Red (matemáticas)

Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Se dice que eventualmente o de forma residual está en un conjunto.${\displaystyle S}$si existe alguna${\displaystyle a\in A}$de tal manera que para cada${\displaystyle b\in A}$con${\displaystyle b\geq a,}$el punto${\displaystyle x_{b}\in S.}$Un punto${\displaystyle x\in X}$se llama unpunto límite olímite de la red${\displaystyle x_{\bullet }}$en${\displaystyle X}$cuando sea:

para cada vecindario abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle x,}$la red${\displaystyle x_{\bullet }}$está finalmente en${\displaystyle U}$,

expresado de forma equivalente como: el netoconverge hacia/en${\displaystyle x}$o tiene${\displaystyle x}$como límite ; y denotado de diversas maneras como:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ en }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ en }}X\\\lim \;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ en }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ en }}X\\\lim _{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ en }}X.\end{alignedat}}}$$Si${\displaystyle X}$Si queda claro por el contexto, puede omitirse de la notación.

Si${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$y este límite es único (es decir,${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to y}$solo para${\displaystyle x=y}$) entonces uno escribe:$${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x\;~~{\text{ o }}~~\;\lim x_{a}=x\;~~{\text{ o }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x}$$utilizando el signo igual en lugar de la flecha${\displaystyle \to .}$^{[ 4 ]} En unespacio de Hausdorff, el límite de una red convergente es único. ^{[ 4 ]} Algunos autores no distinguen entre las notaciones${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$y${\displaystyle \lim x_{\bullet }\to x}$, pero esto puede generar ambigüedades si el espacio ambiente${\displaystyle X}$no es Hausdorff.

Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$Se dice quecon frecuencia ofinalmente en${\displaystyle S}$si por cada${\displaystyle a\in A}$existe algo${\displaystyle b\in A}$de tal manera que${\displaystyle b\geq a}$y${\displaystyle x_{b}\in S.}$^{[ 5 ]} Un punto${\displaystyle x\in X}$Se dice que es unpunto de acumulación opunto de agrupaciónde una red si para cada vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x,}$la red es frecuentemente/cofinalmente en${\displaystyle U.}$^{[ 5 ]} De hecho,${\displaystyle x\in X}$es un punto de clúster si y solo si tiene una subred que converge a${\displaystyle x.}$^{[ 6 ]} El conjunto${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\bullet }\right)}$de todos los puntos de agrupación de${\displaystyle x_{\bullet }}$en${\displaystyle X}$es igual a${\textstyle \operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)}$para cada${\displaystyle a\in A}$, dónde${\displaystyle x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}}$.

El análogo de " subsecuencia " para redes es la noción de "subred". Existen varias definiciones diferentes no equivalentes de "subred" y este artículo utilizará la definición introducida en 1970 por Stephen Willard, ^{[ 7 ]} que es la siguiente: Si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$y${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}}$entonces son redes${\displaystyle s_{\bullet }}$se denomina subred oSubred de Willard ^{[ 7 ]} de${\displaystyle x_{\bullet }}$si existe un mapa que preserve el orden${\displaystyle h:I\to A}$de tal manera que${\displaystyle h(I)}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle A}$y $${\displaystyle s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ para todo }}i\in I.}$$ El mapa${\displaystyle h:I\to A}$se denomina homomorfismo de orden preservador si siempre que${\displaystyle i\leq j}$entonces${\displaystyle h(i)\leq h(j).}$ El conjunto${\displaystyle h(I)}$ser cofinal en${\displaystyle A}$significa que para cada${\displaystyle a\in A,}$existe algo${\displaystyle b\in h(I)}$de tal manera que${\displaystyle b\geq a.}$

Si${\displaystyle x\in X}$es un punto de clúster de alguna subred de${\displaystyle x_{\bullet }}$entonces${\displaystyle x}$es también un punto de agrupación de${\displaystyle x_{\bullet }.}$^{[ 6 ]}

Una red${\displaystyle x_{\bullet }}$en conjunto${\displaystyle X}$se llama unred universal o unaultranet si para cada subconjunto${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$está finalmente en${\displaystyle S}$o${\displaystyle x_{\bullet }}$está finalmente en el complemento${\displaystyle X\setminus S.}$^{[ 5 ]}

