Flujo equilibrado

Las ecuaciones de momento se escriben principalmente para la trayectoria genérica de un paquete de flujo que se desplaza en un plano horizontal y se toman en un tiempo transcurrido determinado, denominado t . La posición del paquete se define por la distancia recorrida en la trayectoria s = s ( t ) hasta el tiempo t . Sin embargo, en realidad, la trayectoria es el resultado del equilibrio de fuerzas que actúan sobre la partícula. En esta sección, asumimos que la conocemos desde el principio para facilitar la representación. Cuando consideremos el movimiento determinado por las fuerzas seleccionadas a continuación, tendremos indicios de qué tipo de trayectoria se ajusta al equilibrio de fuerzas particular.

La trayectoria en una posición s tiene un vector unitario tangente s que apunta invariablemente en la dirección de crecimiento de s , así como un vector unitario n , perpendicular a s , que apunta hacia el centro de curvatura local O. El centro de curvatura se encuentra en el lado interior de la curva y puede desplazarse a ambos lados de la trayectoria según su forma. La distancia entre la posición de la parcela y el centro de curvatura es el radio de curvatura R en esa posición. El radio de curvatura tiende a infinito en los puntos donde la trayectoria se vuelve recta y la orientación positiva de n no está determinada en este caso particular (discutido en flujos geostróficos ). El sistema de referencia ( s , n ) se muestra mediante las flechas rojas en la figura. Este sistema se denomina natural o intrínseco porque los ejes se ajustan continuamente a la parcela en movimiento y, por lo tanto, están estrechamente relacionados con su destino.

El vector de velocidad ( V ) está orientado como s y tiene una intensidad ( velocidad ) V = d s /d t . Esta velocidad es siempre una cantidad positiva, ya que cada parcela se mueve a lo largo de su propia trayectoria y, para tiempos crecientes (d t >0), la longitud pisoteada también aumenta (d s >0).

El vector de aceleración de la parcela se descompone en una aceleración tangencial paralela a s y una aceleración centrípeta a lo largo del eje n positivo . La aceleración tangencial solo modifica la velocidad V y es igual a D V /D t , donde las d mayúsculas representan la derivada material . La aceleración centrípeta siempre apunta hacia el centro de curvatura O y solo modifica la dirección s del desplazamiento hacia adelante mientras la parcela avanza.

En la idealización de flujo equilibrado, consideramos un equilibrio de fuerzas en tres direcciones que son:

• Fuerza de presión. Esta es la acción sobre la parcela que surge de las diferencias espaciales de presión atmosférica p a su alrededor. (Los cambios temporales no son relevantes aquí). El cambio espacial de presión se visualiza mediante isobaras , que son contornos que unen las ubicaciones donde la presión tiene el mismo valor. En la figura, esto se muestra de forma simplificada mediante líneas rectas igualmente espaciadas. La fuerza de presión que actúa sobre la parcela es el negativo del vector gradiente de p (en símbolos: grad p ), dibujado en la figura como una flecha azul. En todos los puntos, el gradiente de presión apunta en la dirección de máximo aumento de p y siempre es normal a la isobara en ese punto. Dado que el paquete de flujo experimenta un empuje de las presiones más altas a las más bajas, la fuerza efectiva del vector de presión es contraria al gradiente de presión, de ahí el signo negativo delante del vector gradiente.
• Fricción . Esta es una fuerza que siempre se opone al movimiento hacia adelante, por lo que el vector actúa invariablemente en la dirección negativa s con el efecto de reducir la velocidad. La fricción que interviene en los modelos de flujo equilibrado es la que ejerce la rugosidad de la superficie terrestre sobre el aire que se mueve a mayor altura. Para simplificar, aquí suponemos que la fuerza de fricción (por unidad de masa) se ajusta a la velocidad de la parcela proporcionalmente mediante un coeficiente de fricción constante K. En condiciones más realistas, la dependencia de la fricción con respecto a la velocidad es no lineal, excepto para flujos laminares lentos .
• Fuerza de Coriolis . Esta acción, debida a la rotación de la Tierra, tiende a desplazar cualquier cuerpo que viaje en el hemisferio norte (sur) hacia su derecha (izquierda). Su intensidad por unidad de masa es proporcional a la velocidad V y aumenta en magnitud desde el ecuador (donde es cero) hacia los polos proporcionalmente a la frecuencia de Coriolis local f (un número positivo al norte del ecuador y negativo al sur). Por lo tanto, el vector de Coriolis apunta invariablemente hacia los lados, es decir, a lo largo del eje n . Su signo en la ecuación de equilibrio puede cambiar, ya que la orientación positiva de n oscila entre la derecha y la izquierda de la trayectoria en función únicamente de su curvatura, mientras que el vector de Coriolis apunta hacia un lado u otro en función de la posición del paquete en la Tierra. La expresión exacta de la fuerza de Coriolis es algo más compleja que el producto del parámetro de Coriolis y la velocidad del paquete. Sin embargo, esta aproximación es consistente con haber despreciado la curvatura de la superficie terrestre.

