onda de Stokes

Según la teoría de tercer orden de Stokes, la elevación de la superficie libre η , el potencial de velocidad Φ, la velocidad de fase (o celeridad) c y la fase de la onda θ son, para una onda de gravedad superficial progresiva en aguas profundas, es decir, la capa de fluido tiene profundidad infinita: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\left[1+{\tfrac {1}{8}}(ka)^{2}\right]\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}(ka)\,\cos 2\theta +{\tfrac {3}{8}}(ka)^{2}\,\cos 3\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a{\sqrt {\frac {g}{k}}}\,{\text{e}}^{kz}\,\sin \theta +{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}=\left(1+{\tfrac {1}{2}}(ka)^{2}\right)\,{\sqrt {\frac {g}{k}}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),{\text{ y}}\\\theta (x,t)=&kx-\omega t,\end{aligned}}}$$ dónde

• x es la coordenada horizontal;
• z es la coordenada vertical, con la dirección positiva de z hacia arriba, opuesta a la dirección de la gravedad terrestre , y z  =  0 corresponde a la elevación media de la superficie;
• es hora;
• a es la amplitud de la onda de primer orden ;
• k es el número de onda angular , k = 2 π / λ donde λ es la longitud de onda ;
• ω es la frecuencia angular , ω = 2 π / τ donde τ es el período , y
• g es la intensidad de la gravedad terrestre, una constante en esta aproximación.

El parámetro de expansión ka se conoce como la pendiente de la onda. La velocidad de fase aumenta con el aumento de la no linealidad ka de las ondas. La altura de la onda H , que es la diferencia entre la elevación de la superficie η en una cresta y un valle , es: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle H=2a\,\left(1+{\tfrac {1}{2}}\,k^{2}a^{2}\right).}$$

Nótese que los términos de segundo y tercer orden en el potencial de velocidad Φ son cero. Solo en el cuarto orden aparecen contribuciones que se desvían de la teoría de primer orden, es decir, la teoría de ondas de Airy . ^{[ 6 ]} Hasta el tercer orden, el campo de velocidad orbital u  = ∇ Φ consiste en un movimiento circular del vector de velocidad en cada posición ( x , z ). Como resultado, la elevación superficial de las olas de aguas profundas es, con buena aproximación , trocoidal , como ya señaló Stokes (1847) . ^{[ 8 ]} 

Stokes observó además que, si bien (en esta descripción euleriana ) el campo de velocidad orbital de tercer orden consiste en un movimiento circular en cada punto, las trayectorias lagrangianas de las partículas de fluido no son círculos cerrados. Esto se debe a la reducción de la amplitud de la velocidad a medida que aumenta la profundidad bajo la superficie. Esta deriva lagrangiana de las partículas de fluido se conoce como deriva de Stokes . ^{[ 8 ]}

La elevación de la superficie η y el potencial de velocidad Φ son, según la teoría de segundo orden de Stokes sobre ondas de gravedad superficiales en una capa de fluido de profundidad media h : ^{[ 6 ] [ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)=&a\left\{\cos \,\theta +ka\,{\frac {3-\sigma ^{2}}{4\,\sigma ^{3}}}\,\cos \,2\theta \right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\\Phi (x,z,t)=&a\,{\frac {\omega }{k}}\,{\frac {1}{\sinh \,kh}}\\&\times \left\{\cosh \,k(z+h)\sin \,\theta +ka\,{\frac {3\cosh \,2k(z+h)}{8\,\sinh ^{3}\,kh}}\,\sin \,2\theta \right\}\\&-(ka)^{2}\,{\frac {1}{2\,\sinh \,2kh}}\,{\frac {g\,t}{k}}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{3}\right),\\c=&{\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {g}{k}}\,\sigma }}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{2}\right),\\\sigma =&\tanh \,kh\quad {\text{y}}\quad \theta (x,t)=kx-\omega t.\end{aligned}}}$$

Obsérvese que, para profundidades finitas, el potencial de velocidad Φ contiene una deriva lineal en el tiempo, independiente de la posición ( x y z ). Tanto esta deriva temporal como el término de doble frecuencia (que contiene sen  2θ) en Φ desaparecen para las olas de aguas profundas.

