función sinc

En matemáticas , física e ingeniería , la función sinc ( / ˈ s ɪ ŋ k / SINK ), denotada por sinc( x ) , se define como: $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$ o $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$$

Esta última se conoce a veces como la función sinc normalizada . La única diferencia entre ambas definiciones radica en el escalado de la variable independiente (el eje x ) por un factor de π . En ambos casos, el valor de la función en la singularidad removible en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por lo tanto, una función entera .

La función sinc normalizada es la transformada de Fourier de la función rectangular sin escalado. Se utiliza para reconstruir una señal continua de banda limitada a partir de muestras uniformemente espaciadas de dicha señal. El filtro sinc se emplea en el procesamiento de señales.

La función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez en esta forma por Lord Rayleigh en su expresión ( fórmula de Rayleigh ) para la función de Bessel esférica de orden cero de primera especie.

La función sinc también se denomina función seno cardinal .

La función sinc tiene dos formas: normalizada y no normalizada. ^{[ 1 ]}

En matemáticas, la función sinc histórica no normalizada se define para x ≠ 0 por $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}$$

Alternativamente, la función sinc no normalizada se denomina a menudo función de muestreo , indicada como Sa( x ). ^{[ 2 ]}

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la información , la función sinc normalizada se define comúnmente para x ≠ 0 mediante $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}$$

En ambos casos, el valor en x = 0 se define como el valor límite. $${\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}$$para todo a real ≠ 0 (el límite se puede demostrar utilizando el teorema de compresión ).

La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π ). Como propiedad útil adicional, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros no nulos de x .

La función también se ha denominado seno cardinal o función seno cardinal . ^{[ 3 ] [ 4 ]} El término "sinc" es una contracción del nombre latino completo de la función, sinus cardinalis ^{[ 5 ]} y fue introducido por Philip M. Woodward e IL Davies en su artículo de 1952 "Teoría de la información y probabilidad inversa en las telecomunicaciones", afirmando: "Esta función aparece con tanta frecuencia en el análisis de Fourier y sus aplicaciones que parece merecer una notación propia". ^{[ 6 ]} También se utiliza en el libro de Woodward de 1953, Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . ^{[ 5 ] [ 7 ]} 

Los cruces por cero de la función sinc no normalizada se producen en múltiplos enteros de π distintos de cero , mientras que los cruces por cero de la función sinc normalizada se producen en enteros distintos de cero.

Los extremos locales de la función sinc no normalizada corresponden a sus intersecciones con la función coseno . Es decir, sin ( ξ ) / ξ = cos( ξ ) para todos los puntos ξ donde la derivada de sin ( x ) / x es cero y , por lo tanto, se alcanza un extremo local. Esto se deduce de la derivada de la función sinc: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.}$$

Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del n -ésimo extremo con coordenada x positiva son$${\displaystyle x_{n}=qq^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}$$ dónde $${\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}$$ y donde n impar conduce a un mínimo local, y n par a un máximo local. Debido a la simetría alrededor del eje y , existen extremos con coordenadas x − x _n . Además, hay un máximo absoluto en ξ ₀ = (0, 1) .

La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$$

y está relacionada con la función gamma Γ( x ) , así como con la función Pi de Gauss , a través de la fórmula de reflexión de Euler : $${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{\Pi (x)\Pi (-x)}}.}$$

Euler descubrió ^{[ 8 ]} que $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}$$ y debido a la identidad producto-suma ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}$$ El producto de Euler se puede reformular como una suma $${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}$$

La transformada continua de Fourier de la función sinc normalizada (a frecuencia ordinaria) es rect ( f ) : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}$$ donde la función rectangular es 1 para argumentos entre − 1 / 2 y 1 / 2 , y cero en caso contrario. Esto corresponde al hecho de que el filtro sinc es el filtro de paso bajo ideal ( de pared de ladrillo , es decir , con respuesta en frecuencia rectangular ) .

Esta integral de Fourier, incluyendo el caso especial $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}$$ es una integral impropia (véase integral de Dirichlet ) y no una integral de Lebesgue convergente , como $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$$

La función sinc normalizada posee propiedades que la hacen ideal en relación con la interpolación de funciones muestreadas de ancho de banda limitado :

• Es una función de interpolación, es decir, sinc(0) = 1 y sinc( k ) = 0 para un entero k distinto de cero .
• Las funciones x _k ( t ) = sinc( t − k ) ( k entero) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio de funciones L ² ( R ) , con la frecuencia angular más alta ω _H = π (es decir, la frecuencia de ciclo más alta f _H = ⁠ 1 / 2 ⁠ ).

Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:

• La función sinc no normalizada es la función de Bessel esférica de orden cero de primera especie, j ₀ ( x ) . La función sinc normalizada es j ₀ (π x ) .
• donde Si( x ) es la integral del seno ,$${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}$$
• λ sinc( λx ) (no normalizado) es una de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal.$${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}$$La otra es ⁠ cos( λx ) / x ⁠ , que no está acotada en x = 0 , a diferencia de su contraparte de función sinc.
• Utilizando sinc normalizado,$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}$$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$
• La siguiente integral impropia involucra la función sinc (no normalizada):$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$$

La función sinc normalizada puede utilizarse como una función delta naciente , lo que significa que se cumple el siguiente límite débil :

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}$$

Este no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}$$

para cada función de Schwartz , como se puede ver a partir del teorema de inversión de Fourier . En la expresión anterior, cuando a → 0 , el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc tiende a infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ± ⁠ 1 / π x ⁠ , independientemente del valor de a .

Esto complica la imagen informal de δ ( x ) como cero para todo x excepto en el punto x = 0 , e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función en lugar de como una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs .

También podemos establecer una conexión inmediata con la representación estándar de Dirac de${\displaystyle \delta (x)}$escribiendo${\displaystyle b=1/a}$y

$${\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\frac {\sin \left(b\pi x\right)}{\pi x}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b\pi }^{b\pi }e^{ikx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk=\delta (x),}$$

lo que deja clara la recuperación del delta como un límite de ancho de banda infinito de la integral.

Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.

La suma de sinc( n ) sobre enteros n desde 1 hasta ∞ es igual a ⁠ π − 1 / 2 ⁠ :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

La suma de los cuadrados también es igual a ⁠ π − 1 / 2 ⁠ : ^{[ 10 ] [ 11 ]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}$$

Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual a 1/2 :$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

Las sumas alternas de los cuadrados y los cubos también son ^iguales a 1/2 : ^[ 12 ^]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}$$

La serie de Taylor de la función sinc no normalizada se puede obtener a partir de la del seno (que también produce su valor de 1 en x = 0 ): $${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

La serie converge para todo x . La versión normalizada se obtiene fácilmente: $${\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }$$

Euler comparó esta serie, en una famosa ocasión, con la expansión de la forma de producto infinito para resolver el problema de Basilea .

El producto de funciones sinc unidimensionales proporciona fácilmente una función sinc multivariada para la cuadrícula cartesiana cuadrada ( red ): sinc _C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) , cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencias (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio bidimensional). La función sinc para una red no cartesiana (por ejemplo, red hexagonal ) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouin de esa red. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencias. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un simple producto tensorial . Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para las redes hexagonales , cúbicas centradas en el cuerpo , cúbicas centradas en las caras y otras redes de dimensiones superiores se puede derivar explícitamente ^{[ 13 ]} utilizando las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin y su conexión con los zonotopos .

Por ejemplo, una red hexagonal puede generarse mediante el espacio lineal (entero) generado por los vectores. $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}$$

Denotando $${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$$ Se puede derivar ^{[ 13 ]} la función sinc para esta red hexagonal como $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}$$

Esta construcción se puede utilizar para diseñar la ventana de Lanczos para retículos multidimensionales generales. ^{[ 13 ]}

Algunos autores, por analogía, definen la función cardinal seno hiperbólico . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle \mathrm {sinhc} (x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\sinh(x)}{x}},}&{\text{if }}x\neq 0\\{\displaystyle 1,}&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

• Filtro anti-aliasing : transformación matemática que reduce el daño causado por el aliasing. 
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• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon – Algoritmo de (re)construcción de señales 
• Proyección tripel de Winkel – Proyección cartográfica de compromiso pseudoazimutal (cartografía) 

• Stenger, Frank (1993). Métodos numéricos basados ​​en funciones sinc y analíticas . Springer Series on Computational Mathematics. Vol.  20. Springer-Verlag New York, Inc. doi : 10.1007/978-1-4612-2706-9 . ISBN 9781461276371.

• Weisstein, Eric W. "Función Sinc" . MathWorld .