En la situación ficticia representada en la figura, la fuerza de presión empuja la parcela hacia adelante a lo largo de la trayectoria y hacia adentro con respecto a la curva; la fuerza de Coriolis empuja hacia adentro (hacia afuera) de la curva en el hemisferio norte (sur); y la fricción tira (necesariamente) hacia atrás.

Para el equilibrio dinámico de la parcela , cualquiera de las componentes de la aceleración multiplicada por la masa de la parcela es igual a las componentes de las fuerzas externas que actúan en la misma dirección. Dado que las ecuaciones de equilibrio para la parcela se escriben en coordenadas naturales, las ecuaciones de componentes para el momento horizontal por unidad de masa se expresan de la siguiente manera: $${\displaystyle {\frac {DV}{Dt}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}}-KV}$$$${\displaystyle {\frac {V^{2}}{R}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}\pm fV,}$$ en las direcciones hacia adelante y hacia los lados respectivamente, donde ρ es la densidad del aire .

Los términos se pueden desglosar de la siguiente manera:

• ${\displaystyle {DV}/{Dt}}$es la tasa de cambio de velocidad temporal de la parcela (aceleración tangencial);
• ${\displaystyle -{\partial p}/{\partial s}}$es el componente de la fuerza de presión por unidad de volumen a lo largo de la trayectoria;
• ${\displaystyle -KV}$es la desaceleración debida a la fricción;
• ${\displaystyle {V^{2}}/{R}}$es la aceleración centrípeta;
• ${\displaystyle -{\partial p}/{\partial n}}$es la componente de la fuerza de presión por unidad de volumen perpendicular a la trayectoria;
• ${\displaystyle \pm fV}$es la fuerza de Coriolis por unidad de masa (la ambigüedad del signo depende de la orientación mutua del vector de fuerza y ​​n ).

En las siguientes discusiones, consideramos un flujo en estado estacionario. Por lo tanto, la velocidad no puede cambiar con el tiempo, y las fuerzas componentes que producen aceleración tangencial deben sumarse a cero. En otras palabras, las fuerzas activas y resistivas deben equilibrarse en la dirección de avance para que${\displaystyle DV/Dt=0}$Es importante destacar que aún no se ha asumido si las fuerzas del lado derecho son significativas o insignificantes en ese punto. Además, las trayectorias y las líneas de corriente coinciden en condiciones de estado estacionario, y los pares de adjetivos tangencial/normal y longitudinal/transversal se vuelven intercambiables. Un flujo atmosférico en el que la aceleración tangencial no es insignificante se denomina alisobárico .

La dirección de la velocidad aún puede cambiar en el espacio a lo largo de la trayectoria que, excluyendo los flujos inerciales , está determinada por el patrón de presión.

Omitiendo términos específicos en las ecuaciones de balance tangencial y normal, obtenemos uno de los cinco flujos idealizados siguientes: antitripsítico , geostrófico , ciclostrófico , inercial y de gradiente . Razonando sobre el balance de los términos restantes, podemos comprender

• ¿Qué disposición del campo de presión permite tales flujos?
• a lo largo de qué trayectoria viaja la porción de aire; y
• con qué velocidad lo hace.

La siguiente tabla binaria muestra qué contribuciones se consideran en cada idealización. La esquematización de la capa de Ekman también se menciona para mayor exhaustividad y se trata por separado, ya que implica la fricción interna del aire en lugar de la que existe entre el aire y el suelo.

