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Onda capilar

Ondas capilares (ondulaciones) en el agua Ondulaciones en el fiordo de Lifjord, en el municipio de Øksnes , Noruega. Ondas capilares producidas por el impacto de gotas en la int...

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Ondas capilares (ondulaciones) en el agua
Ondulaciones en el fiordo de Lifjord, en el municipio de Øksnes , Noruega.
Ondas capilares producidas por el impacto de gotas en la interfaz entre el agua y el aire.

Una onda capilar es una onda que viaja a lo largo del límite de fase de un fluido, cuya dinámica y velocidad de fase están dominadas por los efectos de la tensión superficial .

Las ondas capilares son comunes en la naturaleza y a menudo se las denomina rizos . La longitud de onda de las ondas capilares en el agua suele ser inferior a unos pocos centímetros, con una velocidad de fase superior a 0,2-0,3 metros por segundo.

Una mayor longitud de onda en la interfaz de un fluido dará lugar a ondas gravitatorias-capilares influenciadas tanto por los efectos de la tensión superficial y la gravedad como por la inercia del fluido. Las ondas gravitatorias ordinarias tienen una longitud de onda aún mayor.

Las brisas suaves sobre la superficie del agua que generan pequeñas ondulaciones también se conocen a veces como «patas de gato». En mar abierto, olas mucho más grandes ( mares y oleajes ) pueden resultar de la coalescencia de pequeñas ondulaciones causadas por el viento.

Relación de dispersión

La relación de dispersión describe la relación entre la longitud de onda y la frecuencia en las ondas. Se puede distinguir entre ondas capilares puras, dominadas completamente por los efectos de la tensión superficial, y ondas gravitatorias-capilares, que también se ven afectadas por la gravedad.

Ondas capilares, propiamente dichas

La relación de dispersión para las ondas capilares es

ω2=σρ+ρ′|k|3,{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}

dóndeω{\displaystyle \omega }es la frecuencia angular ,σ{\displaystyle \sigma }la tensión superficial ,ρ{\displaystyle \rho }la densidad del fluido más denso,ρ′{\displaystyle \rho '}la densidad del líquido del encendedor yk{\displaystyle k}el número de onda . La longitud de onda es λ=2πk.{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.} Para el límite entre el fluido y el vacío (superficie libre), la relación de dispersión se reduce a

ω2=σρ|k|3.{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}

Ondas gravitatorias-capilares

Dispersión de ondas gravitatorias-capilares en la superficie de aguas profundas (densidad de masa cero de la capa superior,ρ′=0{\displaystyle \rho '=0}). Velocidad de fase y de grupo dividida porgramoσ/ρ4{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}en función de la longitud de onda relativa inversa1λσ/(ρgramo){\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}• Líneas azules ( A): velocidad de fase. • Líneas rojas (B): velocidad de grupo. • Líneas continuas: relación de dispersión para ondas gravitatorias-capilares. • Líneas discontinuas: relación de dispersión para ondas gravitatorias de aguas profundas. • Líneas de puntos y rayas: relación de dispersión válida para ondas capilares de aguas profundas.    

Cuando las ondas capilares también se ven afectadas sustancialmente por la gravedad, se denominan ondas gravitatorias-capilares. Su relación de dispersión, para ondas en la interfaz entre dos fluidos de profundidad infinita, es la siguiente: [ 1 ] [ 2 ]

ω2=|k|(ρ−ρ′ρ+ρ′gramo+σρ+ρ′k2),{\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}

dóndegramo{\displaystyle g}es la aceleración debida a la gravedad ,ρ{\displaystyle \rho }yρ′{\displaystyle \rho '}son las densidades de los dos fluidos(ρ>ρ′){\displaystyle (\rho >\rho ')}. El factor(ρ−ρ′)/(ρ+ρ′){\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}en el primer término es el número de Atwood .

Régimen de ondas gravitatorias

Para longitudes de onda grandes (pequeñas)k=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda }), solo el primer término es relevante y se obtienen ondas gravitatorias . En este límite, las ondas tienen una velocidad de grupo que es la mitad de la velocidad de fase : siguiendo la cresta de una sola onda en un grupo, se puede ver cómo la onda aparece en la parte posterior del grupo, crece y finalmente desaparece en la parte frontal del grupo.

Régimen de ondas capilares

Más corto (grande)k{\displaystyle k}Las ondas (por ejemplo, de 2  mm para la interfaz agua-aire), que son ondas capilares propiamente dichas, hacen lo contrario: una onda individual aparece en la parte frontal del grupo, crece al moverse hacia el centro del grupo y finalmente desaparece en la parte posterior del mismo. La velocidad de fase es dos tercios de la velocidad de grupo en este límite.