Toda red constante es una ultrared (trivial). Toda subred de una ultrared es una ultrared. ^{[ 8 ]} Suponiendo el axioma de elección , toda red tiene alguna subred que es una ultrared, pero nunca se han construido ultraredes no triviales explícitamente. ^{[ 5 ]} Si${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$es una ultrared en${\displaystyle X}$y${\displaystyle f:X\to Y}$entonces es una función${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$es una ultrared en${\displaystyle Y.}$^{[ 5 ]}

Dado${\displaystyle x\in X,}$clústeres ultranet en${\displaystyle x}$si y solo si converge a${\displaystyle x.}$^{[ 5 ]}

Una red de Cauchy generaliza la noción de secuencia de Cauchy a redes definidas en espacios uniformes . ^{[ 9 ]}

Una red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$es unRed de Cauchy si para cadaséquito${\displaystyle V}$existe${\displaystyle c\in A}$de tal manera que para todos${\displaystyle a,b\geq c,}$${\displaystyle \left(x_{a},x_{b}\right)}$es miembro de${\displaystyle V.}$^{[ 9 ] [ 10 ]} De manera más general, en unespacio de Cauchy, una red${\displaystyle x_{\bullet }}$es Cauchy si el filtro generado por la red es un filtro Cauchy .

Un espacio vectorial topológico (TVS) se denomina completo si toda red de Cauchy converge a algún punto. Un espacio normado , que es un tipo especial de espacio vectorial topológico, es un TVS completo (o, equivalentemente, un espacio de Banach ) si y solo si toda sucesión de Cauchy converge a algún punto (propiedad conocida como completitud secuencial ). Si bien las redes de Cauchy no son necesarias para describir la completitud de los espacios normados, sí lo son para describir la completitud de espacios vectoriales topológicos más generales (posiblemente no normables ).

Un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$está cerrado en${\displaystyle X}$si y solo si cada punto límite en${\displaystyle X}$de una red en${\displaystyle S}$necesariamente reside en${\displaystyle S}$. Explícitamente, esto significa que si${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$es una red con${\displaystyle s_{a}\in S}$a pesar de${\displaystyle a\in A}$, y${\displaystyle \lim {}_{}s_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle x\in S.}$

En términos más generales, si${\displaystyle S\subseteq X}$es cualquier subconjunto, el cierre de${\displaystyle S}$es el conjunto de puntos${\displaystyle x\in X}$con${\displaystyle \lim _{a\in A}s_{\bullet }\to x}$para alguna red${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$en${\displaystyle S}$. ^{[ 6 ]}

Un subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$está abierto si y solo si no hay red en${\displaystyle X\setminus S}$converge a un punto de${\displaystyle S.}$^{[ 11 ]} Además, subconjunto${\displaystyle S\subseteq X}$está abierta si y solo si toda red converge a un elemento de${\displaystyle S}$finalmente está contenido en${\displaystyle S.}$ Son estas caracterizaciones de " subconjunto abierto " las que permiten que las redes caractericen topologías . Las topologías también pueden caracterizarse mediante subconjuntos cerrados, ya que un conjunto es abierto si y solo si su complemento es cerrado. Por lo tanto, las caracterizaciones de " conjunto cerrado " en términos de redes también pueden utilizarse para caracterizar topologías.

Una función${\displaystyle f:X\to Y}$La relación entre espacios topológicos es continua en un punto.${\displaystyle x}$si y solo si para cada red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$en el dominio,${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle X}$implica${\displaystyle \lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$en${\displaystyle Y.}$^{[ 6 ]} Brevemente, una función${\displaystyle f:X\to Y}$es continua si y solo si${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle X}$implica${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$en${\displaystyle Y.}$ En general, esta afirmación no sería cierta si la palabra "neta" se reemplazara por "secuencia"; es decir, es necesario permitir conjuntos dirigidos distintos de los números naturales.${\displaystyle X}$no es un espacio numerable de primer orden (o no es un espacio secuencial ).