En la ecuación de momento en la dirección del flujo, la fricción equilibra la componente del gradiente de presión sin ser despreciable (de modo que K ≠ 0). El vector gradiente de presión está formado únicamente por la componente a lo largo de la tangente de la trayectoria s . El equilibrio en la dirección del flujo determina la velocidad antitripsítica como$${\displaystyle V=-{\frac {1}{K\rho }}{\frac {\partial p}{\partial s}}}$$

Una velocidad positiva está garantizada por el hecho de que los flujos antitripticos se mueven a lo largo de la pendiente descendente del campo de presión, de modo que matemáticamente${\displaystyle {\partial p}/{\partial s}<0}$Si el producto KV es constante y ρ permanece igual, p varía linealmente con s y la trayectoria es tal que la parcela experimenta caídas de presión iguales mientras recorre distancias iguales. (Esto cambia, por supuesto, al usar un modelo de fricción no lineal o un coeficiente de fricción que varía espacialmente para tener en cuenta las diferentes rugosidades de la superficie).

En la ecuación de momento transversal, tanto la fuerza de Coriolis como el gradiente de presión normal son despreciables, lo que resulta en una acción de flexión neta nula. A medida que el término centrífugo${\displaystyle {V^{2}}/{R}}$se desvanece mientras la velocidad no sea cero, el radio de curvatura tiende a infinito y la trayectoria debe ser una línea recta. Además, la trayectoria es perpendicular a las isobaras ya que${\displaystyle \partial p/\partial n=0}$Dado que esta condición se da cuando la dirección n es la de una isobara, s es perpendicular a las isobaras. Por lo tanto, las isobaras antitrípticos deben ser círculos equidistantes o líneas rectas.

El flujo antitripsítico es probablemente la menos utilizada de las cinco idealizaciones de flujo equilibrado, debido a que las condiciones son bastante estrictas. Sin embargo, es la única en la que la fricción subyacente se considera una contribución primaria. Por lo tanto, la esquematización antitripsítica se aplica a flujos que tienen lugar cerca de la superficie terrestre, en una región conocida como capa de tensión constante .

En realidad, el flujo en la capa de tensión constante también tiene un componente paralelo a las isobaras, ya que suele estar impulsado por el flujo más rápido que se encuentra por encima. Esto se debe al llamado flujo de aire libre a valores altos, que tiende a ser paralelo a las isobaras, y al flujo de Ekman a valores intermedios, que provoca una reducción de la velocidad del aire libre y un cambio de dirección al aproximarse a la superficie.

Debido a que se desprecian los efectos de Coriolis, el flujo antitríptico se produce cerca del ecuador (independientemente de la escala de longitud del movimiento) o en cualquier otro lugar cuando el número de Ekman del flujo es grande (normalmente para procesos a pequeña escala), a diferencia de los flujos geostróficos.

El flujo antitripsítico puede utilizarse para describir algunos fenómenos de la capa límite, como las brisas marinas, el bombeo de Ekman y el chorro de bajo nivel de las Grandes Llanuras. ^{[ 1 ]}

En la ecuación de momento en la dirección del flujo, la fricción despreciable se expresa mediante K = 0 y, para un equilibrio en estado estacionario, se deduce una fuerza de presión despreciable en la dirección del flujo.

La velocidad no puede determinarse mediante este equilibrio. Sin embargo,${\displaystyle \partial p/\partial s=0}$Esto implica que la trayectoria debe transcurrir a lo largo de las isobaras; de lo contrario, la parcela en movimiento experimentaría cambios de presión similares a los de los flujos antitripticos. Por lo tanto, la ausencia de curvatura solo es posible si las isobaras son líneas rectas desde el principio. Así, los flujos geostróficos adoptan la apariencia de una corriente canalizada a lo largo de dichas isobaras.