Relación de dispersión de tercer orden

For Stokes waves under the action of gravity, the third-order dispersion relation is – according to Stokes's first definition of celerity:^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\left(gk\,\tanh \,kh\right)\;\left\{1+{\frac {9-10\,\sigma ^{2}+9\,\sigma ^{4}}{8\,\sigma ^{4}}}\,(ka)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),\\&\qquad {\text{con}}\\\sigma &=\tanh \,kh.\end{aligned}}}$$

This third-order dispersion relation is a direct consequence of avoiding secular terms, when inserting the second-order Stokes solution into the third-order equations (of the perturbation series for the periodic wave problem).

In deep water (short wavelength compared to the depth): $${\displaystyle \lim _{kh\to \infty }\omega ^{2}=gk\,\left\{1+\left(ka\right)^{2}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right),}$$ and in shallow water (long wavelengths compared to the depth): $${\displaystyle \lim _{kh\to 0}\omega ^{2}=k^{2}\,gh\,\left\{1+{\frac {9}{8}}\,{\frac {\left(ka\right)^{2}}{\left(kh\right)^{4}}}\right\}+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$$

As shown above, the long-wave Stokes expansion for the dispersion relation will only be valid for small enough values of the Ursell parameter: U ≪ 100.

Un problema fundamental para encontrar soluciones a las ondas de gravedad superficiales es que las condiciones de contorno deben aplicarse en la posición de la superficie libre , la cual se desconoce de antemano y, por lo tanto, forma parte de la solución a hallar. Sir George Stokes resolvió este problema de ondas no lineales en 1847 mediante el desarrollo en serie de Taylor de las cantidades de flujo potencial relevantes alrededor de la elevación superficial media (o estática). ^{[ 12 ]} Como resultado, las condiciones de contorno pueden expresarse en términos de cantidades en la elevación superficial media (o estática) (que es fija y conocida).

A continuación, se busca una solución para el problema de ondas no lineales (incluida la expansión en serie de Taylor alrededor de la elevación de la superficie media o en reposo) mediante una serie de perturbaciones —conocida como expansión de Stokes— en términos de un parámetro pequeño, generalmente la pendiente de la onda. Los términos desconocidos en la expansión se pueden resolver secuencialmente. ^{[ 6 ] [ 8 ]} A menudo, solo se necesita un pequeño número de términos para proporcionar una solución con la precisión suficiente para fines de ingeniería. ^{[ 11 ]} Las aplicaciones típicas se encuentran en el diseño de estructuras costeras y marinas , y de barcos .

Otra propiedad de las ondas no lineales es que la velocidad de fase de estas depende de la altura de la onda . En un enfoque de series de perturbación, esto da lugar fácilmente a una variación secular espuria de la solución, en contradicción con el comportamiento periódico de las ondas. Stokes resolvió este problema expandiendo también la relación de dispersión en una serie de perturbación, mediante un método conocido actualmente como el método de Lindstedt-Poincaré . ^{[ 6 ]}

Stokes's wave theory, when using a low order of the perturbation expansion (e.g. up to second, third or fifth order), is valid for nonlinear waves on intermediate and deep water, that is for wavelengths (λ) not large as compared with the mean depth (h). In shallow water, the low-order Stokes expansion breaks down (gives unrealistic results) for appreciable wave amplitude (as compared to the depth). Then, Boussinesq approximations are more appropriate. Further approximations on Boussinesq-type (multi-directional) wave equations lead – for one-way wave propagation – to the Korteweg–de Vries equation or the Benjamin–Bona–Mahony equation. Like (near) exact Stokes-wave solutions,^[14] these two equations have solitary wave (soliton) solutions, besides periodic-wave solutions known as cnoidal waves.^[11]

