Geometría topológica

La noción de dimensión de un espacio topológico juega un papel destacado en el estudio de los planos topológicos, en particular de los planos compactos conexos. Para un espacio normal${\displaystyle X}$, la dimensión${\displaystyle \dim X}$se puede caracterizar de la siguiente manera:

Si${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$denota el${\displaystyle n}$-esfera, entonces${\displaystyle \dim X\leq n}$si, y solo si, para cada subespacio cerrado${\displaystyle A\subset X}$cada mapa continuo${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {S} _{n}}$tiene una extensión continua${\displaystyle \psi :X\to \mathbb {S} _{n}}$.

Para obtener detalles y otras definiciones de dimensión, consulte ^{[ 7 ]} y las referencias que allí se citan, en particular Engelking ^{[ 8 ]} o Fedorchuk. ^{[ 9 ]}

Las líneas de un plano topológico compacto con un espacio de puntos bidimensional forman una familia de curvas homeomorfas a un círculo, y este hecho caracteriza a estos planos entre los planos proyectivos topológicos. ^{[ 10 ]} De forma equivalente, el espacio de puntos es una superficie . Ejemplos tempranos no isomorfos al plano real clásico.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$Hilbert ^{[ 3 ] [ 11 ]} y Moulton . ^{[ 12 ]} no han dado las propiedades de continuidad de estos ejemplos en ese momento, pueden haber sido dadas por sentadas. La construcción de Hilbert puede modificarse para obtener una cantidad incontable de pares no isomorfos${\displaystyle 2}$Planos compactos de -dimensiones. La forma tradicional de distinguir${\displaystyle {\mathcal {E}}}$del otro${\displaystyle 2}$Los planos de dimensión se demuestran mediante la validez del teorema de Desargues o el teorema de Pappos (véase, por ejemplo, Pickert ^{[ 13 ]} para una discusión de estos dos teoremas de configuración). Se sabe que este último implica al primero ( Hessenberg ^{[ 14 ]} ). El teorema de Desargues expresa una especie de homogeneidad del plano. En general, se cumple en un plano proyectivo si y solo si el plano puede ser coordinado por un cuerpo (no necesariamente conmutativo), ^{[ 3 ] [ 15 ] [ 13 ]} por lo tanto, implica que el grupo de automorfismos es transitivo en el conjunto de cuadrángulos (${\displaystyle 4}$puntos no${\displaystyle 3}$de las cuales son colineales). En el presente contexto, una condición de homogeneidad mucho más débil caracteriza${\displaystyle {\mathcal {E}}}$:

Teorema. Si el grupo de automorfismos${\displaystyle \Sigma }$de un${\displaystyle 2}$plano compacto dimensional${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es transitivo en el conjunto de puntos (o en el conjunto de líneas), entonces${\displaystyle \Sigma }$tiene un subgrupo compacto${\displaystyle \Phi }$lo cual es incluso transitivo en el conjunto de banderas (=pares de punto-línea incidentes), y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es clásico . ^{[ 10 ]}

El grupo de automorfismos${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$de un${\displaystyle 2}$plano compacto dimensional${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, tomado con la topología de convergencia uniforme en el espacio de puntos, es un grupo localmente compacto de dimensión como máximo${\displaystyle 8}$, de hecho, incluso un grupo de mentiras . Todos${\displaystyle 2}$planos -dimensionales tales que${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$pueden describirse explícitamente; ^{[ 10 ]} aquellos con${\displaystyle \dim \Sigma =4}$son exactamente los planos de Moulton, el plano clásico${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es el único${\displaystyle 2}$plano -dimensional con${\displaystyle \dim \Sigma >4}$; véase también. ^{[ 16 ]}

Los resultados en${\displaystyle 2}$Los planos dimensionales se han extendido a planos compactos de dimensión${\displaystyle >2}$Esto es posible gracias al siguiente teorema básico:

Topología de planos compactos. Si la dimensión del espacio de puntos${\displaystyle P}$Si un plano proyectivo compacto y conexo es finito, entonces${\displaystyle \dim P=2^{m}}$con${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$. Además, cada línea es una esfera homotópica de dimensión${\displaystyle 2^{m-1}}$, véase ^{[ 17 ]} o ^{[ 18 ]}

