Plano de Möbius

En matemáticas, el plano de Möbius clásico (llamado así en honor a August Ferdinand Möbius ) es el plano euclidiano al que se le añade un punto en el infinito . También se le denomina plano inverso porque es cerrado bajo inversión con respecto a cualquier círculo generalizado , y por lo tanto constituye un marco natural para la geometría inversa plana .

La inversión del plano de Möbius con respecto a cualquier círculo es una involución que fija los puntos del círculo e intercambia los puntos del interior y el exterior, sustituyendo el centro del círculo por el punto en el infinito. En geometría inversiva, una línea recta se considera un círculo generalizado que contiene el punto en el infinito; la inversión del plano con respecto a una línea es una reflexión euclidiana .

En términos más generales, un plano de Möbius es una estructura de incidencia con las mismas relaciones de incidencia que el plano de Möbius clásico. Es uno de los planos de Benz : plano de Möbius, plano de Laguerre y plano de Minkowski .

Los planos afines son sistemas de puntos y líneas que satisfacen, entre otras cosas, la propiedad de que dos puntos determinan exactamente una línea. Este concepto puede generalizarse a sistemas de puntos y círculos, donde cada círculo está determinado por tres puntos no colineales. Sin embargo, tres puntos colineales determinan una línea, no un círculo. Este inconveniente puede eliminarse añadiendo un punto en el infinito a cada línea. Si denominamos ciclos tanto a los círculos como a dichas líneas completas , obtenemos una estructura de incidencia en la que cada tres puntos determinan exactamente un ciclo.

En un plano afín, la relación de paralelismo entre líneas es esencial. En la geometría de ciclos, esta relación se generaliza a la relación de tangencia . Dos ciclos se tocan si tienen un solo punto en común. Esto es cierto para dos círculos tangentes o una línea tangente a un círculo . Dos líneas completas se tocan si solo tienen en común el punto en el infinito, por lo que son paralelas. La relación de tangencia tiene la propiedad

• para cualquier ciclo${\displaystyle z}$, punto${\displaystyle P}$en${\displaystyle z}$y cualquier punto${\displaystyle Q}$no está${\displaystyle z}$Hay exactamente un ciclo${\displaystyle z'}$que contienen puntos${\displaystyle P,Q}$y tocar${\displaystyle z}$(en el punto ⁠${\displaystyle P}$⁠ ).

Estas propiedades definen esencialmente un plano de Möbius axiomático . Pero el plano de Möbius clásico no es la única estructura geométrica que satisface las propiedades de un plano de Möbius axiomático. Un ejemplo más sencillo de un plano de Möbius se puede obtener si se reemplazan los números reales por números racionales . El uso de números complejos (en lugar de números reales) no conduce a un plano de Möbius, porque en el plano afín complejo la curva${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$No es una curva circular, sino hipérbola. Afortunadamente, existen muchos campos (números) junto con formas cuadráticas adecuadas que dan lugar a planos de Möbius (véase más abajo). Estos ejemplos se denominan miquelianos , porque cumplen el teorema de los seis círculos de Miquel . Todos estos planos de Möbius miquelianos pueden describirse mediante modelos espaciales. El plano de Möbius real clásico puede considerarse como la geometría de círculos en la esfera unitaria . La ventaja esencial del modelo espacial es que cualquier ciclo es simplemente un círculo (en la esfera).

Partimos del plano afín real.${\displaystyle {\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )}$con la forma cuadrática${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$y obtener el plano euclidiano real :${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es el conjunto de puntos , las líneas se describen mediante ecuaciones${\displaystyle y=mx+b}$o${\displaystyle x=c}$y un círculo es un conjunto de puntos que satisface una ecuación.

${\displaystyle \rho (x-x_{0},y-y_{0})=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$

para algunos${\displaystyle r>0}$La geometría de las líneas y los círculos del plano euclidiano se puede homogeneizar (de forma similar a la completación proyectiva de un plano afín) incrustándola en la estructura de incidencia.

