Combo de Dirac

En matemáticas , un peine de Dirac (también conocido como función sha , tren de impulsos o función de muestreo ) es una función generalizada periódica con la fórmula $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$$ durante un período determinado${\displaystyle T}$⁠ . ^{[ 1 ]} Aquí ⁠${\displaystyle t}$es una variable real y la suma se extiende sobre todos los números enteros .${\displaystyle k}$La función delta de Dirac${\displaystyle \delta }$y el peine de Dirac son distribuciones temperadas . ^{[ 2 ] [ 3 ]} La gráfica de la función se asemeja a un peine (con el${\displaystyle \delta }$s como los 'dientes' del peine), de ahí su nombre y el uso de la letra cirílica sha (Ш) con forma de peine para denotar la función.

El símbolo${\displaystyle {\text{Ш}}(t)}$⁠ , donde el período ⁠${\displaystyle T}$Se omite, representa un peine de Dirac de período unitario: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t):=\operatorname {\text{Ш}} _{1}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (tk)}$$ Esto implica ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({t}/{T}\right).}$$

Debido a que la función peine de Dirac es periódica, puede representarse como una serie de Fourier basada en el núcleo de Dirichlet : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{t}/{T}}.}$$

La función peine de Dirac permite representar fenómenos continuos y discretos , como el muestreo y el aliasing , en un único marco de análisis de Fourier continuo sobre distribuciones temperadas, sin ninguna referencia a series de Fourier. La transformada de Fourier de un peine de Dirac es otro peine de Dirac. Gracias al teorema de convolución sobre distribuciones temperadas, que resulta ser la fórmula de suma de Poisson , en el procesamiento de señales , el peine de Dirac permite modelar el muestreo mediante la multiplicación con él, pero también permite modelar la periodización mediante la convolución con él. ^{[ 4 ]}

El peine de Dirac se puede construir de dos maneras, ya sea utilizando el operador peine (realizando muestreo ) aplicado a la función constante .${\displaystyle 1}$⁠ , o, alternativamente, utilizando el operador rep (realizando periodización ) aplicado al delta de Dirac ⁠${\displaystyle \delta }$Formalmente , esto produce lo siguiente: ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$$ dónde $${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$$y$${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$$

En el procesamiento de señales , esta propiedad permite, por un lado, muestrear una función.${\displaystyle f(t)}$mediante la multiplicación con ⁠${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$⁠ , y por otro lado también permite la periodización de${\displaystyle f(t)}$mediante convolución con ⁠${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$⁠ . ^{[ 7 ]} La identidad del peine de Dirac es un caso particular del Teorema de Convolución para distribuciones temperadas.

La propiedad de escala del peine de Dirac se deriva de las propiedades de la función delta de Dirac . Dado que${\displaystyle \delta (t)={\tfrac {1}{a}}\delta \!\left({\tfrac {t}{a}}\right)}$^{[ 8 ]} para números reales positivos⁠${\displaystyle a}$⁠ , de ello se deduce que: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({\frac {t}{T}}\right),}$$$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \!\left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}\!\left({\frac {t}{a}}\right).}$$ Tenga en cuenta que se requieren números de escala positivos${\displaystyle a}$en lugar de negativos no es una restricción porque el signo negativo solo invertiría el orden de la suma dentro de${\displaystyle {\text{Ш}}_{T}}$⁠ , lo cual no afecta el resultado.

Está claro que${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$es periódico con periodo ⁠${\displaystyle T}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$$ para todos${\displaystyle t}$⁠ . La serie de Fourier compleja para dicha función periódica es $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{t}/{T}},}$$ donde (utilizando la teoría de la distribución ) los coeficientes de Fourier son $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{T}/{2}}^{{T}/{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{T}/{2}}^{{T}/{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{t}/{T}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$$

Todos los coeficientes de Fourier son${\displaystyle 1/T}$⁠ , lo que resulta en $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi n{t}/{T}}.}$$

Cuando el período es una unidad, esto se simplifica a $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{i2\pi nx}.}$$ Esta es una serie divergente , cuando se entiende como una serie de números complejos ordinarios, pero se vuelve convergente en el sentido de distribuciones .