^{En [ 19 ]} se tratan aspectos especiales de planos de 4 dimensiones; en ^{[ 20 ]} se pueden encontrar resultados más recientes. Las líneas de un${\displaystyle 4}$Los planos compactos de dimensión son homeomorfos a los${\displaystyle 2}$-esfera; ^{[ 21 ]} en los casos${\displaystyle m>2}$No se sabe que las líneas sean variedades, pero en todos los ejemplos que se han encontrado hasta ahora las líneas son esferas. Un subplano${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de un plano proyectivo${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Se dice que es un subplano de Baer , ^{​​[ 22 ]} si cada punto de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es incidente con una línea de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$y cada línea de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$contiene un punto de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Un subplano cerrado${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subplano de Baer de un plano conexo compacto${\displaystyle {\mathcal {P}}}$si, y solo si, el espacio de puntos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$y una línea de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$tienen la misma dimensión. Por lo tanto, las líneas de un plano de 8 dimensiones${\displaystyle {\mathcal {P}}}$son homeomorfos a una esfera${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$tiene un subplano de Baer cerrado. ^{[ 23 ]}

Planos homogéneos. Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano proyectivo compacto conexo y si${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$es transitivo en el conjunto de puntos de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, entonces${\displaystyle \Sigma }$tiene un subgrupo compacto transitivo de banderas${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es clásico , véase ^{[ 24 ]} o ^{[ 25 ]} De hecho,${\displaystyle \Phi }$es un grupo de movimiento elíptico. ^{[ 26 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ser un plano compacto de dimensión${\displaystyle 2^{m},\;m=2,3,4}$y escribir${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. Si${\displaystyle \dim \Sigma >8,18,40}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es clásico, ^{[ 27 ]} y${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$es un grupo de Lie simple de dimensión${\displaystyle 16,35,78}$respectivamente. Todos los aviones${\displaystyle {\mathcal {P}}}$con${\displaystyle \dim \Sigma =8,18,40}$se conocen explícitamente. ^{[ 28 ]} Los planos con${\displaystyle \dim \Sigma =40}$son precisamente los cierres proyectivos de los planos afines coordinados por una llamada mutación${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$del álgebra de octoniones${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$donde la nueva multiplicación${\displaystyle \circ }$se define de la siguiente manera: elija un número real${\displaystyle t}$con${\displaystyle 1/2<t\neq 1}$y poner${\displaystyle a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$Se han descubierto sistemáticamente vastas familias de planos con un grupo de gran dimensión a partir de supuestos sobre sus grupos de automorfismos, véase, por ejemplo, ^{[ 20 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} . Muchos de ellos son cierres proyectivos de planos de traslación (planos afines que admiten un grupo de automorfismos claramente transitivo que mapea cada línea a un paralelo), cf.; ^{[ 33 ]} véase también ^{[ 34 ]} para resultados más recientes en el caso${\displaystyle m=3}$y ^{[ 30 ]} para${\displaystyle m=4}$.

Los planos de Möbius constan de una familia${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$de círculos, que son 1-esferas topológicas, en el${\displaystyle 2}$-esfera${\displaystyle S}$de tal manera que para cada punto${\displaystyle p}$la estructura derivada${\displaystyle (S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})}$es un plano afín topológico. ^{[ 55 ]} En particular, cualquier${\displaystyle 3}$Los puntos distintos están unidos por un círculo único. El espacio circular${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$es entonces homeomorfo a proyectivo real${\displaystyle 3}$-espacio con un punto eliminado. ^{[ 56 ]} Una gran clase de ejemplos la proporcionan las secciones planas de una superficie con forma de huevo en realidad${\displaystyle 3}$-espacio.

Si el grupo de automorfismos${\displaystyle \Sigma }$de un plano de Möbius es transitivo en el conjunto de puntos${\displaystyle S}$o en el plató${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$de círculos, o si${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$, entonces${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$es clásico y${\displaystyle \dim \Sigma =6}$, ver. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

A diferencia de los planos proyectivos compactos, no existen planos de Möbius topológicos con círculos de dimensión${\displaystyle >1}$, en particular ningún plano de Möbius compacto con un${\displaystyle 4}$Espacio de puntos de dimensión . ^{[ 59 ]} Todos los planos de Möbius bidimensionales tales que${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$puede describirse explícitamente. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

El modelo clásico de un plano de Laguerre consiste en una superficie cilíndrica circular.${\displaystyle C}$en la vida real${\displaystyle 3}$-espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$como conjunto de puntos y las secciones planas compactas de${\displaystyle C}$como círculos. Los pares de puntos que no están unidos por un círculo se llaman paralelos .${\displaystyle P}$denotemos una clase de puntos paralelos. Entonces${\displaystyle C\setminus P}$es un avión${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, los círculos pueden representarse en este plano mediante parábolas de la forma${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$.