En la ecuación de momento transversal, la fuerza de Coriolis, que no es despreciable, se equilibra con la fuerza de presión, de manera que la parcela no experimenta ninguna flexión. Dado que la trayectoria no se curva, la orientación positiva de n no puede determinarse por falta de un centro de curvatura. En este caso, los signos de las componentes del vector normal se vuelven inciertos. Sin embargo, la fuerza de presión debe contrarrestar exactamente la fuerza de Coriolis, por lo que la parcela de aire debe desplazarse con la fuerza de Coriolis en sentido contrario a la pendiente lateral decreciente de la presión. Por lo tanto, independientemente de la incertidumbre al establecer formalmente el vector unitario n , la parcela siempre se desplaza con la presión más baja a su izquierda (derecha) en el hemisferio norte (sur).

La velocidad geostrófica es$${\displaystyle V={\frac {1}{\rho }}\left|{\frac {1}{f}}{\frac {\partial p}{\partial n}}\right|.}$$

La expresión de la velocidad geostrófica se asemeja a la de la velocidad antitripsítica: en este caso, la velocidad está determinada por la magnitud del gradiente de presión a través (en lugar de a lo largo) de la trayectoria que se desarrolla a lo largo (en lugar de a través) de una isobara.

Los modeladores, teóricos y pronosticadores operativos suelen utilizar la aproximación geostrófica / cuasi-geostrófica . Dado que la fricción es insignificante, el equilibrio geostrófico se ajusta a flujos que se encuentran a una altura suficiente sobre la superficie terrestre. Debido a que la fuerza de Coriolis es relevante, normalmente se ajusta a procesos con un número de Rossby pequeño , que suelen tener grandes escalas de longitud. Las condiciones geostróficas también se dan en flujos con un número de Ekman pequeño , a diferencia de las condiciones antitrípticas .

Es frecuente que las condiciones geostróficas se desarrollen entre un par bien definido de zonas de alta y baja presión; o que una corriente geostrófica principal esté flanqueada por varias regiones de mayor y menor presión a ambos lados (véanse las imágenes). Si bien las ecuaciones de flujo equilibrado no contemplan la fricción interna (aire-aire), las direcciones del flujo en las corrientes geostróficas y los sistemas rotatorios cercanos también son compatibles con el contacto por cizallamiento entre ellas.

La velocidad de una corriente geostrófica es mayor (menor) que la del flujo curvo alrededor de una zona de baja (alta) presión con el mismo gradiente de presión: esta característica se explica mediante la esquematización más general del flujo con gradiente . Esto permite utilizar la velocidad geostrófica como una estimación aproximada de configuraciones más complejas; véanse también las velocidades de flujo equilibrado que se comparan a continuación.

La etimología y los gráficos de presión mostrados sugieren que los flujos geostróficos pueden describir el movimiento atmosférico a escalas bastante grandes, aunque no necesariamente.

Al igual que en el equilibrio geostrófico, el flujo no presenta fricción y, para un movimiento en estado estacionario, las trayectorias siguen las isobaras.

En la ecuación de momento transversal, solo se descarta la fuerza de Coriolis, de modo que la aceleración centrípeta es simplemente la fuerza de presión transversal por unidad de masa. $${\displaystyle {\frac {V^{2}}{R}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}.}$$

Esto implica que la trayectoria está sujeta a una acción de flexión y que la velocidad ciclostrófica es $${\displaystyle V={\sqrt {-{\frac {R}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}}}.}$$

Así pues, la velocidad ciclostrófica viene determinada por la magnitud del gradiente de presión a lo largo de la trayectoria y por el radio de curvatura de la isobara. El flujo es más rápido cuanto más lejos se encuentra del centro de curvatura, aunque la diferencia no es lineal.

Otra implicación de la ecuación de momento transversal es que un flujo ciclostrófico solo puede desarrollarse junto a una zona de baja presión. Esto se deduce del requisito de que la cantidad bajo la raíz cuadrada sea positiva. Recordemos que se encontró que la trayectoria ciclostrófica era una isobara. Solo si la presión aumenta desde el centro de curvatura hacia afuera, la derivada de la presión es negativa y la raíz cuadrada está bien definida; por lo tanto, la presión en el centro de curvatura debe ser baja. Las matemáticas anteriores no dan ninguna pista sobre si la rotación ciclostrófica termina siendo en sentido horario o antihorario, lo que significa que la disposición final es consecuencia de efectos no contemplados en la relación, a saber, la rotación de la célula madre.

