Función cardinal

En matemáticas , una función cardinal (o invariante cardinal ) es una función que devuelve números cardinales .

• La función cardinal más frecuentemente utilizada es la función que asigna a un conjunto A su cardinalidad , denotada por | A |.
• Tanto los números aleph como los números beth pueden verse como funciones cardinales definidas en números ordinales .
• Las operaciones aritméticas cardinales son ejemplos de funciones de números cardinales (o pares de ellos) a números cardinales.
• Las características cardinales de un ideal (propio) I de subconjuntos de X son:

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}$

La "aditividad" de I es el número más pequeño de conjuntos a partir de I cuya unión ya no está en I. Como cualquier ideal está cerrado bajo uniones finitas, este número es siempre al menos ; si I es un σ-ideal, entonces$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}$

El "número de cobertura" de I es el número más pequeño de conjuntos a partir de I cuya unión es todo X. Como X en sí mismo no está en I , debemos tener add( I  ) ≤ cov( I  ).

${\displaystyle \operatorname {no} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \cuña \ A\notin I\},}$

El "número de uniformidad" de I (a veces también escrito ) es el tamaño del conjunto más pequeño que no está en I. Suponiendo que I contiene todos los singletons , add( I  ) ≤ non( I  ).${\displaystyle {\rm {unif}}(yo)}$

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}$

La "cofinalidad" de I es la cofinalidad del orden parcial ( I , ⊆). Es fácil ver que debemos tener non( I  ) ≤ cof( I  ) y cov( I  ) ≤ cof( I  ).

En el caso de que se trate de un ideal estrechamente relacionado con la estructura de los reales , como el ideal de los conjuntos nulos de Lebesgue o el ideal de los conjuntos magros , estos invariantes cardinales se denominan características cardinales del continuo .${\displaystyle I}$

• Para un conjunto preordenado, el número delimitador y el número dominante se definen como${\displaystyle (\mathbb {P},\sqsubseteq)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• En la teoría PCF se utiliza la función cardinal . ^[1]${\displaystyle pp_{\kappa}(\lambda)}$

Las funciones cardinales se utilizan ampliamente en topología como herramienta para describir diversas propiedades topológicas . ^{[2] [3]} A continuación se presentan algunos ejemplos. (Nota: algunos autores, argumentando que "no hay números cardinales finitos en la topología general ", ^[4] prefieren definir las funciones cardinales enumeradas a continuación de modo que nunca tomen números cardinales finitos como valores; esto requiere modificar algunas de las definiciones que se dan a continuación, por ejemplo, agregando " " al lado derecho de las definiciones, etc.) ${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$

• Quizás los invariantes cardinales más simples de un espacio topológico son su cardinalidad y la cardinalidad de su topología, denotadas respectivamente por y${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización |X|}$${\displaystyle o(X).}$
• El peso de un espacio topológico es la cardinalidad de la base más pequeña para Cuando se dice que el espacio es segundo contable . ${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$${\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _{0}}$${\estilo de visualización X}$
  • El -peso de un espacio es la cardinalidad de la -base más pequeña para (Una -base es un conjunto de conjuntos abiertos no vacíos cuyos superconjuntos incluyen todos los abiertos).${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización X.}$${\estilo de visualización \pi}$
  • El peso de la red de es la cardinalidad más pequeña de una red para Una red es una familia de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos y vecindarios abiertos que contienen existe en para los cuales${\displaystyle \operatorname {nw} (X)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización x,}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle x\en B\subseteq U.}$
• El carácter de un espacio topológico en un punto es la cardinalidad de la base local más pequeña para El carácter del espacio es Cuando se dice que el espacio es primero contable .${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x.}$${\estilo de visualización X}$$${\displaystyle \chi(X)=\sup \;\{\chi(x,X):x\en X\}.}$$${\displaystyle \chi(X)=\aleph _{0}}$${\estilo de visualización X}$
• La densidad de un espacio es la cardinalidad del subconjunto denso más pequeño de Cuando se dice que el espacio es separable .${\displaystyle \nombre del operador {d} (X)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X.}$${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$${\estilo de visualización X}$
• El número de Lindelöf de un espacio es la cardinalidad infinita más pequeña tal que cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad no mayor que Cuando se dice que el espacio es un espacio de Lindelöf .${\displaystyle \nombre del operador {L} (X)}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \operatorname {L} (X).}$${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$${\estilo de visualización X}$
• La celularidad o número de Suslin de un espacio es${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ is a family of mutually disjoint non-empty open subsets of }}X\}.}$

• La celularidad hereditaria (a veces llamada propagación ) es el límite superior mínimo de las celularidades de sus subconjuntos: o donde "discreto" significa que es un espacio topológico discreto .$${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$$$${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ with the subspace topology is discrete}}\}}$$

• La extensión de un espacio es Por lo tanto , tiene extensión contable exactamente cuando no tiene ningún subconjunto discreto cerrado incontable .${\displaystyle X}$$${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}.}$$${\displaystyle X}$
• La estrechez de un espacio topológico en un punto es el número cardinal más pequeño tal que, siempre que para algún subconjunto de exista un subconjunto de con tal que Simbólicamente, La estrechez de un espacio es Cuando se dice que el espacio es generado contablemente o contablemente estrecho . ${\displaystyle t(x,X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}$$${\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}$$ ${\displaystyle X}$$${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$$${\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}$${\displaystyle X}$
  • La estrechez aumentada de un espacio es el cardinal regular más pequeño tal que para cualquier hay un subconjunto de con cardinalidad menor que tal que${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle t^{+}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Y\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}$

$${\displaystyle c(X)\leq d(X)\leq w(X)\leq o(X)\leq 2^{|X|}}$$ $${\displaystyle e(X)\leq s(X)}$$ $${\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}$$ $${\displaystyle \operatorname {nw} (X)\leq w(X){\text{ and }}o(X)\leq 2^{\operatorname {nw} (X)}}$$

Las funciones cardinales se utilizan a menudo en el estudio de las álgebras de Boole . ^{[5] [6]} Podemos mencionar, por ejemplo, las siguientes funciones:

• La celularidad de un álgebra de Boole es el supremo de las cardinalidades de las anticadenas en .${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$
• La longitud de un álgebra de Boole es${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}$

• La profundidad de un álgebra de Boole es${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}$.

• La incomparabilidad de un álgebra de Boole es${\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$.

• El pseudopeso de un álgebra de Boole es${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

Ejemplos de funciones cardinales en álgebra son:

• El índice de un subgrupo H de G es el número de clases laterales .
• La dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K es la cardinalidad de cualquier base de Hamel de V.
• De manera más general, para un módulo libre M sobre un anillo R definimos el rango como la cardinalidad de cualquier base de este módulo .${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$
• Para un subespacio lineal W de un espacio vectorial V definimos la codimensión de W (con respecto a V ).
• Para cualquier estructura algebraica es posible considerar la cardinalidad mínima de los generadores de la estructura.
• Para las extensiones de campos algebraicos , a menudo se emplean el grado algebraico y el grado separable (el grado algebraico es igual a la dimensión de la extensión como un espacio vectorial sobre el campo más pequeño).
• Para extensiones de campo no algebraicas, también se utiliza el grado de trascendencia .

• Glosario de definiciones de topología general [1] [2]

• Diagrama de Cichoń

• Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-44085-7.Zbl 1007.03002  .