Un espacio${\displaystyle X}$es compacto si y solo si cada red${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$en${\displaystyle X}$tiene una subred con un límite en${\displaystyle X.}$Esto puede considerarse una generalización del teorema de Bolzano-Weierstrass y del teorema de Heine-Borel .

El conjunto de puntos de agrupamiento de una red es igual al conjunto de límites de sus subredes convergentes .

Una red tiene un límite si y solo si todas sus subredes tienen límites. En ese caso, cada límite de la red es también un límite de cada subred.

En general, una red en un espacio${\displaystyle X}$puede tener más de un límite, pero si${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff , el límite de una red, si existe, es único. Por el contrario, si${\displaystyle X}$no es Hausdorff, entonces existe una red en${\displaystyle X}$con dos límites distintos. Por lo tanto, la unicidad del límite es equivalente a la condición de Hausdorff en el espacio, y de hecho, esta puede considerarse su definición. Este resultado depende de la condición de direccionalidad; un conjunto indexado por un preorden general o un orden parcial puede tener puntos límite distintos incluso en un espacio de Hausdorff.

Si el conjunto${\displaystyle S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}}$está dotado de la topología de subespacio inducida en él por${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \lim _{}x_{\bullet }\to x}$en${\displaystyle S.}$De esta manera, surge la cuestión de si la red es o no${\displaystyle x_{\bullet }}$converge al punto dado${\displaystyle x}$depende únicamente de este subespacio topológico${\displaystyle S}$compuesto de${\displaystyle x}$y la imagen de (es decir, los puntos de) la red${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Intuitivamente, la convergencia de una red${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$significa que los valores${\displaystyle x_{a}}$Ven y quédate tan cerca como queramos.${\displaystyle x}$para lo suficientemente grande${\displaystyle a.}$Dado un punto${\displaystyle x}$en un espacio topológico, sea${\displaystyle N_{x}}$denotamos el conjunto de todos los vecindarios que contienen${\displaystyle x.}$Entonces${\displaystyle N_{x}}$es un conjunto dirigido, donde la dirección viene dada por la inclusión inversa, de modo que${\displaystyle S\geq T}$si y solo si${\displaystyle S}$está contenido en${\displaystyle T.}$Para${\displaystyle S\in N_{x},}$dejar${\displaystyle x_{S}}$ser un punto en${\displaystyle S.}$Entonces${\displaystyle \left(x_{S}\right)}$es una red. Como${\displaystyle S}$aumenta con respecto a${\displaystyle \,\geq ,}$los puntos${\displaystyle x_{S}}$en la red están obligados a estar en vecindarios decrecientes de${\displaystyle x,}$. Por lo tanto, en este sistema de vecindad de un punto${\displaystyle x}$,${\displaystyle x_{S}}$converge efectivamente a${\displaystyle x}$según la definición de convergencia neta.

Dado un subbase${\displaystyle {\mathcal {B}}}$para la topología en${\displaystyle X}$(donde tenga en cuenta que cada base para una topología es también una subbase) y dado un punto${\displaystyle x\in X,}$una red${\displaystyle x_{\bullet }}$en${\displaystyle X}$converge a${\displaystyle x}$Si y solo si finalmente está presente en todos los barrios.${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$de${\displaystyle x.}$Esta caracterización se extiende a las subbases vecinales (y por lo tanto también a las bases vecinales ) del punto dado.${\displaystyle x.}$

Una red en el espacio de productos tiene un límite si y solo si cada proyección tiene un límite.