La esquematización ciclostrófica es realista cuando las fuerzas de Coriolis y de fricción son despreciables, es decir, para flujos con un número de Rossby elevado y un número de Ekman pequeño . Los efectos de Coriolis suelen ser despreciables en latitudes bajas o a escalas menores. El equilibrio ciclostrófico puede alcanzarse en sistemas como tornados , remolinos de polvo y trombas marinas . La velocidad ciclostrófica también puede considerarse como una de las contribuciones al equilibrio de gradiente-velocidad, como se muestra a continuación.

Entre los estudios que utilizan la esquematización ciclostrófica, Rennó y Bluestein ^{[ 2 ]} utilizan la ecuación de velocidad ciclostrófica para construir una teoría para trombas marinas; y Winn, Hunyady y Aulich ^{[ 3 ]} utilizan la aproximación ciclostrófica para calcular los vientos tangenciales máximos de un gran tornado que pasó cerca de Allison, Texas, el 8 de junio de 1995.

Como antes, el flujo sin fricción en condiciones de estado estacionario implica que ${\displaystyle \partial p/\partial s=0}$Sin embargo, en este caso, las isobaras no están definidas en primer lugar. No podemos predecir la trayectoria a partir de la disposición del campo de presión.

En la ecuación de momento transversal, después de omitir la fuerza de presión, la aceleración centrípeta es la fuerza de Coriolis por unidad de masa. La ambigüedad del signo desaparece, porque la flexión está determinada únicamente por la fuerza de Coriolis que establece indiscutiblemente el lado de la curvatura; por lo tanto, esta fuerza siempre tiene un signo positivo. La rotación inercial será en sentido horario (antihorario) en el hemisferio norte (sur). La ecuación de momento $${\displaystyle {\frac {V^{2}}{R}}=\left|f\right|V,}$$ nos da la velocidad inercial $${\displaystyle V=\left|f\right|R.}$$

La ecuación de velocidad inercial solo permite determinar la velocidad o el radio de curvatura una vez que se conoce el otro. La trayectoria resultante de este movimiento se conoce como círculo inercial . El modelo de flujo equilibrado no proporciona información sobre la velocidad inicial de un círculo inercial, la cual debe ser provocada por alguna perturbación externa.

Dado que el movimiento atmosférico se debe principalmente a las diferencias de presión, el flujo inercial no es muy aplicable en la dinámica atmosférica. Sin embargo, la velocidad inercial aparece como una contribución a la solución de la velocidad de gradiente (véase a continuación). Además, se observan flujos inerciales en las corrientes oceánicas, donde los flujos están menos impulsados ​​por las diferencias de presión que en el aire debido a su mayor densidad; el equilibrio inercial puede ocurrir a profundidades tales que la fricción transmitida por los vientos superficiales hacia abajo se anula.

Como en todos los casos, excepto en el equilibrio antitripsivo, las fuerzas de fricción y presión se desprecian en la ecuación de momento en la dirección del flujo, de modo que se deduce de${\displaystyle \partial p/\partial s=0}$que el flujo sea paralelo a las isobaras.

Resolver la ecuación completa de momento transversal como una ecuación cuadrática para V produce $${\displaystyle V=\pm {\frac {fR}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {f^{2}R^{2}}{4}}-{\frac {R}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial n}}}}.}$$

No todas las soluciones de la velocidad del viento en gradiente dan resultados físicamente plausibles: el término del lado derecho debe ser positivo debido a la definición de velocidad; y la cantidad bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa. La primera ambigüedad de signo se deriva de la orientación mutua de la fuerza de Coriolis y el vector unitario n , mientras que la segunda se deriva de la raíz cuadrada.

A continuación se analizan los casos importantes de circulaciones ciclónicas y anticiclónicas.

El flujo de gradiente es útil para estudiar el flujo atmosférico que gira alrededor de centros de alta y baja presión con números de Rossby pequeños. Este es el caso en el que el radio de curvatura del flujo alrededor de los centros de presión es pequeño, y el flujo geostrófico ya no se aplica con un grado de precisión útil.

Gráficos de presión superficial que respaldan las condiciones de viento gradual.

Baja presión al oeste de Irlanda y condiciones ciclónicas.

Alta presión sobre las Islas Británicas y condiciones anticiclónicas.