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

con

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {R} }$, el conjunto de puntos y

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ línea de }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}\cup \{k\mid k{\text{ círculo de }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}}$ el conjunto de ciclos .

Entonces${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$se denomina plano de Möbius real clásico .

Dentro de la nueva estructura, las líneas completadas ya no desempeñan un papel especial. Obviamente${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$tiene las siguientes propiedades.

• Para cualquier conjunto de tres puntos${\displaystyle A,B,C}$Hay exactamente un ciclo${\displaystyle z}$que contiene${\displaystyle A,B,C}$.
• Para cualquier ciclo${\displaystyle z}$cualquier punto${\displaystyle P\in z}$y${\displaystyle Q\notin z}$existe exactamente un ciclo${\displaystyle z'}$con:${\displaystyle P,Q\in z'}$y​${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$⁠ , es decir,${\displaystyle z}$y${\displaystyle z'}$tocarse mutuamente en el punto${\displaystyle P}$.

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$se puede describir utilizando números complejos.${\displaystyle z=x+iy}$representa un punto${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$y${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$es el conjugado complejo de ⁠${\displaystyle z}$:​

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {C} }$, y

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{z\in \mathbb {C} \mid az+{\overline {az}}+b=0\ {\text{(línea)}}\ \}\cup \{\infty \}\mid \ 0\neq a\in \mathbb {C} ,b\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle \cup \{\{z\in \mathbb {C} \mid (z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(circle)}}\mid z_{0}\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {R} ,d>0\}.}$

La ventaja de esta descripción es que se puede comprobar fácilmente que las siguientes permutaciones de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$mapear ciclos sobre ciclos.

1. ${\displaystyle z\rightarrow rz,\ \ \infty \rightarrow \infty,\quad}$con${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$(rotación + dilatación)
2. ${\displaystyle z\rightarrow z+s,\ \ \infty \rightarrow \infty ,\quad }$con${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$(traducción)
3. ${\displaystyle z\rightarrow \displaystyle {\frac {1}{z}},\ z\neq 0,\ \ 0\rightarrow \infty ,\ \ \infty \rightarrow 0,\quad }$(reflexión en${\displaystyle \pm 1}$)
4. ${\displaystyle z\rightarrow {\overline {z}},\ \ \infty \rightarrow \infty .\quad }$(reflexión o inversión respecto al eje real)

En vista de${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$como línea proyectiva sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$uno reconoce que las asignaciones (1)-(3) generan el grupo${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )}$(véase PGL(2,C) , transformación de Möbius ). La geometría${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es una estructura homogénea, es decir, su grupo de automorfismos es transitivo . Por lo tanto, de (4) obtenemos: Para cualquier ciclo existe una inversión . Por ejemplo:${\displaystyle z\rightarrow {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$es la inversión que fija el círculo unitario${\displaystyle z{\overline {z}}=1}$⁠ . Esta propiedad da lugar al nombre alternativo de plano inverso .

De forma similar al modelo espacial de un plano proyectivo desarguesiano, existe un modelo espacial para la geometría.${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$que omite la diferencia formal entre ciclos definidos por líneas y ciclos definidos por círculos: La geometría${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es isomorfo a la geometría de círculos en una esfera. El isomorfismo se puede realizar mediante una proyección estereográfica adecuada . Por ejemplo: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Phi$ :\ (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)=(u,v,w)\ .}

${\displaystyle \Phi }$es una proyección con centro${\displaystyle (0,0,1)}$y mapas

• el${\displaystyle xy}$-plano sobre la esfera con ecuación${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0}$, punto medio${\displaystyle (0,0,{\tfrac {1}{2}})}$y radio${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}};}$
• el círculo con ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}-ax-by-c=0}$dentro del avión${\displaystyle au+bv-(1+c)w+c=0}$Eso significa que la imagen de un círculo es una sección plana de la esfera y, por lo tanto, un círculo (sobre la esfera) nuevamente. Los planos correspondientes no contienen el centro .${\displaystyle (0,0,1)}$;​
• la línea${\displaystyle ax+by+c=0}$dentro del avión${\displaystyle au+bv-cw+c=0}$⁠ . Por lo tanto, la imagen de una línea es un círculo (en la esfera) que pasa por el punto${\displaystyle (0,0,1)}$pero omitiendo el punto${\displaystyle (0,0,1)}$⁠ .

