modo, el conjunto polarU∘,σ{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}es el "requisito" definitorio queU∘,σ{\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}ser un subconjunto del espacio dual continuo(incógnita,σ)′{\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}es intrascendente y puede ignorarse porque no tiene ningún efecto sobre el conjunto resultante de funcionales lineales. Sin embargo, siν{\displaystyle \nu }es una topología TVS enincógnita{\displaystyle X}de tal manera queU{\displaystyle U}no es un barrio del origen en(incógnita,ν){\displaystyle (X,\nu )}luego el polarU∘,ν{\displaystyle U^{\circ ,\nu }}deU{\displaystyle U}con respecto a(incógnita,ν){\displaystyle (X,\nu )}no está garantizado que sea igualU#{\displaystyle U^{\#}}y por lo tanto la topologíaν{\displaystyle \nu }No se puede ignorar.
  3. ↑ Porque cadaBrincógnita{\displaystyle B_{r_{x}}}También es un espacio Hausdorff , la conclusión de que∏incógnita∈incógnitaBrincógnita{\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}es compacto solo requiere el llamado "teorema de Tychonoff para espacios de Hausdorff compactos", que es equivalente al lema del ultrafiltro y estrictamente más débil que el axioma de elección .
  4. ↑ La conclusiónUB1=∏incógnita∈incógnitadoincógnita{\displaystyle U_{B_{1}}=\prod _{x\in X}C_{x}}se puede escribir comoUB1 = (∏tú∈UB1)×∏incógnita∈incógnita∖UK.{\displaystyle U_{B_{1}}~=~{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} .}El conjuntoU#{\displaystyle U^{\#}}Por lo tanto, puede definirse de forma equivalente medianteU# =definición incógnita#∩[(∏tú∈UB1)×∏incógnita∈incógnita∖UK].{\displaystyle U^{\#}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X^{\#}\cap \left[{\Big (}\prod _{u\in U}B_{1}{\Big )}\times \prod _{x\in X\setminus U}\mathbb {K} \right].}Reescribir la definición de esta manera ayuda a hacer evidente que el conjuntoU#{\displaystyle U^{\#}}está cerrado en∏incógnita∈incógnitaK{\displaystyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }porque esto es cierto deincógnita#.{\displaystyle X^{\#}.}
  5. ↑ Esta tuplametro∙ =definición (metroincógnita)incógnita∈incógnita{\displaystyle m_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(m_{x}\right)_{x\in X}}es el elemento menos importante deTPAG{\displaystyle T_{P}}con respecto al orden parcial puntual inducido natural definido porR∙≤S∙{\displaystyle R_{\bullet }\leq S_{\bullet }}si y solo siRincógnita≤Sincógnita{\displaystyle R_{x}\leq S_{x}}por cadaincógnita∈incógnita.{\displaystyle x\in X.}Por lo tanto, cada vecindarioU{\displaystyle U}del origen enincógnita{\displaystyle X}puede asociarse con esta función única (mínima)metro∙:incógnita→[0,∞).{\displaystyle m_{\bullet }:X\to [0,\infty ).}Para cualquierincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}sir>0{\displaystyle r>0}es tal queincógnita∈rU{\displaystyle x\in rU}entoncesmetroincógnita≤r{\displaystyle m_{x}\leq r}de modo que, en particular,metro0=0{\displaystyle m_{0}=0}ymetrotú≤1{\displaystyle m_{u}\leq 1}por cadatú∈U.{\displaystyle u\in U.}