Already in 1914, Wilton extended the Stokes expansion for deep-water surface gravity waves to tenth order, although introducing errors at the eight order.^[15] A fifth-order theory for finite depth was derived by De in 1955.^[16] For engineering use, the fifth-order formulations of Fenton are convenient, applicable to both Stokes first and second definition of phase speed (celerity).^[17] The demarcation between when fifth-order Stokes theory is preferable over fifth-order cnoidal wave theory is for Ursell parameters below about 40.^[10][11]

Different choices for the frame of reference and expansion parameters are possible in Stokes-like approaches to the nonlinear wave problem. In 1880, Stokes himself inverted the dependent and independent variables, by taking the velocity potential and stream function as the independent variables, and the coordinates (x,z) as the dependent variables, with x and z being the horizontal and vertical coordinates respectively.^[18] This has the advantage that the free surface, in a frame of reference in which the wave is steady (i.e. moving with the phase velocity), corresponds with a line on which the stream function is a constant. Then the free surface location is known beforehand, and not an unknown part of the solution. The disadvantage is that the radius of convergence of the rephrased series expansion reduces.^[19]

Another approach is by using the Lagrangian frame of reference, following the fluid parcels. The Lagrangian formulations show enhanced convergence, as compared to the formulations in both the Eulerian frame, and in the frame with the potential and streamfunction as independent variables.^[20][21]

An exact solution for nonlinear pure capillary waves of permanent form, and for infinite fluid depth, was obtained by Crapper in 1957. Note that these capillary waves – being short waves forced by surface tension, if gravity effects are negligible – have sharp troughs and flat crests. This contrasts with nonlinear surface gravity waves, which have sharp crests and flat troughs.^[22]

Mediante el uso de modelos computacionales, Schwartz (1974) continuó la expansión de Stokes para ondas de gravedad superficiales hasta el orden 117. Schwartz encontró que la amplitud a (o a₁ ) de la fundamental _de primer orden alcanza un máximo antes de que se alcance la altura máxima de la onda H. En consecuencia, la pendiente de la onda ka en términos de amplitud de onda no es una función monótona hasta la onda más alta, y Schwartz utiliza en su lugar kH como parámetro de expansión. Para estimar la onda más alta en aguas profundas, Schwartz utilizó aproximantes de Padé y diagramas de Domb-Sykes para mejorar la convergencia de la expansión de Stokes. En Williams ( 1981 , 1985 ) se proporcionan tablas extendidas de ondas de Stokes a varias profundidades, calculadas mediante un método diferente (pero de acuerdo con los resultados de otros) . 

Existen varias relaciones exactas entre propiedades integrales, como la energía cinética y potencial , el momento de onda horizontal y la tensión de radiación , según lo hallado por Longuet-Higgins (1975) . Demuestra, para olas en aguas profundas, que muchas de estas propiedades integrales alcanzan un máximo antes de que se alcance la altura máxima de la ola (en apoyo de los hallazgos de Schwartz). Cokelet (1978 ) , utilizando un método similar al de Schwartz, calculó y tabuló propiedades integrales para un amplio rango de profundidades de agua finitas ( todas alcanzando máximos por debajo de la altura máxima de la ola). Además, estas propiedades integrales desempeñan un papel importante en las leyes de conservación de las olas de agua, a través del teorema de Noether . ^{[ 25 ]}

En 2005, Hammack, Henderson y Segur proporcionaron la primera evidencia experimental de la existencia de ondas progresivas tridimensionales de forma permanente en aguas profundas, es decir, patrones de ondas progresivas bidimensionales y biperiódicas de forma permanente. ^{[ 26 ]} La existencia de estas ondas tridimensionales estacionarias en aguas profundas se reveló en 2002, a partir de un estudio de bifurcación de ondas Stokes bidimensionales realizado por Craig y Nicholls, utilizando métodos numéricos. ^{[ 27 ]}

In many instances, the oscillatory flow in the fluid interior of surface waves can be described accurately using potential flow theory, apart from boundary layers near the free surface and bottom (where vorticity is important, due to viscous effects, see Stokes boundary layer).^[49] Then, the flow velocityu can be described as the gradient of a velocity potential${\displaystyle \Phi }$:

Consequently, assuming incompressible flow, the velocity field u is divergence-free and the velocity potential ${\displaystyle \Phi }$ satisfies Laplace's equation^[49]

in the fluid interior.