Explícitamente, dejemos${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$sean espacios topológicos, doten a su producto cartesiano$${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$ con la topología del producto y que para cada índice${\displaystyle l\in I,}$denota la proyección canónica a${\displaystyle X_{l}}$por $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}}$$

Dejar${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ser una red en${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$dirigido por${\displaystyle A}$y para cada índice${\displaystyle i\in I,}$dejar $${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$$ denotan el resultado de "enchufar"${\displaystyle f_{\bullet }}$en${\displaystyle \pi _{i}}$", lo que resulta en la red${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.}$ A veces resulta útil pensar en esta definición en términos de composición de funciones : la red${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$es igual a la composición de la red${\displaystyle f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$con la proyección${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};}$eso es,${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.}$

Para cualquier punto dado${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$la red${\displaystyle f_{\bullet }}$converge a${\displaystyle L}$en el espacio de productos${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$si y solo si para cada índice${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}}$converge a${\displaystyle L_{i}}$en${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 15 ]} Y siempre que la red${\displaystyle f_{\bullet }}$grupos en${\displaystyle L}$en${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$entonces${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$grupos en${\displaystyle L_{i}}$para cada índice${\displaystyle i\in I.}$^{[ 8 ]} Sin embargo, lo contrario no se cumple en general. ^{[ 8 ]} Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle X_{1}=X_{2}=\mathbb {R} }$y dejar${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }}$denota la secuencia${\displaystyle (1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots }$que alterna entre${\displaystyle (1,1)}$y${\displaystyle (0,0).}$Entonces${\displaystyle L_{1}:=0}$y${\displaystyle L_{2}:=1}$son puntos de agrupación de ambos${\displaystyle \pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)}$y${\displaystyle \pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)}$en${\displaystyle X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}}$pero${\displaystyle \left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)}$no es un punto de agrupación de${\displaystyle f_{\bullet }}$ya que la bola abierta de radio${\displaystyle 1}$centrado en${\displaystyle (0,1)}$no contiene ni un solo punto${\displaystyle f_{\bullet }}$

Si no${\displaystyle L\in X}$se da pero para cada${\displaystyle i\in I,}$existe algo${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$de tal manera que${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}}$en${\displaystyle X_{i}}$entonces la tupla definida por${\displaystyle L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}$será un límite de${\displaystyle f_{\bullet }}$en${\displaystyle X.}$Sin embargo, podría ser necesario asumir el axioma de elección para concluir que esta tupla${\displaystyle L}$existe; el axioma de elección no es necesario en algunas situaciones, como cuando${\displaystyle I}$es finito o cuando cada${\displaystyle L_{i}\in X_{i}}$es el límite único de la red${\displaystyle \pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)}$(porque entonces no hay nada entre lo que elegir), lo cual sucede, por ejemplo, cuando cada${\displaystyle X_{i}}$es un espacio Hausdorff . Si${\displaystyle I}$es infinito y${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}}$no está vacío, entonces el axioma de elección (en general) aún sería necesario para concluir que las proyecciones${\displaystyle \pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}}$son aplicaciones sobreyectivas .

El axioma de elección es equivalente al teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Pero si todo espacio compacto es también de Hausdorff, entonces se puede usar en su lugar el llamado "teorema de Tychonoff para espacios de Hausdorff compactos", que es equivalente al lema del ultrafiltro y, por lo tanto, estrictamente más débil que el axioma de elección . Se pueden usar redes para dar demostraciones cortas de ambas versiones del teorema de Tychonoff usando la caracterización de la convergencia de redes dada anteriormente junto con el hecho de que un espacio es compacto si y solo si toda red tiene una subred convergente .

El límite superior y el límite inferior de una red de números reales se pueden definir de manera similar a como se hace con las sucesiones. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} Algunos autores trabajan incluso con estructuras más generales que la recta real, como retículos completos . ^{[ 19 ]}

Para una red${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A},}$poner $${\displaystyle \limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.}$$

El límite superior de una red de números reales tiene muchas propiedades análogas al caso de las sucesiones. Por ejemplo, $${\displaystyle \limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},}$$ donde la igualdad se cumple siempre que una de las redes sea convergente.

La definición del valor de una integral de Riemann puede interpretarse como un límite de una red de sumas de Riemann, donde el conjunto dirigido de la red es el conjunto de todas las particiones del intervalo de integración, parcialmente ordenadas por inclusión.