Una "raíz cuadrada" del peine de Dirac se emplea en algunas aplicaciones a la física, específicamente: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \delta _{N}^{(1/2)}(\xi )={\frac {1}{\sqrt {NT}}}\sum _{\nu =0}^{N-1}e^{-i{\frac {2\pi }{T}}\xi \nu },\quad \lim _{N\rightarrow \infty }\left|\delta _{N}^{(1/2)}(\xi )\right|^{2}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -kT).}$$ Sin embargo, esta no es una distribución en el sentido ordinario.

La transformada de Fourier de un peine de Dirac también es un peine de Dirac. Para la transformada de Fourier${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Expresado en el dominio de la frecuencia (Hz), el peine de Dirac${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$del período${\displaystyle T}$se transforma en un peine de Dirac reescalado de período ⁠${\displaystyle 1/T}$⁠ , es decir, para

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-2\pi i\xi t},}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\xi )={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\xi -k{\frac {1}{T}})={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(\xi )}$

es proporcional a otro peine de Dirac, pero con período${\displaystyle 1/T}$en el dominio de la frecuencia (radianes/s). El peine de Dirac${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$de período unitario${\displaystyle T=1}$es, por lo tanto, una autofunción de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$al valor propio${\displaystyle 1}$⁠ .

Este resultado se puede establecer ^{[ 7 ]} considerando las transformadas de Fourier respectivas.${\displaystyle S_{\tau }(\xi )={\mathcal {F}}[s_{\tau }](\xi )}$de la familia de funciones${\displaystyle s_{\tau }(x)}$definido por

${\displaystyle s_{\tau }(x)=\tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{2}x^{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}.}$

Desde${\displaystyle s_{\tau }(x)}$es una serie convergente de funciones gaussianas , y las gaussianas se transforman en gaussianas , cada una de sus respectivas transformadas de Fourier.${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$también da como resultado una serie de gaussianas, y el cálculo explícito establece que

${\displaystyle S_{\tau }(\xi )=\tau ^{-1}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}.}$

Las funciones${\displaystyle s_{\tau }(x)}$y${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$Por lo tanto, cada una se asemeja a una función periódica que consiste en una serie de picos gaussianos equidistantes.${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(x-n)^{2}}}$y${\displaystyle \tau ^{-1}e^{-\pi \tau ^{-2}(\xi -m)^{2}}}$cuyas respectivas "alturas" (prefactores) están determinadas por funciones de envolvente gaussianas decrecientes lentamente que caen a cero en el infinito. Nótese que en el límite${\displaystyle \tau \rightarrow 0}$Cada pico gaussiano se convierte en un impulso de Dirac infinitamente agudo centrado respectivamente en${\displaystyle x=n}$y${\displaystyle \xi =m}$para cada uno de los respectivos${\displaystyle n}$y​${\displaystyle m}$⁠ , y por lo tanto también todos los prefactores${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}m^{2}}}$en${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$eventualmente se vuelven indistinguibles de ⁠${\displaystyle e^{-\pi \tau ^{2}\xi ^{2}}}$Por lo tanto, las funciones${\displaystyle s_{\tau }(x)}$y sus respectivas transformadas de Fourier${\displaystyle S_{\tau }(\xi )}$convergen a la misma función y esta función límite es una serie de picos gaussianos equidistantes infinitos, cada pico multiplicado por el mismo factor preexponencial de uno, es decir, el peine de Dirac para un período unitario:

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}s_{\tau }(x)=\operatorname {\text{Ш}} ({x})}$ y ${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow 0}S_{\tau }(\xi )=\operatorname {\text{Ш}} ({\xi }).}$