The fluid region is described using three-dimensional Cartesian coordinates (x,y,z), with x and y the horizontal coordinates, and z the vertical coordinate – with the positive z-direction opposing the direction of the gravitational acceleration. Time is denoted with t. The free surface is located at z = η(x,y,t), and the bottom of the fluid region is at z = −h(x,y).

The free-surface boundary conditions for surface gravity waves – using a potential flow description – consist of a kinematic and a dynamic boundary condition.^[50] The kinematic boundary condition ensures that the normal component of the fluid's flow velocity, ${\displaystyle \mathbf {u} =[\partial \Phi /\partial x~~~\partial \Phi /\partial y~~~\partial \Phi /\partial z]^{\mathrm {T} }}$ in matrix notation, at the free surface equals the normal velocity component of the free-surface motion z = η(x,y,t):

The dynamic boundary condition states that, without surface tension effects, the atmospheric pressure just above the free surface equals the fluid pressure just below the surface. For an unsteady potential flow this means that the Bernoulli equation is to be applied at the free surface. In case of a constant atmospheric pressure, the dynamic boundary condition becomes:

where the constant atmospheric pressure has been taken equal to zero, without loss of generality.

Both boundary conditions contain the potential ${\displaystyle \Phi }$ as well as the surface elevation η. A (dynamic) boundary condition in terms of only the potential ${\displaystyle \Phi }$ can be constructed by taking the material derivative of the dynamic boundary condition, and using the kinematic boundary condition:^[49][50][51]$${\displaystyle {\color {Gray}{{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\Bigr )}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,|\mathbf {u} |^{2}+g\,\eta \right)=0}}}$$$${\displaystyle {\color {Gray}{\Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} |^{2}\right)=0}}}$$

At the bottom of the fluid layer, impermeability requires the normal component of the flow velocity to vanish:^[49]

where h(x,y) is the depth of the bed below the datumz = 0 and n is the coordinate component in the direction normal to the bed.

For permanent waves above a horizontal bed, the mean depth h is a constant and the boundary condition at the bed becomes: $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\qquad {\text{ at }}z=-h.}$$

Las condiciones de contorno de superficie libre (D) y (E) se aplican en la elevación de superficie libre aún desconocida z = η ( x , y , t ) . Se pueden transformar en condiciones de contorno en una elevación fija z = constante mediante el uso de expansiones en serie de Taylor del campo de flujo alrededor de esa elevación. ^{[ 49 ]} Sin pérdida de generalidad, la elevación media de la superficie, alrededor de la cual se desarrollan las series de Taylor, se puede tomar en z = 0 . Esto asegura que la expansión sea alrededor de una elevación cercana a la elevación real de la superficie libre. La convergencia de la serie de Taylor para el movimiento de onda estacionaria de pequeña amplitud fue demostrada por Levi-Civita (1925) .

Se utiliza la siguiente notación: la serie de Taylor de algún campo f ( x , y , z , t ) alrededor de z = 0 – y evaluada en z = η ( x , y , t ) – es: ^{[ 52 ]}$${\displaystyle f(x,y,\eta ,t)=\left[f\right]_{0}+\eta \,\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{0}+{\frac {1}{2}}\,\eta ^{2}\,\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right]_{0}+\cdots }$$ con subíndice cero significa evaluación en z = 0 , por ejemplo: [ f ] ₀ = f ( x , y ,0, t ) .

