Campo vectorial

Dos representaciones del mismo campo vectorial: v ( x , y ) = − r . Las flechas representan el campo en puntos discretos, sin embargo, el campo existe en todas partes.

Dado un subconjunto S de R ⁿ , un campo vectorial se representa mediante una función vectorial V : S → R ⁿ en coordenadas cartesianas estándar ( x ₁ , …, x _n ) . Si cada componente de V es continua, entonces V es un campo vectorial continuo. Es común centrarse en campos vectoriales suaves , lo que significa que cada componente es una función suave (diferenciable cualquier número de veces). Un campo vectorial puede visualizarse como la asignación de un vector a puntos individuales dentro de un espacio n -dimensional. ^{[ 1 ]}

Una notación estándar es escribir${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$para los vectores unitarios en las direcciones de coordenadas. En estos términos, todo campo vectorial suave${\displaystyle V}$en un subconjunto abierto${\displaystyle S}$de${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$se puede escribir como $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$$ para algunas funciones fluidas${\displaystyle V_{1},\ldots,V_{n}}$en${\displaystyle S}$. ^{[ 2 ]} La razón de esta notación es que un campo vectorial determina una aplicación lineal del espacio de funciones suaves a sí mismo,${\displaystyle V\dos puntos C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$, dado por la diferenciación en la dirección del campo vectorial.

Ejemplo : El campo vectorial${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$describe una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen en${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$. Para demostrar que la función${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$es invariante a la rotación, calcular: $${\displaystyle \left(-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$$

Dados los campos vectoriales V y W definidos en S y una función suave f definida en S , las operaciones de multiplicación escalar y suma vectorial, $${\displaystyle {\begin{aligned}(fV)(p)&:=f(p)V(p)\\(V+W)(p)&:=V(p)+W(p),\end{aligned}}}$$ convertir los campos vectoriales suaves en un módulo sobre el anillo de funciones suaves, donde la multiplicación de funciones se define punto por punto.

En física, un vector se distingue además por cómo cambian sus coordenadas cuando se mide el mismo vector con respecto a un sistema de coordenadas de fondo diferente. Las propiedades de transformación de los vectores distinguen a un vector como una entidad geométricamente distinta de una simple lista de escalares o de un covector .

Así pues, supongamos que ( x ₁ , ..., x _n ) es una elección de coordenadas cartesianas, en términos de las cuales las componentes del vector V son $${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$ y supongamos que ( y1 , ..., yn ) son n funciones de xi _{que definen un sistema de coordenadas diferente. Entonces ,} se requiere que las componentes del vector V en las nuevas coordenadas satisfagan la ley de transformación _.

Dicha ley de transformación se denomina contravariante . Una ley de transformación similar caracteriza los campos vectoriales en física: específicamente, un campo vectorial es una especificación de n funciones en cada sistema de coordenadas sujeto a la ley de transformación ( 1 ) que relaciona los diferentes sistemas de coordenadas.

Los campos vectoriales se diferencian así de los campos escalares , que asocian un número o escalar a cada punto del espacio, y también se diferencian de las simples listas de campos escalares, que no se transforman ante cambios de coordenadas.

Dado un conjunto diferenciable${\displaystyle M}$, un campo vectorial en${\displaystyle M}$es una asignación de un vector tangente a cada punto en${\displaystyle M}$. ^{[ 2 ]} Más precisamente, un campo vectorial${\displaystyle F}$es un mapeo de${\displaystyle M}$en el haz tangente${\displaystyle TM}$de modo que${\displaystyle p\circ F}$es el mapeo de identidad donde${\displaystyle p}$denota la proyección desde${\displaystyle TM}$a${\displaystyle M}$En otras palabras, un campo vectorial es una sección del fibrado tangente .

Una definición alternativa: Un campo vectorial suave${\displaystyle X}$en un colector${\displaystyle M}$es un mapa lineal${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$de tal manera que${\displaystyle X}$es una derivación :${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$a pesar de${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$. ^{[ 3 ]}

Si el colector${\displaystyle M}$ Si el cambio de coordenadas es suave o analítico —es decir, el cambio de coordenadas es suave (analítico)— entonces se puede comprender la noción de campos vectoriales suaves (analíticos). El conjunto de todos los campos vectoriales suaves en una variedad suave.${\displaystyle M}$a menudo se denota por${\displaystyle \Gamma (TM)}$o${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$(especialmente cuando se piensa en campos vectoriales como secciones ); la colección de todos los campos vectoriales suaves también se denota por${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$(un fraktur "X").

Los campos vectoriales se pueden construir a partir de campos escalares utilizando el operador gradiente (denotado por del : ∇). ^{[ 4 ]}

Un campo vectorial V definido en un conjunto abierto S se denomina campo gradiente o campo conservativo si existe una función de valor real (un campo escalar) f en S tal que $${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

El flujo asociado se llamaflujo de gradiente , y se utiliza en el método dedescenso de gradiente.

La integral de trayectoria a lo largo de cualquier curva cerrada γ ( γ (0) = γ (1)) en un campo conservativo es cero: $${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

Un campo vectorial C ^∞ sobre R ⁿ \ {0} se denomina campo central si $${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$ donde O( n , R ) es el grupo ortogonal . Decimos que los campos centrales son invariantes bajo transformaciones ortogonales alrededor de 0.

El punto 0 se denomina centro del campo.

Dado que las transformaciones ortogonales son en realidad rotaciones y reflexiones, las condiciones de invariancia implican que los vectores de un campo central siempre apuntan hacia 0 o se alejan de él; esta es una definición alternativa (y más sencilla). Un campo central es siempre un campo gradiente, ya que al definirlo sobre un semieje e integrarlo se obtiene un antigradiente.