Desde​${\displaystyle {1}}$⁠ , en este límite obtenemos el resultado que se va a demostrar:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} .}$

El resultado correspondiente para el período${\displaystyle T}$se puede encontrar explotando la propiedad de escala de la transformada de Fourier ,

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} _{T}]={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}.}$

Otra forma de establecer que el peine de Dirac se transforma en otro peine de Dirac comienza examinando las transformadas de Fourier continuas de funciones periódicas en general, y luego se especializa en el caso del peine de Dirac. Para demostrar también que la regla específica depende de la convención para la transformada de Fourier, esto se mostrará utilizando la frecuencia angular con ⁠${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$: para cualquier función periódica${\displaystyle f(t)=f(t+T)}$su transformada de Fourier

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t}}$obedece:

${\displaystyle F(\omega )(1-e^{i\omega T})=0}$

porque transformada de Fourier${\displaystyle f(t)}$y${\displaystyle f(t+T)}$conduce a${\displaystyle F(\omega )}$y​${\displaystyle F(\omega )e^{i\omega T}}$⁠ . Esta ecuación implica que${\displaystyle F(\omega )=0}$casi en todas partes, con las únicas excepciones posibles en ⁠${\displaystyle \omega =k\omega _{0}}$⁠ , con${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$y​${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$⁠ . Al evaluar la transformada de Fourier en${\displaystyle F(k\omega _{0})}$La expresión de la serie de Fourier correspondiente multiplicada por una función delta correspondiente resulta. Para el caso especial de la transformada de Fourier del peine de Dirac, la integral de la serie de Fourier sobre un solo período cubre solo la función de Dirac en el origen y por lo tanto da${\displaystyle 1/T}$para cada uno${\displaystyle k}$⁠ . Esto se puede resumir interpretando el peine de Dirac como un límite del núcleo de Dirichlet tal que, en las posiciones ⁠${\displaystyle \omega =k\omega _{0}}$⁠ , todas las exponenciales en la suma${\displaystyle \sum \nolimits _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pm i\omega mT}}$apuntan en la misma dirección y se suman de forma constructiva. En otras palabras, la transformada continua de Fourier de funciones periódicas conduce a

${\displaystyle F(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\delta (\omega -k\omega _{0})}$con​${\displaystyle \omega _{0}=2\pi /T}$⁠ ,

y

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{+T/2}dtf(t)e^{-i2\pi kt/T}.}$

Los coeficientes de la serie de Fourier${\displaystyle c_{k}=1/T}$a pesar de${\displaystyle k}$cuando​${\displaystyle f\rightarrow {\text{Ш}}_{T}}$, es decir

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {\text{Ш}} _{T}\right](\omega )={\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -k{\frac {2\pi }{T}})}$

es otro peine de Dirac, pero con período${\displaystyle 2\pi /T}$en el dominio de la frecuencia angular (radianes/s).

Como se mencionó, la regla específica depende de la convención para la transformada de Fourier utilizada. De hecho, al usar la propiedad de escala de la función delta de Dirac, lo anterior se puede reescribir en el dominio de la frecuencia ordinaria (Hz) y se obtiene nuevamente: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i2\pi \xi nT},}$$ de tal manera que el peine de Dirac del período unitario se transforma en sí mismo: $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} \ \!(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} \ \!(\xi ).}$$

Finalmente, el peine de Dirac es también una autofunción de la transformada continua de Fourier unitaria en el espacio de frecuencia angular al autovalor ⁠${\displaystyle 1}$cuando​${\displaystyle T={\sqrt {2\pi }}}$porque para la transformada de Fourier unitaria

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f\right](\omega )=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }dtf(t)e^{-i\omega t},}$

Lo anterior puede expresarse de nuevo como $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\!\!e^{-i\omega nT}.}$$

