Teoría PCF

La teoría PCF es una teoría matemática , introducida por Saharon Shelah ( 1978 ) , que trata sobre la cofinalidad de los ultraproductos de conjuntos ordenados . Proporciona cotas superiores estrictas para las cardinalidades de conjuntos potencia de cardinales singulares , entre otras aplicaciones. La abreviatura "pcf" significa "posibles cofinalidades ". 

Si A es un conjunto infinito de cardinales regulares , D es un ultrafiltro en A , entonces dejamos${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$denota la cofinalidad del conjunto ordenado de funciones ${\displaystyle \prod A}$donde el orden se define de la siguiente manera: ${\displaystyle f<g}$si${\displaystyle \{x\in A:f(x)<g(x)\}\in D}$. pcf( A ) es el conjunto de cofinalidades que ocurren si consideramos todos los ultrafiltros en A , es decir,

${\displaystyle \operatorname {pcf} (A)=\left\{\operatorname {cf} \left(\prod A/D\right):D\,\,{\mbox{es un ultrafiltro en}}\,\,A\right\}.}$

Obviamente, pcf( A ) consta de cardinales regulares. Considerando ultrafiltros concentrados en elementos de A , obtenemos que ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {pcf} (A)}$Shelah demostró que si${\displaystyle |A|<\min(A)}$, entonces pcf( A ) tiene un elemento más grande y hay subconjuntos${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A)\}}$de A tal que para cada ultrafiltro D en A ,${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)}$es el elemento más pequeño θ de pcf( A ) tal que${\displaystyle B_{\theta }\in D}$. Como consecuencia,${\displaystyle \left|\operatorname {pcf} (A)\right|\leq 2^{|A|}}$Shelah también demostró que si A es un intervalo de cardinales regulares (es decir, A es el conjunto de todos los cardinales regulares entre dos cardinales), entonces pcf( A ) también es un intervalo de cardinales regulares y |pcf( A )| < | A | ^{+ 4.} Esto implica la famosa desigualdad.

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{4}}}$

suponiendo que ℵ _ω es un límite fuerte .

Si λ es un cardinal infinito, entonces J _<λ es el siguiente ideal en A . B ∈ J _<λ si${\displaystyle \operatorname {cf} \left(\prod A/D\right)<\lambda }$se cumple para todo ultrafiltro D con B ∈ D . Entonces J _<λ es el ideal generado por los conjuntos${\displaystyle \{B_{\theta }:\theta \in \operatorname {pcf} (A),\theta <\lambda \}}$. Existen escalas , es decir, para cada λ∈pcf( A ) existe una secuencia de longitud λ de elementos de${\displaystyle \prod B_{\lambda }}$que es creciente y cofinal mod J _<λ . Esto implica que la cofinalidad de${\displaystyle \prod A}$Bajo dominancia puntual, max(pcf( A )). Otra consecuencia es que si λ es singular y ningún cardinal regular menor que λ es Jónsson , entonces λ ⁺ tampoco es Jónsson. En particular, existe un álgebra de Jónsson en ℵ _ω+1 , que resuelve una antigua conjetura.

La conjetura más notoria en la teoría pcf afirma que |pcf( A )|=| A | se cumple para todo conjunto A de cardinales regulares con | A |<min( A ). Esto implicaría que si ℵ _ω es un límite fuerte, entonces la cota precisa

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{1}}}$

se mantiene. El límite análogo

${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega _{1}}}<\aleph _{\omega _{2}}}$

se deduce de la conjetura de Chang ( Magidor ) o incluso de la inexistencia de un árbol Kurepa ( Shelah ).

Una conjetura más débil, aún sin resolver, afirma que si | A |<min( A ), entonces pcf( A ) no tiene ningún punto límite inaccesible. Esto es equivalente a la afirmación de que pcf(pcf( A ))=pcf( A ).

La teoría ha encontrado numerosas aplicaciones, además de la aritmética cardinal. El estudio original de Shelah, *Aritmética cardinal para escépticos* , incluye los siguientes temas: grupos abelianos casi libres, problemas de partición, incumplimiento de las condiciones de cadena en álgebras booleanas bajo productos, existencia de álgebras de Jónsson, existencia de órdenes lineales entrelazados, álgebras booleanas estrechas equivalentes y existencia de modelos no isomorfos equivalentes en ciertas lógicas infinitas.

Mientras tanto, se han encontrado muchas otras aplicaciones en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos , el álgebra y la topología.

• Saharon Shelah, Aritmética cardinal , Oxford Logic Guides, vol. 29. Oxford University Press, 1994.

• Menachem Kojman: Teoría PCF Archivado el 4 de diciembre de 2004 en Wayback Machine
• Shelah, Saharon (1978), "Álgebras de Jonsson en cardinales sucesores", Israel Journal of Mathematics , 30 (1): 57– 64, doi : 10.1007/BF02760829 , MR 0505434 
• Shelah, Saharon (1992), "Aritmética cardinal para escépticos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 26 (2): 197– 210, arXiv : math/9201251 , doi : 10.1090/s0273-0979-1992-00261-6 , MR 1112424