Topología

El término «topología» también se refiere a una idea matemática específica, fundamental en el campo de las matemáticas llamado topología. De manera informal, una topología describe cómo se relacionan espacialmente los elementos de un conjunto. Un mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la recta real , el plano complejo y el conjunto de Cantor pueden considerarse como el mismo conjunto con topologías distintas.

Formalmente, sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se denomina topología en X si: ^{[ 15 ]}

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ .
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ .
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ .

Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico. La notación X _τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ . Por definición, toda topología es un sistema π .

Los elementos de τ se denominan conjuntos abiertos en X. Un subconjunto de X se denomina cerrado si su complemento pertenece a τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (un conjunto clopen ) o ninguno. El conjunto vacío y X mismo son siempre cerrados y abiertos a la vez. Un subconjunto abierto de X que contiene un punto x se denomina entorno abierto de x .

Una deformación continua (un tipo de homeomorfismo) de una taza en una rosquilla (toroide) y de un peluche de vaca en una esfera.

Una función o aplicación de un espacio topológico a otro se denomina continua si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es también abierta. Si la función transforma los números reales en los números reales (ambos espacios con la topología estándar), entonces esta definición de continua es equivalente a la definición de continua en cálculo . Si una función continua es inyectiva y sobreyectiva , y si su inversa también es continua, entonces la función se denomina homeomorfismo y se dice que su dominio es homeomorfo al rango. Dicho de otro modo, la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomorfos, poseen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomorfos, al igual que la taza de café y la rosquilla. Sin embargo, la esfera no es homeomorfa a la rosquilla.

Si bien los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de la topología se centran en la clase de espacios más familiar conocida como variedades. Una variedad es un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad n -dimensional tiene un entorno homeomorfo al espacio euclidiano de dimensión n . Las líneas y los círculos , pero no los ochos , son variedades unidimensionales. Las variedades bidimensionales también se denominan superficies . Algunos ejemplos son el plano , la esfera y el toro , que pueden representarse en tres dimensiones sin autointersección, y la botella de Klein y el plano proyectivo real , que no pueden.

La topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en topología. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Es el fundamento de la mayoría de las demás ramas de la topología, incluidas la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos de puntos.

El objeto de estudio fundamental son los espacios topológicos , que son conjuntos dotados de una topología , es decir, una familia de subconjuntos , denominados conjuntos abiertos , que son cerrados bajo intersecciones finitas y uniones (finitas o infinitas) . Los conceptos fundamentales de la topología, como continuidad , compacidad y conexidad , pueden definirse en términos de conjuntos abiertos. Intuitivamente, las funciones continuas transforman puntos cercanos en puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden cubrirse con un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conexos son aquellos que no pueden dividirse en dos partes muy distantes. Los términos «cercano» , «arbitrativamente pequeño» y «distante» pueden precisarse utilizando conjuntos abiertos. En un conjunto dado, pueden definirse varias topologías. Cambiar una topología implica cambiar la colección de conjuntos abiertos. Esto modifica qué funciones son continuas y qué subconjuntos son compactos o conexos.

Los espacios métricos constituyen una clase importante de espacios topológicos donde la distancia entre dos puntos cualesquiera se define mediante una función denominada métrica . En un espacio métrico, un conjunto abierto es la unión de discos abiertos, donde un disco abierto de radio r centrado en x es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a x es menor que r . Muchos espacios comunes son espacios topológicos cuya topología puede definirse mediante una métrica. Este es el caso de la recta real , el plano complejo , los espacios vectoriales normados reales y complejos, y los espacios euclidianos . Disponer de una métrica simplifica muchas demostraciones.

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra para estudiar espacios topológicos. ^{[ 18 ]} El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen espacios topológicos salvo homeomorfismo, o más comúnmente salvo equivalencia homotópica.

Los más importantes de estos invariantes son los grupos de homotopía , la homología y la cohomología .

Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, en ocasiones también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. Por ejemplo, la topología algebraica permite demostrar de forma sencilla que cualquier subgrupo de un grupo libre es también un grupo libre.

La topología diferencial es el campo que se ocupa de las funciones diferenciables en variedades diferenciables . ^{[ 19 ]} Está estrechamente relacionada con la geometría diferencial y juntas conforman la teoría geométrica de las variedades diferenciables.

Más concretamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren únicamente una estructura suave en una variedad para su definición. Las variedades suaves son más flexibles que las variedades con estructuras geométricas adicionales, las cuales pueden obstaculizar ciertos tipos de equivalencias y deformaciones propias de la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura riemanniana son invariantes que permiten distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave ; es decir, se pueden aplanar ciertas variedades de forma suave, pero esto podría requerir la distorsión del espacio y afectar la curvatura o el volumen. 

La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en las variedades de baja dimensión (es decir, espacios de dimensiones 2, 3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye algo de topología de dimensiones superiores. ^{[ 20 ]} Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son la orientabilidad , las descomposiciones de asas , la planitud local , el arrugamiento y el teorema de Schönflies planar y de dimensiones superiores .

En topología de alta dimensión, las clases características son un invariante básico, y la teoría de la cirugía es una teoría clave.

La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: toda superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva /esférica, curvatura cero/plana y curvatura negativa/hiperbólica; y en la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones: toda 3-variedad se puede dividir en piezas, cada una de las cuales tiene una de ocho geometrías posibles.

La topología bidimensional puede estudiarse como geometría compleja en una variable ( las superficies de Riemann son curvas complejas); según el teorema de uniformización, toda clase conforme de métricas es equivalente a una única clase compleja, y la topología tetradimensional puede estudiarse desde el punto de vista de la geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no toda variedad de 4 dimensiones admite una estructura compleja.

En ocasiones, es necesario utilizar las herramientas de la topología, pero no se dispone de un "conjunto de puntos". En la topología sin puntos, se considera en cambio el retículo de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, ^{[ 21 ]} mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas en categorías arbitrarias que permiten la definición de haces en dichas categorías y, con ello, la definición de teorías de cohomología generales. ^{[ 22 ]}

La topología se ha utilizado para estudiar diversos sistemas biológicos, incluyendo moléculas y nanoestructuras (por ejemplo, objetos membranosos); esta aplicación dio lugar tanto a la topología molecular como a la nanotopología molecular . Además, la topología de circuitos y la teoría de nudos se han aplicado ampliamente para clasificar y comparar la topología de proteínas y ácidos nucleicos plegados. La topología de circuitos clasifica las cadenas moleculares plegadas según la disposición por pares de sus contactos intracatenarios y cruces de cadenas. La teoría de nudos, una rama de la topología, se utiliza en biología para estudiar los efectos de ciertas enzimas sobre el ADN. Estas enzimas cortan, retuercen y reconectan el ADN, provocando la formación de nudos con efectos observables como una electroforesis más lenta . ^{[ 23 ]}

El análisis topológico de datos utiliza técnicas de la topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal ). El método principal utilizado por el análisis topológico de datos es:

1. Reemplazar un conjunto de puntos de datos con una familia de complejos simpliciales , indexados por un parámetro de proximidad.
2. Analice estos complejos topológicos mediante la topología algebraica, específicamente mediante la teoría de la homología persistente . ^{[ 24 ]}
3. Codificar la homología persistente de un conjunto de datos en forma de una versión parametrizada de un número de Betti , que se denomina código de barras. ^{[ 24 ]}

Varias ramas de la semántica de los lenguajes de programación , como la teoría de dominios , se formalizan mediante la topología. En este contexto, Steve Vickers , basándose en el trabajo de Samson Abramsky y Michael B. Smyth, caracteriza los espacios topológicos como álgebras booleanas o de Heyting sobre conjuntos abiertos, que se caracterizan por ser propiedades semidecidibles (o, equivalentemente, finitamente observables). ^{[ 25 ]}

La topología es relevante para la física en áreas como la física de la materia condensada , ^{[ 26 ]} la teoría cuántica de campos , la computación cuántica y la cosmología física .