Pruebas

  1. ↑ Para cualquier subconjunto no vacíoA⊆[0,∞),{\displaystyle A\subseteq [0,\infty ),}la igualdad∩{Ba:a∈A}=BinfA{\displaystyle \cap \left\{B_{a}:a\in A\right\}=B_{\inf _{}A}}sostiene (la intersección de la izquierda es un disco cerrado, en lugar de abierto, posiblemente de radio0{\displaystyle 0}− porque es una intersección de subconjuntos cerrados deK{\displaystyle \mathbb {K} }y por lo tanto debe estar cerrado). Para cadaincógnita∈incógnita,{\displaystyle x\in X,}dejarmetroincógnita=inf{Rincógnita:R∙∈TPAG}{\displaystyle m_{x}=\inf _{}\left\{R_{x}:R_{\bullet }\in T_{P}\right\}}de modo que la igualdad del conjunto anterior implica∩CajaPAG=⋂R∙∈TPAG∏incógnita∈incógnitaBRincógnita=∏incógnita∈incógnita⋂R∙∈TPAGBRincógnita=∏incógnita∈incógnitaBmetroincógnita.{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}=\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}\prod _{x\in X}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}\bigcap _{R_{\bullet }\in T_{P}}B_{R_{x}}=\prod _{x\in X}B_{m_{x}}.}DePAG⊆∩CajaPAG{\displaystyle P\subseteq \cap \operatorname {Box} _{P}}resulta quemetro∙∈TPAG{\displaystyle m_{\bullet }\in T_{P}}y∩CajaPAG∈CajaPAG,{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}\in \operatorname {Box} _{P},}haciendo así∩CajaPAG{\displaystyle \cap \operatorname {Box} _{P}}el elemento menos importante deCajaPAG{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}con respecto a⊆.{\displaystyle \,\subseteq .\,}(De hecho, la familiaCajaPAG{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}es cerrado bajo intersecciones arbitrarias (no nulas ) y también bajo uniones finitas de al menos un conjunto). La demostración elemental mostró queTPAG{\displaystyle T_{P}}yCajaPAG{\displaystyle \operatorname {Box} _{P}}no están vacíos y además, también demostró queTPAG{\displaystyle T_{P}}tiene un elemento(rincógnita)incógnita∈incógnita{\displaystyle \left(r_{x}\right)_{x\in X}}que satisfacertú=1{\displaystyle r_{u}=1}por cadatú∈U,{\displaystyle u\in U,}lo cual implica quemetrotú≤1{\displaystyle m_{u}\leq 1}por cadatú∈U.{\displaystyle u\in U.}La inclusiónPAG ⊆ (∩CajaPAG)∩incógnita′ ⊆ (∩CajaPAG)∩incógnita#{\displaystyle P~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\prime }~\subseteq ~\left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}}es inmediato; para probar la inclusión inversa, seaF∈(∩CajaPAG)∩incógnita#.{\displaystyle f\in \left(\cap \operatorname {Box} _{P}\right)\cap X^{\#}.}Por definición,F∈PAG =definición U#{\displaystyle f\in P~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~U^{\#}}si y solo sisorbertú∈U|F(tú)|≤1,{\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1,}así que dejatú∈U{\displaystyle u\in U}y queda por demostrar que|F(tú)|≤1.{\displaystyle |f(u)|\leq 1.}DeF∈∩CajaPAG=∏Bmetro∙,{\displaystyle f\in \cap \operatorname {Box} _{P}=\prod B_{m_{\bullet }},}resulta queF(tú)=Prtú(F)∈Prtú(∏incógnita∈incógnitaBmetroincógnita)=Bmetrotú,{\displaystyle f(u)=\Pr {}_{u}(f)\in \Pr {}_{u}\left(\prod _{x\in X}B_{m_{x}}\right)=B_{m_{u}},}lo cual implica que|F(tú)|≤metrotú≤1,{\displaystyle |f(u)|\leq m_{u}\leq 1,}como se desee. ◼{\displaystyle \blacksquare }

Citas

  1. ↑ Rudin 1991 , Teorema 3.15.
  2. 1 2 3 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 235–240.
  3. 1 2 3 4 5 6 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225–273.
  4. ↑ Köthe 1983 , Teorema (4) en §20.9.
  5. ^ Meise y Vogt 1997 , Teorema 23.5.
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Referencias

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  • Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​ 
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Lecturas adicionales