Aplicando la expansión de Taylor a la condición de contorno de superficie libre Eq. (E) en términos del potencial Φ se obtiene: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

mostrando términos hasta productos triples de η , Φ y u , como se requiere para la construcción de la expansión de Stokes hasta tercer orden O (( ka ) ³ ). Aquí, ka es la pendiente de la onda, con k un número de onda característico y a una amplitud de onda característica para el problema en estudio. Se supone que los campos η , Φ y u son O ( ka ).

La condición de contorno de superficie libre dinámica Eq. (D) se puede evaluar en términos de cantidades en z = 0 como: ^{[ 49 ] [ 52 ]}

Las ventajas de estas expansiones en serie de Taylor se manifiestan plenamente en combinación con un enfoque de serie de perturbación, para ondas débilmente no lineales ( ka ≪ 1) .

Las series de perturbación están en términos de un pequeño parámetro de orden ε ≪ 1 , que posteriormente resulta ser proporcional a (y del orden de) la pendiente de onda ka , véase la solución en serie en esta sección . ^{[ 53 ]} Entonces, tomemos ε = ka : $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &=\varepsilon \,\eta _{1}+\varepsilon ^{2}\,\eta _{2}+\varepsilon ^{3}\,\eta _{3}+\cdots ,\\\Phi &=\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\,\Phi _{2}+\varepsilon ^{3}\,\Phi _{3}+\cdots \quad {\text{and}}\\\mathbf {u} &=\varepsilon \,\mathbf {u} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathbf {u} _{2}+\varepsilon ^{3}\,\mathbf {u} _{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Cuando se aplican en las ecuaciones de flujo, deben ser válidas independientemente del valor particular de ε . Al igualar en potencias de ε , cada término proporcional a ε elevado a una cierta potencia debe ser igual a cero. Como ejemplo de cómo funciona el enfoque de la serie de perturbaciones, considérese la condición de contorno no lineal (G) ; se convierte en: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon \,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right\}\\&+\varepsilon ^{2}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+\varepsilon ^{3}\,\left\{{\frac {\partial ^{2}\Phi _{3}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{3}}{\partial z}}+\eta _{1}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{2}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{2}}{\partial z}}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+\eta _{2}\,{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+2\,{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {u} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}\right)\right.\\&\qquad \quad \left.+{\tfrac {1}{2}}\,\eta _{1}^{2}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}+g\,{\frac {\partial \Phi _{1}}{\partial z}}\right)+\eta _{1}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial z}}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\,\mathbf {u} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left(|\mathbf {u} _{1}|^{2}\right)\right\}\\&+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{4}\right)=0,\qquad {\text{at }}z=0.\end{aligned}}}$$

Las condiciones de contorno resultantes en z = 0 para los tres primeros órdenes son:

Primer pedido:

Segundo orden:

Tercer orden:

De manera similar, a partir de la condición de contorno dinámica (H) , las condiciones en z = 0 en los órdenes 1, 2 y 3 se convierten en:

Primer pedido:

Segundo orden:

Tercer orden:

Para las ecuaciones lineales (A) , (B) y (F), la técnica de perturbación da como resultado una serie de ecuaciones independientes de las soluciones de perturbación en otros órdenes:

Las ecuaciones de perturbación anteriores se pueden resolver secuencialmente, es decir, comenzando con el primer orden, luego continuando con el segundo orden, el tercer orden, etc.

Las ondas de forma permanente se propagan con una velocidad de fase constante (o celeridad ), denotada como c . Si el movimiento ondulatorio estacionario es en la dirección horizontal x , las cantidades de flujo η y u no dependen por separado de x y del tiempo t , sino que son funciones de x − ct : ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \eta (x,t)=\eta (x-ct)\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} (x,z,t)=\mathbf {u} (x-ct,z).}$$

Además, las ondas son periódicas —y, dado que también tienen una forma permanente— tanto en el espacio horizontal x como en el tiempo t , con longitud de onda λ y período τ respectivamente. Nótese que Φ ( x , z , t ) en sí misma no es necesariamente periódica debido a la posibilidad de una deriva constante (lineal) en x y/o t : ^{[ 56 ]}$${\displaystyle \Phi (x,z,t)=\beta x-\gamma t+\varphi (x-ct,z),}$$ donde φ ( x , z , t ) – así como las derivadas ∂ Φ /∂ t y ∂ Φ /∂ x – son periódicas. Aquí β es la velocidad media del flujo por debajo del nivel del valle , y γ está relacionada con la carga hidráulica observada en un sistema de referencia que se mueve con la velocidad de fase de la onda c (de modo que el flujo se vuelve estacionario en este sistema de referencia).