La dependencia topológica de las propiedades mecánicas en sólidos es de interés en las disciplinas de ingeniería mecánica y ciencia de los materiales . Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de red de las moléculas y unidades elementales en los materiales. ^{[ 27 ]} La resistencia a la compresión de topologías arrugadas se estudia en un intento de comprender la alta relación resistencia-peso de tales estructuras que son mayormente espacio vacío. ^{[ 28 ]} La topología es además significativa en la mecánica de contacto, donde la dependencia de la rigidez y la fricción de la dimensionalidad de las estructuras superficiales es objeto de interés con aplicaciones en la física de cuerpos múltiples.

Una teoría cuántica de campos topológica (o TQFT) es una teoría cuántica de campos que calcula invariantes topológicos . Si bien las TQFT fueron inventadas por físicos, también tienen interés matemático, ya que están relacionadas, entre otras cosas, con la teoría de nudos , la teoría de variedades de cuatro dimensiones en topología algebraica y la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica. Donaldson , Jones , Witten y Kontsevich han ganado la Medalla Fields por trabajos relacionados con la teoría cuántica de campos topológica.

La clasificación topológica de las variedades de Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas , ya que diferentes variedades pueden albergar diferentes tipos de cuerdas. ^{[ 29 ]}

En las computadoras cuánticas topológicas , los cúbits se almacenan en propiedades topológicas , que por definición son invariantes con respecto a las homotopías . ^{[ 30 ]}

En cosmología, la topología se puede utilizar para describir la forma general del universo . ^{[ 31 ]} Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología del espacio-tiempo .

En la materia condensada , una aplicación relevante para la física topológica proviene de la posibilidad de obtener una corriente unidireccional, que es una corriente protegida de la retrodispersión. Fue descubierta por primera vez en electrónica con el famoso efecto Hall cuántico , y luego generalizada en otras áreas de la física, por ejemplo en fotónica. ^{[ 32 ]} David Thouless , Duncan Haldane y Michael Kosterlitz fueron galardonados con el Premio Nobel de Física de 2016 por su trabajo sobre órdenes topológicos . ^{[ 33 ]}

Las posibles posiciones de un robot se pueden describir mediante una variedad denominada espacio de configuración . ^{[ 34 ]} En el ámbito de la planificación de movimiento , se encuentran trayectorias entre dos puntos en el espacio de configuración. Estas trayectorias representan un movimiento de las articulaciones y otras partes del robot hacia la pose deseada. ^{[ 35 ]}

Los rompecabezas de desenredamiento se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear un camino ininterrumpido que rodee cada pieza y recorra cada arista solo una vez. Este proceso es una aplicación del camino euleriano . ^{[ 39 ]}

• Geometría y Topología : una revista de investigación matemática centrada en la geometría y la topología, y sus aplicaciones, publicada por Mathematical Sciences Publishers .
• Revista de Topología : una revista científica que publica artículos de alta calidad e importancia en topología, geometría y áreas afines de las matemáticas.

• Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9
• Willard, Stephen (2016). Topología general . Libros de matemáticas de Dover. Mineola, Nueva York: Publicaciones Dover. ISBN 978-0-486-43479-7
• Armstrong, MA (1983). Topología básica . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90839-7
• John L. Kelley (1979). Topología general . Springer. ISBN 0-387-90125-6

• Alexandrov, PS (1969) [1956]. "Capítulo XVIII Topología". En Alexandrov, AD ; Kolmogorov, AN ; Lavrent'ev, MA (eds.). Matemáticas / Su contenido, métodos y significado (2ª  ed.). La prensa del MIT.
• Croom, Fred H. (1989). Principios de topología . Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-029804-2.
• Richeson, D. (2008). La gema de Euler: La fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología . Princeton University Press.