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Circulación (física)

Líneas de campo de un campo vectorial v , alrededor del límite de una superficie curva abierta con un elemento de línea infinitesimal d l a lo largo del límite, y a través de su...

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Líneas de campo de un campo vectorial v , alrededor del límite de una superficie curva abierta con un elemento de línea infinitesimal d l a lo largo del límite, y a través de su interior con dS el elemento de superficie infinitesimal y n el normal unitario a la superficie. Arriba: La circulación es la integral de línea de v alrededor de un bucle cerrado C. Proyecte v a lo largo de d l , luego sume. Aquí v se divide en componentes perpendiculares (⊥) y paralelas (‖) a d l , las componentes paralelas son tangentes al bucle cerrado y contribuyen a la circulación, las componentes perpendiculares no. Abajo: La circulación es también el flujo de vorticidad ω = ∇ × v a través de la superficie, y el rotacional de v se representa heurísticamente como una flecha helicoidal (no una representación literal). Nótese que la proyección de v a lo largo de d l y el rotacional de v pueden estar en sentido negativo, reduciendo la circulación.

En física, la circulación es la integral de línea de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada inmersa en dicho campo. En dinámica de fluidos , el campo es el campo de velocidad del fluido . En electrodinámica , puede ser el campo eléctrico o el magnético.

El término circulación fue introducido por William Thomson (más tarde Lord Kelvin ) en 1869 para denotar la integral de línea de la velocidad alrededor de una curva cerrada como una medida cinemática del movimiento rotacional en un fluido, independientemente de cualquier aplicación particular. [ 1 ] En aerodinámica , la circulación aparece en un contexto más especializado en relación con el cálculo de la sustentación , donde se evalúa en contornos que encierran un cuerpo bajo supuestos de flujo adicionales. En este contexto, la circulación fue utilizada por primera vez de forma independiente por Frederick Lanchester , [ 2 ] Ludwig Prandtl , [ 3 ] Martin Kutta y Nikolay Zhukovsky . [ 4 ] Generalmente se denota por Γ ( gamma mayúscula ).

Definición y propiedades

Si V es un campo vectorial y d l es un vector que representa la longitud diferencial de un pequeño elemento de una curva definida, la contribución de esa longitud diferencial a la circulación es dΓ : dΓ=V⋅dl=|V||dl|porque⁡θ.{\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .}

Aquí, θ es el ángulo entre los vectores V y d l .

La circulación Γ de un campo vectorial V alrededor de una curva cerrada C es la integral de línea : [ 5 ] [ 6 ]Γ=∮doV⋅dl.{\displaystyle \Gamma =\oint _ {C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}

En un campo vectorial conservativo, esta integral se anula para cada curva cerrada. Esto significa que la integral de línea entre dos puntos cualesquiera del campo es independiente de la trayectoria seguida. También implica que el campo vectorial puede expresarse como el gradiente de una función escalar, que se denomina potencial . [ 6 ]

Relación con la vorticidad y el rizo

La circulación puede relacionarse con el rotacional de un campo vectorial V y, más específicamente, con la vorticidad si el campo es un campo de velocidad de fluido, ω=∇×V.{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}

Según el teorema de Stokes , el flujo de vectores de rotacional o vorticidad a través de una superficie S es igual a la circulación alrededor de su perímetro, [ 6 ]Γ=∮∂SV⋅dl=∬S∇×V⋅dS=∬Sω⋅dS{\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

Aquí, la trayectoria de integración cerrada ∂S es el límite o perímetro de una superficie abierta S , cuyo elemento infinitesimal normal d S = n dS está orientado según la regla de la mano derecha . Por lo tanto, el rizo y la vorticidad son la circulación por unidad de área, tomada alrededor de un bucle infinitesimal local.