Suponer${\displaystyle (M,d)}$es un espacio métrico (o un espacio pseudométrico ) y${\displaystyle M}$está dotado de la topología métrica . Si${\displaystyle m\in M}$es un punto y${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{a\in A}}$es una red, entonces${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$en${\displaystyle (M,d)}$si y solo si${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right)\to 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$dónde${\displaystyle d\left(m,m_{\bullet }\right):=\left(d\left(m,m_{a}\right)\right)_{a\in A}}$es una red de números reales . En lenguaje sencillo , esta caracterización dice que una red converge a un punto en un espacio métrico si y solo si la distancia entre la red y el punto converge a cero. Si${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$es un espacio normado (o un espacio seminormado ) entonces${\displaystyle m_{\bullet }\to m}$en${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$si y solo si${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|\to 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} ,}$dónde${\displaystyle \left\|m-m_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|m-m_{a}\right\|\right)_{a\in A}.}$

Si${\displaystyle (M,d)}$tiene al menos dos puntos, entonces podemos fijar un punto${\displaystyle c\in M}$(como${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{n}}$con la métrica euclidiana con${\displaystyle c:=0}$siendo el origen, por ejemplo) y dirigir el conjunto${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$inversamente según la distancia desde${\displaystyle c}$declarando que${\displaystyle i\leq j}$si y solo si${\displaystyle d(j,c)\leq d(i,c).}$En otras palabras, la relación es "tiene al menos la misma distancia a${\displaystyle c}$como", de modo que "suficientemente grande" con respecto a esta relación significa "suficientemente cerca de"${\displaystyle c}$". Dada cualquier función con dominio${\displaystyle M,}$su restricción a${\displaystyle I:=M\setminus \{c\}}$puede interpretarse canónicamente como una red dirigida por${\displaystyle (I,\leq ).}$^{[ 8 ]}

Una red${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$eventualmente se encuentra en un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$si y solo si existe alguna${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$de tal manera que para cada${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$satisfactorio${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c),}$el punto${\displaystyle f(m)}$está en${\displaystyle S.}$ Tal red${\displaystyle f}$converge en${\displaystyle X}$hasta un punto determinado${\displaystyle L\in X}$si y solo si${\displaystyle \lim _{m\to c}f(m)\to L}$en el sentido habitual (lo que significa que para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$está finalmente en${\displaystyle V}$). ^{[ 8 ]}

La red${\displaystyle f:M\setminus \{c\}\to X}$con frecuencia se encuentra en un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$si y solo si para cada${\displaystyle n\in M\setminus \{c\}}$existe algo${\displaystyle m\in M\setminus \{c\}}$con${\displaystyle d(m,c)\leq d(n,c)}$de tal manera que${\displaystyle f(m)}$está en${\displaystyle S.}$ En consecuencia, un punto${\displaystyle L\in X}$es un punto de agrupación de la red${\displaystyle f}$si y solo si para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle L,}$la red está frecuentemente en${\displaystyle V.}$

Consideremos un conjunto bien ordenado${\displaystyle [0,c]}$con punto límite${\displaystyle t}$y una función${\displaystyle f}$de${\displaystyle [0,t)}$a un espacio topológico${\displaystyle X.}$Esta función es una red en${\displaystyle [0,t).}$

Finalmente se encuentra en un subconjunto${\displaystyle V}$de${\displaystyle X}$si existe un${\displaystyle r\in [0,t)}$de tal manera que para cada${\displaystyle s\in [r,t)}$el punto${\displaystyle f(s)}$está en${\displaystyle V.}$

Entonces${\displaystyle \lim _{x\to t}f(x)\to L}$si y solo si para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle L,}$${\displaystyle f}$está finalmente en${\displaystyle V.}$

La red${\displaystyle f}$con frecuencia se encuentra en un subconjunto${\displaystyle V}$de${\displaystyle X}$si y solo si para cada${\displaystyle r\in [0,t)}$existe algo${\displaystyle s\in [r,t)}$de tal manera que${\displaystyle f(s)\in V.}$

Un punto${\displaystyle y\in X}$es un punto de agrupación de la red${\displaystyle f}$si y solo si para cada vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle y,}$la red está frecuentemente en${\displaystyle V.}$

El primer ejemplo es un caso especial de esto con${\displaystyle c=\omega .}$

Véase también secuencia indexada ordinalmente .