campo vectorial dependiente del tiempo

En matemáticas , un campo vectorial dependiente del tiempo es una construcción del cálculo vectorial que generaliza el concepto de campos vectoriales . Puede concebirse como un campo vectorial que se desplaza con el paso del tiempo. En cada instante, asocia un vector a cada punto de un espacio euclidiano o de una variedad .

Un campo vectorial dependiente del tiempo en una variedad M es una aplicación de un subconjunto abierto.${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} \times M}$en${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}}$

de tal manera que para cada${\displaystyle (t,x)\in \Omega }$,${\displaystyle X_{t}(x)}$es un elemento de${\displaystyle T_{x}M}$.

Por cada${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$de tal manera que el conjunto

${\displaystyle \Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M}$

no está vacío ,${\displaystyle X_{t}}$es un campo vectorial en el sentido usual definido en el conjunto abierto${\displaystyle \Omega _{t}\subset M}$.

Dado un campo vectorial X dependiente del tiempo en una variedad M , podemos asociarle la siguiente ecuación diferencial :

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(t,x)}$

lo cual se denomina no autónomo por definición.

Una curva integral de la ecuación anterior (también llamada curva integral de X ) es una aplicación

${\displaystyle \alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M}$

de tal manera que${\displaystyle \forall t_{0}\in I}$,${\displaystyle (t_{0},\alpha (t_{0}))}$es un elemento del dominio de definición de X y

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))}$.

Un campo vectorial dependiente del tiempo${\displaystyle X}$en${\displaystyle M}$puede considerarse como un campo vectorial${\displaystyle {\tilde {X}}}$en${\displaystyle \mathbb {R} \times M,}$dónde${\displaystyle {\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$no depende de${\displaystyle t.}$

Por el contrario, asociado a un campo vectorial dependiente del tiempo${\displaystyle X}$en${\displaystyle M}$es una independiente del tiempo${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$

en${\displaystyle \mathbb {R} \times M.}$En coordenadas,

${\displaystyle {\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).}$

El sistema de ecuaciones diferenciales autónomas para${\displaystyle {\tilde {X}}}$es equivalente al de los no autónomos para${\displaystyle X,}$y${\displaystyle x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})}$es una biyección entre los conjuntos de curvas integrales de${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\tilde {X}},}$respectivamente.

El flujo de un campo vectorial dependiente del tiempo X es la única aplicación diferenciable

${\displaystyle F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M}$

de tal manera que para cada${\displaystyle (t_{0},x)\in \Omega }$,

${\displaystyle t\longrightarrow F(t,t_{0},x)}$

es la curva integral${\displaystyle \alpha }$de X que satisface${\displaystyle \alpha (t_{0})=x}$.

Sean X e Y campos vectoriales suaves dependientes del tiempo y${\displaystyle F}$el flujo de X. Se puede demostrar la siguiente identidad:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}Y_{t}\right)\right)_{p}}$

Además, podemos definir campos tensoriales dependientes del tiempo de forma análoga y demostrar esta identidad similar, suponiendo que${\displaystyle \eta }$es un campo tensorial suave dependiente del tiempo:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}\eta _{t}\right)\right)_{p}}$

Esta última identidad es útil para demostrar el teorema de Darboux .

• Lee, John M., Introducción a las variedades diferenciables , Springer-Verlag, Nueva York (2003) ISBN 0-387-95495-3Libro de texto de nivel de posgrado sobre variedades diferenciables.