De manera análoga, el clásico${\displaystyle 4}$El plano de Laguerre de dimensión está relacionado con la geometría de los polinomios cuadráticos complejos. En general, los axiomas de un plano de Laguerre conexo localmente compacto requieren que los planos derivados se incrustan en planos proyectivos compactos de dimensión finita. Un círculo que no pasa por el punto de derivación induce un óvalo en el plano proyectivo derivado. Según ^{[ 62 ]} o ^{[ 63 ],} los círculos son homeomorfos a esferas de dimensión${\displaystyle 1}$o${\displaystyle 2}$Por lo tanto, el espacio de puntos de un plano de Laguerre conexo localmente compacto es homeomorfo al cilindro.${\displaystyle C}$o es un${\displaystyle 4}$Variedad de dimensión , cf. ^{[ 64 ]} Una gran clase de${\displaystyle 2}$Ejemplos dimensionales, llamados planos de Laguerre ovoidales, están dados por las secciones planas de un cilindro en el espacio real tridimensional cuya base es un óvalo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

El grupo de automorfismos de un${\displaystyle 2d}$Plano de Laguerre -dimensional (${\displaystyle d=1,2}$) es un grupo de Lie con respecto a la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos del espacio de puntos; además, este grupo tiene dimensión como máximo${\displaystyle 7d}$Todos los automorfismos de un plano de Laguerre que fijan cada clase paralela forman un subgrupo normal , el núcleo del grupo de automorfismos completo.${\displaystyle 2}$Planos de Laguerre -dimensionales con${\displaystyle \dim \Sigma =5}$son exactamente los planos ovoides sobre parábolas oblicuas propias. ^{[ 65 ]} El clásico${\displaystyle 2d}$Los planos de Laguerre de dimensión - son los únicos tales que${\displaystyle \dim \Sigma >5d}$, véase, ^{[ 66 ]} cf. también. ^{[ 67 ]}

Si el grupo de automorfismos${\displaystyle \Sigma }$de un${\displaystyle 2d}$plano de Laguerre -dimensional${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es transitivo en el conjunto de clases paralelas, y si el núcleo${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$es transitiva en el conjunto de círculos, entonces${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es clásico , véase ^{[ 68 ] [ 67 ]} 2.1,2.

Sin embargo, la transitividad del grupo de automorfismos en el conjunto de círculos no es suficiente para caracterizar el modelo clásico entre los${\displaystyle 2d}$-planos de Laguerre dimensionales.

El modelo clásico de un plano de Minkowski tiene el toroide${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$como espacio de puntos, los círculos son las gráficas de mapas lineales fraccionarios reales en${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. Al igual que con los planos de Laguerre, el espacio de puntos de un plano de Minkowski conexo localmente compacto es${\displaystyle 1}$- o${\displaystyle 2}$-dimensional; el espacio de puntos es entonces homeomorfo a un toro o a${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}}$, ver. ^{[ 69 ]}

Si el grupo de automorfismos${\displaystyle \Sigma }$de un avión de Minkowski${\displaystyle {\mathcal {M}}}$de dimensión${\displaystyle 2d}$es transitivo de bandera, entonces${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es clásico . ^{[ 70 ]}

El grupo de automorfismos de un${\displaystyle 2d}$El plano de Minkowski de dimensión -dimensional es un grupo de Lie de dimensión como máximo${\displaystyle 6d}$. Todo${\displaystyle 2}$Planos de Minkowski de dimensión tales que${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$puede describirse explícitamente. ^{[ 71 ]} El clásico${\displaystyle 2d}$El plano de Minkowski de -dimensiones es el único con${\displaystyle \dim \Sigma >4d}$, ver. ^{[ 72 ]}