El comportamiento de incidencia del plano de Möbius real clásico da lugar a la siguiente definición de un plano de Möbius axiomático.

Una estructura de incidencia${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$con punto establecido${\displaystyle {\mathcal {P}}}$y conjunto de ciclos${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$Se denomina plano de Möbius si se cumplen los siguientes axiomas:

A1: Para cualesquiera tres puntos${\displaystyle A,B,C}$Hay exactamente un ciclo${\displaystyle z}$que contiene${\displaystyle A,B,C}$⁠ .

A2: Para cualquier ciclo${\displaystyle z}$cualquier punto${\displaystyle P\in z}$y${\displaystyle Q\notin z}$existe exactamente un ciclo${\displaystyle z'}$con:${\displaystyle P,Q\in z'}$y${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$( ⁠${\displaystyle z}$y​${\displaystyle z'}$tocarse en el punto${\displaystyle P}$⁠ ).

A3: Cualquier ciclo contiene al menos tres puntos. Hay al menos un ciclo.

Cuatro puntos${\displaystyle A,B,C,D}$son concíclicos si hay un ciclo${\displaystyle z}$con​${\displaystyle A,B,C,D\in z}$⁠ .

No se debe esperar que los axiomas anteriores definan el plano de Möbius real clásico. Existen muchos planos de Möbius axiomáticos que difieren del clásico (véase más abajo). Similar al modelo mínimo de un plano afín es el "modelo mínimo" de un plano de Möbius. Consiste en:${\displaystyle 5}$agujas:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}},|z|=3\}.}$ Por eso:${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|={5 \choose 3}=10.}$

La conexión entre el plano de Möbius clásico y el plano afín real es similar a la que existe entre el modelo mínimo de un plano de Möbius y el modelo mínimo de un plano afín. Esta fuerte conexión es típica de los planos de Möbius y los planos afines (véase más adelante).

Para un plano de Möbius${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$y${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$definimos la estructura${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\setminus \{P\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\},\in )}$y llamémoslo el residuo en el punto P.

Para el modelo clásico el residuo${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\infty }}$en el punto${\displaystyle \infty }$es el plano afín real subyacente. El significado esencial del residuo muestra el siguiente teorema.

Teorema: Cualquier residuo de un plano de Möbius es un plano afín.

Este teorema permite utilizar los numerosos resultados sobre planos afines para investigaciones sobre planos de Möbius y da lugar a una definición equivalente de un plano de Möbius:

Teorema: Una estructura de incidencia${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es un plano de Möbius si y solo si se cumple la siguiente propiedad:

A': Por cualquier punto${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$el residuo${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$es un plano afín.

Para planos finitos de Möbius, es decir,${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$, tenemos (como con los planos afines):

Cualquier par de ciclos de un plano de Möbius tienen el mismo número de puntos.

Esto justifica la siguiente definición:

Para un plano de Möbius finito${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$y un ciclo${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$el entero${\displaystyle n:=|z|-1}$se llama orden de${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$⁠ .

De la combinatoria obtenemos:

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ser un plano de Möbius de orden${\displaystyle n}$. Entonces (a) cualquier residuo${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$es un plano afín de orden${\displaystyle n}$, ( b)${\displaystyle \vert {\mathcal {P}}\vert =n^{2}+1}$, (c )${\displaystyle \vert {\mathcal {Z}}\vert =n(n^{2}+1)}$⁠ .

Buscando más ejemplos de planos de Möbius, parece prometedor generalizar la construcción clásica a partir de una forma cuadrática.${\displaystyle \rho }$en un plano afín sobre un campo${\displaystyle K}$para definir círculos. Pero, simplemente para reemplazar los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$por cualquier campo${\displaystyle K}$y para mantener la forma cuadrática clásica${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$Para describir los círculos, en general no funciona. Para más detalles, consulte las notas de clase que aparecen a continuación. Por lo tanto, solo para pares adecuados de campos y formas cuadráticas se obtienen planos de Möbius .${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$⁠ . Se caracterizan (como el modelo clásico) por una enorme homogeneidad y el siguiente teorema de Miquel.

