Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas

Nota: Esta página utiliza la notación física común para coordenadas esféricas, donde es el ángulo entre el eje z y el radio vector que conecta el origen con el punto en cuestión, mientras que es el ángulo entre la proyección del radio vector sobre el plano xy y el eje x . Se utilizan otras definiciones, por lo que se debe tener cuidado al comparar diferentes fuentes. ^[1]${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \phi}$

Los vectores se definen en coordenadas cilíndricas por ( ρ , φ , z ), donde

• ρ es la longitud del vector proyectado sobre el plano xy ,
• φ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy (es decir, ρ ) y el eje x positivo (0 ≤ φ < 2 π ),
• z es la coordenada z regular .

( ρ , φ , z ) se da en coordenadas cartesianas por:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\ \operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$$

o inversamente por: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix }}.}$$

Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de los vectores unitarios como: Los vectores unitarios cilíndricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por: $${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$$

Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Para saber cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, se deben calcular las derivadas temporales. Para ello se utilizará la notación de Newton para la derivada temporal ( ). En coordenadas cartesianas esto es simplemente: ${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$$

Sin embargo, en coordenadas cilíndricas esto se convierte en: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}$$

Se necesitan las derivadas temporales de los vectores unitarios, que se dan por: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}$$

Entonces la derivada del tiempo se simplifica a: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}$$

La segunda derivada temporal es de interés en física , ya que se encuentra en ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos clásicos . La segunda derivada temporal de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por: $${\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}$$

Para entender esta expresión se sustituye A por P , donde P es el vector ( ρ , φ , z ).

Esto significa que . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}} }$

Después de sustituir, el resultado es: $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}$$

En mecánica, los términos de esta expresión se denominan:

Los vectores se definen en coordenadas esféricas por ( r , θ , φ ), donde

• r es la longitud del vector,
• θ es el ángulo entre el eje Z positivo y el vector en cuestión (0 ≤ θ ≤ π ), y
• φ es el ángulo entre la proyección del vector sobre el plano xy y el eje X positivo (0 ≤ φ < 2 π ).

( r , θ , φ ) se da en coordenadas cartesianas por: o inversamente por: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

Cualquier campo vectorial se puede escribir en términos de los vectores unitarios como: Los vectores unitarios esféricos están relacionados con los vectores unitarios cartesianos por: $${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$$

Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Los vectores unitarios cartesianos están entonces relacionados con los vectores unitarios esféricos por: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}$$

Para averiguar cómo cambia el campo vectorial A en el tiempo, se deben calcular las derivadas temporales. En coordenadas cartesianas, esto es simplemente: Sin embargo, en coordenadas esféricas esto se convierte en: Se necesitan las derivadas temporales de los vectores unitarios. Se dan por: Por lo tanto, la derivada temporal se convierte en: $${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }$$$${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)}$$

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para la especificación de gradiente , divergencia , rizo y laplaciano en varios sistemas de coordenadas.