En el flujo potencial de un fluido con una región de vorticidad , todas las curvas cerradas que encierran la vorticidad tienen el mismo valor para la circulación. [ 7 ]

Usos

Teorema de Kutta-Joukowski en dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos, la sustentación por unidad de longitud (L') que actúa sobre un cuerpo en un campo de flujo bidimensional es directamente proporcional a la circulación. La sustentación por unidad de longitud se puede expresar como el producto de la circulación Γ alrededor del cuerpo y la densidad del fluido.ρ{\displaystyle \rho }y la velocidad del cuerpo en relación con la corriente libre.v∞{\displaystyle v_{\infty }}: L′=ρv∞Γ{\displaystyle L'=\rho v_{\infty }\Gamma }

Esto se conoce como el teorema de Kutta-Joukowski. [ 8 ]

Esta ecuación se aplica alrededor de perfiles aerodinámicos, donde la circulación se genera por la acción del perfil ; y alrededor de objetos giratorios que experimentan el efecto Magnus , donde la circulación se induce mecánicamente. En la acción del perfil aerodinámico, la magnitud de la circulación está determinada por la condición de Kutta . [ 8 ]

La circulación en cada curva cerrada alrededor del perfil aerodinámico tiene el mismo valor y está relacionada con la sustentación generada por cada unidad de longitud de envergadura. Siempre que la curva cerrada encierre el perfil aerodinámico, la elección de la curva es arbitraria. [ 7 ]

La circulación se utiliza a menudo en la dinámica de fluidos computacional como variable intermedia para calcular las fuerzas que actúan sobre un perfil aerodinámico u otro cuerpo.

Ecuaciones fundamentales del electromagnetismo

En electrodinámica, la ley de inducción de Maxwell-Faraday se puede enunciar en dos formas equivalentes: [ 9 ] que el rotacional del campo eléctrico es igual a la tasa de cambio negativa del campo magnético, ∇×mi=−∂B∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}

o que la circulación del campo eléctrico alrededor de una espira es igual a la tasa de cambio negativa del flujo del campo magnético a través de cualquier superficie abarcada por la espira, según el teorema de Stokes. ∮∂Smi⋅dl=∬S∇×mi⋅dS=−ddt∫SB⋅dS.{\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}.}

La circulación de un campo magnético estático es, según la ley de Ampère , proporcional a la corriente total encerrada por el circuito. ∮∂SB⋅dl=μ0∬SJ⋅dS=μ0Ienc.{\displaystyle \oint _ {\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _ {0}\iint _ {S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _ {0}I_ {\text{enc}}.}

Para sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Moffat, HK BREVE INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DE VÓRTICES Y LA TURBULENCIA (PDF) . Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica, Universidad de Cambridge.
  2. ↑ Lanchester, Frederick. W (1907). AERODINÁMICA . Londres: ARCHIBALD CONSTABLE & CO.
  3. ↑ Prandtl, Ludwig (1922). APLICACIONES DE LA HIDRODINÁMICA MODERNA A LA AERONÁUTICA (PDF) . Estados Unidos: Comité Asesor Nacional de Aeronáutica.
  4. ↑ Anderson, John D. (1984), Fundamentos de aerodinámica , Sección 2.13, McGraw Hill
  5. ↑ Robert W. Fox; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard (2003). Introducción a la mecánica de fluidos (6.ª ed.). Wiley . ISBN  978-0-471-20231-8.
  6. 1 2 3 "Las Lecciones de Física de Feynman Vol. II Cap. 3: Cálculo Integral Vectorial" . feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .
  7. 1 2 Anderson, John D. (1984), Fundamentos de aerodinámica , sección 3.16. McGraw-Hill. ISBN 0-07-001656-9
  8. 1 2 a. m. Kuethe; JD Schetzer (1959). Fundamentos de la aerodinámica (2 ed.). John Wiley e hijos . §4.11. ISBN  978-0-471-50952-3.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  9. ↑ "Las Lecciones de Física de Feynman Vol. II Cap. 17: Las Leyes de Inducción" . feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 2 de noviembre de 2020 .