Al multiplicar cualquier función por un peine de Dirac, esta se transforma en una secuencia de impulsos cuyas integrales son iguales al valor de la función en los nodos del peine. Esta operación se utiliza frecuentemente para representar el muestreo. $${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!x(kT)\delta (t-kT).}$$

Debido a la propiedad de autotransformación del peine de Dirac y al teorema de convolución , esto corresponde a una convolución con el peine de Dirac en el dominio de la frecuencia. $${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}x\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$$

Dado que la convolución con una función delta${\displaystyle \delta (t-kT)}$es equivalente a desplazar la función por ⁠${\displaystyle kT}$⁠ , la convolución con el peine de Dirac corresponde a la replicación o suma periódica :

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}\!*X)(f)=\!\sum _{k=-\infty }^{\infty }\!\!X\!\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Esto conduce a una formulación natural del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . Si el espectro de la función${\displaystyle x}$no contiene frecuencias superiores a B (es decir, su espectro es distinto de cero solo en el intervalo ⁠${\displaystyle (-B,B)}$) luego muestras de la función original a intervalos${\displaystyle {\tfrac {1}{2B}}}$son suficientes para reconstruir la señal original. Basta con multiplicar el espectro de la función muestreada por una función rectangular adecuada , lo que equivale a aplicar un filtro paso bajo de pared de ladrillo .

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{2B}}x\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \ 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {f}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X)=X}$

En el dominio del tiempo, esta "multiplicación con la función rect" es equivalente a la "convolución con la función sinc". ^{[ 10 ]} Por lo tanto, restaura la función original a partir de sus muestras. Esto se conoce como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Nota : La multiplicación de la función rect por una función generalizada, como el peine de Dirac, resulta inexacta. Esto se debe a que el producto de la multiplicación es indeterminado en los límites del intervalo. Como solución alternativa, se utiliza una función unitaria de Lighthill en lugar de la función rect. Esta función es suave en los límites del intervalo, por lo que produce productos de multiplicación determinados en todas partes; véase Lighthill (1958 , pág. 62 , Teorema 22) para más detalles. 

En estadística direccional , el peine de Dirac de período${\displaystyle 2\pi }$es equivalente a una función delta de Dirac envuelta y es el análogo de la función delta de Dirac en estadística lineal.

En estadística lineal, la variable aleatoria${\displaystyle (x)}$Por lo general, se distribuye sobre la recta numérica real, o algún subconjunto de la misma, y ​​la densidad de probabilidad de${\displaystyle x}$es una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales, y cuya integral desde${\displaystyle -\infty }$a${\displaystyle +\infty }$es la unidad. En estadística direccional, la variable aleatoria${\displaystyle (\theta )}$se distribuye sobre el círculo unitario y la densidad de probabilidad de${\displaystyle \theta }$es una función cuyo dominio es algún intervalo de los números reales de longitud${\displaystyle 2\pi }$y cuya integral sobre ese intervalo es la unidad. Así como la integral del producto de una función delta de Dirac con una función arbitraria sobre la recta numérica real produce el valor de esa función en cero, así también la integral del producto de un peine de Dirac de período${\displaystyle 2\pi }$con una función arbitraria de período${\displaystyle 2\pi }$sobre el círculo unitario se obtiene el valor de esa función en cero.

• Filtro de peine
• peine de frecuencias
• fórmula de suma de Poisson
• Función Theta

• Brandwood, D. (2003). Transformadas de Fourier en radar y procesamiento de señales . Boston: Artech House. ISBN 1580531741. LCCN 2002044073 . 
• Lighthill, MJ (1958). Introducción al análisis de Fourier y a las funciones generalizadas . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139171427 . ISBN 978-0-521-05556-7.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Woodward, PM (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Pergamon Press. OCLC 6570386 . 

• Córdoba, A (1989). "Peines de Dirac". Letters in Mathematical Physics . 17 (3): 191– 196. Bibcode : 1989LMaPh..17..191C . doi : 10.1007/BF00401584 . S2CID 189883287 .