Para aplicar la expansión de Stokes a ondas periódicas progresivas, es ventajoso describirlas mediante series de Fourier en función de la fase de la onda θ ( x , t ): ^{[ 48 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \theta =kx-\omega t=k\left(x-ct\right),}$$

suponiendo que las ondas se propagan en la dirección x . Aquí k = 2 π / λ es el número de onda , ω = 2 π / τ es la frecuencia angular y c = ω / k (= λ / τ ) es la velocidad de fase .

Ahora, la elevación de la superficie libre η ( x , t ) de una onda periódica se puede describir como la serie de Fourier : ^{[ 11 ] [ 56 ]}$${\displaystyle \eta =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\cos \,(n\theta ).}$$

De manera similar, la expresión correspondiente para el potencial de velocidad Φ ( x , z , t ) es: ^{[ 56 ]}$${\displaystyle \Phi =\beta x-\gamma t+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\,{\biggl [}\cosh \,\left(nk\,(z+h)\right){\biggr ]}\,\sin \,(n\theta ),}$$

que satisface tanto la ecuación de Laplace ∇ ² Φ = 0 en el interior del fluido, como la condición de contorno ∂ Φ /∂ z = 0 en el lecho z = − h .

Para un valor dado del número de onda k , los parámetros A _n , B _n (con n = 1, 2, 3, ... ), c ​​, β y γ aún no se han determinado. Todos ellos pueden expandirse como series de perturbación en ε . Fenton (1990) proporciona estos valores para la teoría de ondas de Stokes de quinto orden.

Para ondas periódicas progresivas, las derivadas con respecto a x y t de las funciones f ( θ , z ) de θ ( x , t ) pueden expresarse como derivadas con respecto a θ : $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=+k\,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\omega \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}.}$$

El punto importante para las ondas no lineales —a diferencia de la teoría de ondas de Airy lineales— es que la velocidad de fase c también depende de la amplitud de onda a , además de su dependencia de la longitud de onda λ = 2π / k y la profundidad media h . Ignorar la dependencia de c de la amplitud de onda da como resultado la aparición de términos seculares en las contribuciones de orden superior a la solución de la serie de perturbaciones. Stokes (1847) ya aplicó la corrección no lineal necesaria a la velocidad de fase c para evitar el comportamiento secular. Un enfoque general para hacerlo se conoce ahora como el método de Lindstedt-Poincaré . Dado que el número de onda k es dado y, por lo tanto, fijo, el comportamiento no lineal de la velocidad de fase c = ω / k se tiene en cuenta expandiendo también la frecuencia angular ω en una serie de perturbaciones: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \,\omega _{1}+\varepsilon ^{2}\,\omega _{2}+\cdots .}$$

Aquí _{, ω₀} resultará estar relacionado con el número de onda k a través de la relación de dispersión lineal . Sin embargo, las derivadas temporales, a través de ∂f / _∂t = −ω∂f / ∂θ , ahora también aportan contribuciones —que contienen ω₁ , ω₂ , _{etc.— a las ecuaciones gobernantes de orden superior en} la _{serie de} perturbación. Ajustando ω₁ , ω₂ , etc., se puede evitar _el comportamiento secular. Para las ondas de gravedad superficiales, se encuentra que ω₁ = 0 y la primera contribución no nula a la relación de dispersión proviene de ω₂ (véase _{, por ejemplo ,} la subsección " Relación de dispersión de tercer orden " anterior). ^{[ 9 ]}