Teorema (Miquel): Para el plano de Möbius${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$Lo siguiente es cierto:

Si por cualquier 8 puntos${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$que se pueden asignar a los vértices de un cubo de tal manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico.

Lo contrario también es cierto.

Teorema (Chen): Solo un plano de Möbius${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$Satisface el Teorema de Miguel.

Debido al último teorema, un plano de Möbius${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$se denomina plano de Möbius miqueliano .

Nota: El modelo mínimo de un plano de Möbius es miqueliano. Es isomorfo al plano de Möbius.

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$con${\displaystyle K=\mathrm {GF} (2)}$( campo${\displaystyle \{0,1\}}$) y​${\displaystyle {1}}$⁠ .

(Por ejemplo, el círculo unitario) ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}=1}$es el conjunto de puntos${\displaystyle \{(0,1),(1,0),(1,1)\}}$. )

Nota: Si elegimos ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$En el campo de los números complejos, no existe ninguna forma cuadrática adecuada .

La elección${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$(el campo de los números racionales) y${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$es adecuado.

La elección${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$(el campo de los números racionales) y${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}-2y^{2}}$También es adecuado.

Nota: Una proyección estereográfica muestra:${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$es isomorfo a la geometría del plano

secciones en una esfera ( cuádrica no degenerada de índice 1) en el espacio proyectivo tridimensional sobre el cuerpo ⁠${\displaystyle K}$⁠ .

Nota: Una demostración del teorema de Miquel para el caso clásico (real) se puede encontrar en el artículo « El teorema de los seis círculos de Miquel» . Es elemental y se basa en el teorema del ángulo inscrito .

Nota: Hay muchos planos de Möbius que no son miquelianos (ver enlace web a continuación). La clase más similar a los planos de Möbius miquelianos son los planos de Möbius ovoidales . Un plano de Möbius ovoide es la geometría de las secciones planas de un ovoide . Un ovoide es un conjunto cuadrático y posee las mismas propiedades geométricas que una esfera en un espacio proyectivo tridimensional: 1) una línea interseca un ovoide en ninguno, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto del ovoide el conjunto de líneas tangentes forma un plano, el plano tangente . Un ovoide simple en el espacio real tridimensional se puede construir pegando dos mitades adecuadas de elipsoides diferentes, de modo que el resultado no sea una cuádrica. Incluso en el caso finito existen ovoides (ver conjunto cuadrático ). Los planos de Möbius ovoidales se caracterizan por el teorema del fibrado .

Un diseño de bloques con los parámetros de la extensión de un punto de un plano afín finito de orden ⁠${\displaystyle n}$⁠ , es decir, un${\displaystyle 3}$-${\displaystyle (n^{2}+1,n+1,1)}$-diseño, es un plano de Möbius de orden ⁠${\displaystyle n}$⁠ .

Estos diseños de bloques finitos satisfacen los axiomas que definen un plano de Möbius, cuando un círculo se interpreta como un bloque del diseño.

Los únicos valores finitos conocidos para el orden de un plano de Möbius son números primos o potencias de números primos. Los únicos planos de Möbius finitos conocidos se construyen dentro de geometrías proyectivas finitas.

• Geometría conforme
• Transformación de Möbius

• Benz, W. (1973), Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer
• Buekenhout, F., ed. (1995), Handbook of Incidence Geometry , Elsevier , ISBN 0-444-88355-X
• Dembowski, P. (1968), Geometrías finitas , Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8

• Plano de Möbius en la Enciclopedia de Matemáticas
• El avión de Benz en la Enciclopedia de Matemáticas
• Apuntes de clase: Geometrías circulares planas , una introducción a los planos de Möbius, Laguerre y Minkowski.