convolución de integral de línea

LIC provoca que los valores de salida estén fuertemente correlacionados a lo largo de las líneas de campo, pero no correlacionados en direcciones ortogonales. ^{[ 1 ]} Como resultado, las líneas de campo contrastan entre sí y destacan visualmente del fondo.

Intuitivamente, el proceso se puede comprender con el siguiente ejemplo: el flujo de un campo vectorial se puede visualizar superponiendo un patrón fijo y aleatorio de pintura oscura y clara. A medida que el flujo pasa por la pintura, el fluido absorbe parte de su color, promediándolo con el color que ya ha adquirido. El resultado es una textura irregular y difuminada donde los puntos a lo largo de la misma línea de corriente tienden a tener un color similar. Otros ejemplos físicos incluyen:

• patrones en espiral de pintura, aceite o espuma en un río
• Visualización de líneas de campo magnético mediante limaduras de hierro distribuidas aleatoriamente.
• arena fina siendo arrastrada por el fuerte viento ^{[ 5 ]}

Aunque el campo vectorial de entrada y la imagen resultante están discretizados, conviene observarlo desde un punto de vista continuo. ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle \mathbf {v} }$sea ​​el campo vectorial dado en algún dominio${\displaystyle \Omega }$Aunque el campo vectorial de entrada suele estar discretizado, consideramos que el campo${\displaystyle \mathbf {v} }$como se define en cada punto de${\displaystyle \Omega }$, es decir, asumimos una interpolación . Las líneas de corriente, o más generalmente las líneas de campo, son tangentes al campo vectorial en cada punto. Terminan en el límite de${\displaystyle \Omega }$o en puntos críticos donde${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$. En aras de la simplicidad, a continuación se omiten los puntos críticos y los límites.

Una línea de campo${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, parametrizado por la longitud del arco${\displaystyle s}$, se define como

$${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\sigma }}(s)}{ds}}={\frac {\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))}{|\mathbf {v} ({\boldsymbol {\sigma }}(s))|}}.}$$

Dejar${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s)}$sea ​​la línea de campo que pasa por el punto${\displaystyle \mathbf {r} }$para${\displaystyle s=0}$. Luego, el valor de gris de la imagen en${\displaystyle \mathbf {r} }$está configurado para

$${\displaystyle D(\mathbf {r} )=\int _{-L/2}^{L/2}k(s)N({\boldsymbol {\sigma }}_{\mathbf {r} }(s))ds}$$

dónde${\displaystyle k(s)}$es el núcleo de convolución ,${\displaystyle N(\mathbf {r} )}$es la imagen de ruido, y${\displaystyle L}$es la longitud del segmento de línea de campo que se sigue.

${\displaystyle D(\mathbf {r} )}$Se debe calcular para cada píxel de la imagen LIC. Si se realiza de forma ingenua, esto resulta bastante costoso. Primero, se deben calcular las líneas de campo utilizando un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias , como el método de Runge-Kutta , y luego, para cada píxel, se debe calcular la convolución a lo largo de un segmento de línea de campo.

La imagen final normalmente estará coloreada de alguna manera. Típicamente, algún campo escalar en${\displaystyle \Omega }$(como la longitud del vector) se utiliza para determinar el tono, mientras que la salida LIC en escala de grises determina el brillo .

Las distintas elecciones de núcleos de convolución y ruido aleatorio producen diferentes texturas; por ejemplo, el ruido rosa produce un patrón nublado donde las áreas de mayor flujo destacan como manchas, adecuado para la visualización del clima. Refinamientos adicionales en la convolución pueden mejorar la calidad de la imagen. ^{[ 6 ]}

Algorítmicamente, LIC toma como entrada un campo vectorial y una textura de ruido, y genera una textura. El proceso comienza generando, en el dominio del campo vectorial, una imagen aleatoria en escala de grises con la resolución de salida deseada. A continuación, para cada píxel de esta imagen, se calcula la trayectoria de avance y retroceso de un arco de longitud fija . El valor asignado al píxel actual se obtiene mediante la convolución de un núcleo de convolución adecuado con los niveles de gris de todos los píxeles de ruido que se encuentran en un segmento de esta trayectoria. Esto crea una imagen LIC en escala de grises.

Las imágenes LIC básicas son imágenes en escala de grises, sin color ni animación. Si bien estas imágenes LIC muestran la dirección de los vectores del campo, no indican la orientación; para campos estacionarios, esto se puede solucionar con animación. Las imágenes LIC básicas no muestran la longitud de los vectores (ni la intensidad del campo).

La longitud de los vectores (o la intensidad del campo) se suele codificar en color; alternativamente, se puede utilizar animación. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Las imágenes LIC se pueden animar mediante un núcleo que cambia con el tiempo. Se seguirían utilizando muestras tomadas a intervalos constantes de la línea de corriente, pero en lugar de promediar todos los píxeles de la línea de corriente con un núcleo estático, se utiliza un núcleo ondulado construido a partir de una función periódica multiplicada por una función de Hann que actúa como ventana (para evitar artefactos). A continuación, la función periódica se desplaza a lo largo del periodo para crear la animación.

El cálculo puede acelerarse significativamente reutilizando partes de líneas de campo ya calculadas, especializándolas en una función de caja como núcleo de convolución.${\displaystyle k(s)}$y evitando cálculos redundantes durante la convolución. ^{[ 1 ]} El método LIC rápido resultante puede generalizarse a núcleos de convolución que son polinomios arbitrarios. ^{[ 7 ]}

Debido a que LIC no codifica la orientación del flujo, no puede distinguir entre líneas de corriente de igual dirección pero orientación opuesta. ^{[ 8 ]} La convolución integral de línea orientada (OLIC) resuelve este problema mediante el uso de un núcleo asimétrico tipo rampa y una textura de ruido de baja densidad. ^{[ 8 ]} El núcleo modula asimétricamente la intensidad a lo largo de la línea de corriente, produciendo un rastro que codifica la orientación; la baja densidad de la textura de ruido evita que los rastros borrosos se superpongan, lo que facilita la lectura.

La renderización rápida de la convolución integral de línea orientada (FROLIC) es una variación que aproxima a OLIC al renderizar cada traza en pasos discretos en lugar de como una mancha continua. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Para campos vectoriales dependientes del tiempo (flujo inestable), se ha diseñado una variante llamada Unsteady Flow LIC que mantiene la coherencia de la animación del flujo. ^{[ 10 ]} Se ha presentado una implementación interactiva de UFLIC basada en GPU. ^{[ 11 ]}

Dado que el cálculo de una imagen LIC es costoso pero inherentemente paralelo, el proceso se ha paralelizado ^{[ 12 ]} y, con la disponibilidad de implementaciones basadas en GPU, interactivo en PC.

Tenga en cuenta que el dominio${\displaystyle \Omega }$No tiene por qué ser un dominio 2D: el método es aplicable a dominios de dimensiones superiores utilizando campos de ruido multidimensionales. Sin embargo, la visualización de la textura LIC de dimensiones superiores es problemática; una forma es utilizar la exploración interactiva con cortes 2D que se posicionan y rotan manualmente. El dominio${\displaystyle \Omega }$No tiene por qué ser plana; la textura LIC también se puede calcular para superficies 2D de forma arbitraria en el espacio 3D. ^{[ 13 ]}