Velocidad de fase mínima

Entre estos dos límites existe un punto en el que la dispersión causada por la gravedad anula la dispersión debida al efecto capilar. A una determinada longitud de onda, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase, y no hay dispersión. Precisamente a esta misma longitud de onda, la velocidad de fase de las ondas gravitatorias-capilares en función de la longitud de onda (o número de onda) presenta un mínimo. Las ondas con longitudes de onda mucho menores que esta longitud de onda críticaλmetro{\displaystyle \lambda _{m}}están dominadas por la tensión superficial, y mucho más arriba por la gravedad. El valor de esta longitud de onda y la velocidad de fase mínima asociadadometro{\displaystyle c_{m}}son: [ 1 ]

λmetro=2πσ(ρ−ρ′)gramoydometro=2(ρ−ρ′)gramoσρ+ρ′.{\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{y}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}

Para la interfaz aire - agua ,λmetro{\displaystyle \lambda _{m}}Se ha determinado que mide 1,7 cm (0,67 pulgadas) y  dometro{\displaystyle c_{m}}es 0,23 m/s (0,75 ft/s) . [ 1 ]  

Si se deja caer una pequeña piedra o gota en un líquido, las ondas se propagan fuera de un círculo en expansión de fluido en reposo; este círculo es una cáustica que corresponde a la velocidad de grupo mínima. [ 3 ]

Derivación

Como dijo Richard Feynman : « [Las olas del agua] que son fácilmente visibles para todos y que suelen usarse como ejemplo de olas en los cursos elementales [...] son ​​el peor ejemplo posible [...]; tienen todas las complicaciones que pueden tener las olas » . [ 4 ] Por lo tanto, la derivación de la relación de dispersión general es bastante compleja. [ 5 ]

Hay tres contribuciones a la energía, debidas a la gravedad, a la tensión superficial y a la hidrodinámica . Las dos primeras son energías potenciales y son responsables de los dos términos dentro del paréntesis, como se desprende claramente de la apariencia degramo{\displaystyle g}yσ{\displaystyle \sigma }. Para la gravedad, se supone que la densidad de los fluidos es constante (es decir, incompresibilidad), y de igual maneragramo{\displaystyle g}(Las olas no son lo suficientemente altas como para que la gravedad cambie de forma apreciable). En el caso de la tensión superficial, se supone que las desviaciones de la planaridad (medidas mediante las derivadas de la superficie) son pequeñas. Para las olas comunes, ambas aproximaciones son suficientemente buenas.

La tercera contribución involucra las energías cinéticas de los fluidos. Es la más compleja y requiere un marco hidrodinámico . Nuevamente interviene la incompresibilidad (que se cumple si la velocidad de las ondas es mucho menor que la velocidad del sonido en el medio), junto con el hecho de que el flujo es irrotacional ; en ese caso, el flujo es potencial . Estas suelen ser buenas aproximaciones para situaciones comunes.

La ecuación resultante para el potencial (que es la ecuación de Laplace ) se puede resolver con las condiciones de contorno adecuadas. Por un lado, la velocidad debe anularse muy por debajo de la superficie (en el caso de "aguas profundas", que es el que consideramos; de lo contrario, se obtiene un resultado más complejo, véase Ondas superficiales oceánicas ). Por otro lado, su componente vertical debe coincidir con el movimiento de la superficie. Esta contribución termina siendo responsable de la adicional k{\displaystyle k}fuera del paréntesis, lo que hace que todos los regímenes sean dispersivos, tanto en valores bajos dek{\displaystyle k}y valores altos (excepto en torno al valor en el que las dos dispersiones se cancelan).

Véase también

Notas

  1. 1 2 3 Lamb (1994), §267, páginas 458–460.
  2. ↑ Dingemans (1997), Sección 2.1.1, pág. 45.Phillips (1977), Sección 3.2, pág. 37.
  3. ↑ Falkovich, G. (2011). Mecánica de fluidos: un curso breve para físicos . Cambridge University Press. Sección 3.1 y Ejercicio 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
  4. ↑ RP Feynman , RB Leighton y M. Sands (1963). Las Lecciones de Física de Feynman . Addison-Wesley. Volumen I, Capítulo 51-4.
  5. ↑ Véase, por ejemplo, Safran (1994) para una descripción más detallada.
  6. ↑ Lamb (1994), §174 y §230.
  7. 1 2 3 4 5 Lamb (1994), §266.
  8. 1 2 Lamb (1994), §61.
  9. ↑ Lamb (1994), §20
  10. ↑ Lamb (1994), §230.
  11. 1 2 Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-94090-9.Véase la sección 11.7.
  12. ↑ Lord Rayleigh (JW Strutt) (1877). "Sobre ondas progresivas" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 9 : 21–26 . doi : 10.1112/plms/s1-9.1.21 .Reimpreso como apéndice en: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2.ª edición revisada, 1894.

Referencias

  • Longuet-Higgins, MS (1963). "La generación de ondas capilares por ondas gravitatorias pronunciadas". Journal of Fluid Mechanics . 16 (1): 138– 159. Bibcode : 1963JFM....16..138L . doi : 10.1017/S0022112063000641 . ISSN 1469-7645 . S2CID 119740891 .  
  • Lamb, H. (1994). Hidrodinámica (6.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
  • Phillips, OM (1977). La dinámica del océano superior (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-29801-6.
  • Dingemans, MW (1997). Propagación de olas de agua sobre fondos irregulares . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. Vol.  13. World Scientific, Singapur.  2 partes, 967 páginas. ISBN 981-02-0427-2.
  • Safran, Samuel (1994). Termodinámica estadística de superficies, interfaces y membranas . Addison-Wesley.
  • Tufillaro, NB; Ramshankar, R.; Gollub, JP (1989). "Transición orden-desorden en ondulaciones capilares" . Physical Review Letters . 62 (4): 422– 425. Bibcode : 1989PhRvL..62..422T . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.422 . PMID 10040229 . 
  • Entrada sobre ondas capilares en sklogwiki
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