Una técnica común en física consiste en integrar un campo vectorial a lo largo de una curva , también conocida como integral de línea . Intuitivamente, esto implica sumar todas las componentes vectoriales alineadas con las tangentes a la curva, expresadas como sus productos escalares. Por ejemplo, dada una partícula en un campo de fuerza (como la gravitación), donde cada vector en un punto del espacio representa la fuerza que actúa sobre la partícula, la integral de línea a lo largo de una trayectoria determinada representa el trabajo realizado sobre la partícula al recorrer dicha trayectoria. Intuitivamente, es la suma de los productos escalares del vector fuerza y ​​el pequeño vector tangente en cada punto de la curva.

La integral de línea se construye de forma análoga a la integral de Riemann y existe si la curva es rectificable (tiene una longitud finita) y el campo vectorial es continuo.

Dado un campo vectorial V y una curva γ , parametrizada por t en [ a , b ] (donde a y b son números reales ), la integral de línea se define como $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Para mostrar la topología de un campo vectorial se puede utilizar la convolución de integrales de línea .

La divergencia de un campo vectorial en el espacio euclidiano es una función (o campo escalar). En tres dimensiones, la divergencia se define por $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

con la obvia generalización a dimensiones arbitrarias. La divergencia en un punto representa el grado en que un pequeño volumen alrededor del punto es una fuente o un sumidero para el flujo vectorial, un resultado que se precisa mediante el teorema de la divergencia .

La divergencia también puede definirse en una variedad riemanniana , es decir, una variedad con una métrica riemanniana que mide la longitud de los vectores.

El rotacional es una operación que toma un campo vectorial y produce otro campo vectorial. El rotacional se define solo en tres dimensiones, pero algunas de sus propiedades se pueden capturar en dimensiones superiores con la derivada exterior . En tres dimensiones, se define por $${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

El rizo mide la densidad del momento angular del flujo vectorial en un punto, es decir, la magnitud de la circulación del flujo alrededor de un eje fijo. Esta descripción intuitiva se precisa mediante el teorema de Stokes .

El índice de un campo vectorial es un número entero que ayuda a describir su comportamiento alrededor de un cero aislado (es decir, una singularidad aislada del campo). En el plano, el índice toma el valor de −1 en una singularidad de silla, pero +1 en una singularidad de fuente o sumidero.

Sea n la dimensión de la variedad sobre la que se define el campo vectorial. Consideremos una superficie cerrada (homeomorfa a la esfera (n-1)) S alrededor del cero, de modo que no existan otros ceros en su interior. Se puede construir una aplicación de esta esfera a una esfera unitaria de dimensión n  −  1 dividiendo cada vector de esta esfera por su longitud para formar un vector unitario, que es un punto en la esfera unitaria S ^{n −1} . Esto define una aplicación continua de S a S ^{n −1} . El índice del campo vectorial en dicho punto es el grado de esta aplicación. Se puede demostrar que este número entero no depende de la elección de S y, por lo tanto, depende únicamente del propio campo vectorial.

El índice no está definido en ningún punto no singular (es decir, un punto donde el vector no es cero). Es igual a +1 alrededor de una fuente y, de forma más general, es igual a (−1) ^k alrededor de un punto de silla que tiene k dimensiones de contracción y n − k dimensiones de expansión.

El índice del campo vectorial en su conjunto se define cuando este tiene un número finito de ceros. En este caso, todos los ceros están aislados, y el índice del campo vectorial se define como la suma de los índices de todos los ceros.

Para una esfera ordinaria (bidimensional) en el espacio tridimensional, se puede demostrar que el índice de cualquier campo vectorial en la esfera debe ser 2. Esto demuestra que todo campo vectorial de este tipo debe tener un cero. Esto implica el teorema de la bola peluda .

Para un campo vectorial en una variedad compacta con un número finito de ceros, el teorema de Poincaré-Hopf establece que el índice del campo vectorial es la característica de Euler de la variedad .

Por definición, un campo vectorial en${\displaystyle M}$Se dice que es completo si cada una de sus curvas de flujo existe para todo tiempo. ^{[ 6 ]} En particular, los campos vectoriales con soporte compacto en una variedad son completos. Si ${\displaystyle X}$es un campo vectorial completo en${\displaystyle M}$, entonces el grupo uniparamétrico de difeomorfismos generado por el flujo a lo largo de${\displaystyle X}$Existe para siempre; se describe mediante una función continua. $${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$$ En una variedad compacta sin frontera, todo campo vectorial suave es completo. Un ejemplo de un campo vectorial incompleto${\displaystyle V}$en la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$es dado por${\displaystyle V(x)=x^{2}}$. Para la ecuación diferencial${\textstyle x'(t)=x^{2}}$, con condición inicial${\displaystyle x(0)=x_{0}}$tiene como solución única${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$si${\displaystyle x_{0}\neq 0}$(y${\displaystyle x(t)=0}$a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$si ${\displaystyle x_{0}=0}$). Por lo tanto, para${\displaystyle x_{0}\neq 0}$,${\displaystyle x(t)}$no está definido en${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$por lo que no se puede definir para todos los valores de${\displaystyle t}$.

Los flujos asociados a dos campos vectoriales no necesariamente conmutan entre sí. Su falta de conmutación se describe mediante el corchete de Lie de dos campos vectoriales, que a su vez es un campo vectorial. El corchete de Lie tiene una definición simple en términos de la acción de campos vectoriales sobre funciones suaves.${\displaystyle f}$: $${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$$