onda trocoidal

En dinámica de fluidos , una onda trocoidal u onda de Gerstner es una solución exacta de las ecuaciones de Euler para ondas gravitatorias superficiales periódicas . Describe una onda progresiva de forma permanente en la superficie de un fluido incompresible de profundidad infinita. La superficie libre de esta solución ondulatoria es una trocoide invertida (al revés) , con crestas más pronunciadas y valles planos. Esta solución ondulatoria fue descubierta por Gerstner en 1802 y redescubierta independientemente por Rankine en 1863.

El campo de flujo asociado a la onda trocoidal no es irrotacional : posee vorticidad . Esta vorticidad tiene una intensidad y distribución vertical tan específicas que las trayectorias de las partículas de fluido son círculos cerrados. Esto contrasta con la observación experimental habitual de la deriva de Stokes asociada al movimiento ondulatorio. Además, la velocidad de fase es independiente de la amplitud de la onda trocoidal , a diferencia de otras teorías de ondas no lineales (como las de la onda de Stokes y la onda cnoidal ) y observaciones. Por estas razones, así como por la falta de soluciones para profundidades de fluido finitas, las ondas trocoidales tienen una utilidad limitada en aplicaciones de ingeniería.

En gráficos por computadora , la representación de olas oceánicas de aspecto realista se puede realizar mediante el uso de las llamadas ondas de Gerstner . Esta es una extensión multicomponente y multidireccional de la onda de Gerstner tradicional, que a menudo utiliza transformadas rápidas de Fourier para hacer posible la animación (en tiempo real) . ^{[ 1 ]}

Utilizando una especificación lagrangiana del campo de flujo , el movimiento de las parcelas de fluido es – para una onda periódica en la superficie de una capa de fluido de profundidad infinita: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}X(a,b,t)&=a+{\frac {e^{kb}}{k}}\sin \left(k(a+ct)\right),\\Y(a,b,t)&=b-{\frac {e^{kb}}{k}}\cos \left(k(a+ct)\right),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle x=X(a,b,t)}$y${\displaystyle y=Y(a,b,t)}$son las posiciones de las parcelas de fluido en el${\displaystyle (x,y)}$avión en ese momento${\displaystyle t}$, con${\displaystyle x}$la coordenada horizontal y${\displaystyle y}$la coordenada vertical (positiva hacia arriba, en la dirección opuesta a la gravedad). Las coordenadas lagrangianas${\displaystyle (a,b)}$etiquetar los paquetes de fluido, con${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$los centros de las órbitas circulares, alrededor de las cuales la parcela de fluido correspondiente se mueve a velocidad constante${\displaystyle c\,\exp(kb).}$Más${\textstyle k=2\pi /\lambda }$es el número de onda (y${\displaystyle \lambda }$la longitud de onda ), mientras que${\displaystyle c}$es la velocidad de fase con la que la onda se propaga en el${\displaystyle x}$-dirección. La velocidad de fase satisface la relación de dispersión : $${\displaystyle c^{2}={\frac {g}{k}},}$$ que es independiente de la no linealidad de la onda (es decir, no depende de la altura de la onda)${\displaystyle H}$), y esta velocidad de fase${\displaystyle c}$Lo mismo que para las ondas lineales de Airy en aguas profundas.

La superficie libre es una línea de presión constante y se encuentra que corresponde con una línea${\displaystyle b=b_{s}}$, dónde${\displaystyle b_{s}}$es una constante (no positiva). Para${\displaystyle b_{s}=0}$Las olas más altas se producen con una cresta en forma de cúspide . Nótese que la onda de Stokes más alta (irrotacional) tiene un ángulo de cresta de 120°, en lugar de los 0° de la onda trocoidal rotacional. ^{[ 3 ]}

La altura de la onda trocoidal es${\textstyle H={\frac {2}{k}}\exp(kb_{s}).}$La onda es periódica en el${\displaystyle x}$-dirección, con longitud de onda${\displaystyle \lambda$ ;} y también periódico en el tiempo con período${\textstyle T=\lambda /c={\sqrt {2\pi \lambda /g}}.}$

La vorticidad${\displaystyle \varpi }$bajo la onda trocoidal es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \varpi (a,b,t)=-{\frac {2kce^{2kb}}{1-e^{2kb}}},}$$ variando con la elevación lagrangiana${\displaystyle b}$y disminuyendo rápidamente con la profundidad por debajo de la superficie libre.

Una extensión multicomponente y multidireccional de la descripción lagrangiana del movimiento de la superficie libre, como la utilizada en la onda trocoidal de Gerstner, se utiliza en gráficos por computadora para la simulación de olas oceánicas. ^{[ 1 ]} Para la onda clásica de Gerstner, el movimiento del fluido satisface exactamente las ecuaciones de flujo no lineales , incompresibles e inviscidos por debajo de la superficie libre. Sin embargo, las ondas de Gerstner extendidas generalmente no satisfacen estas ecuaciones de flujo exactamente (aunque las satisfacen aproximadamente, es decir, para la descripción lagrangiana linealizada por flujo potencial ). Esta descripción del océano se puede programar de manera muy eficiente mediante el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT). Además, las olas oceánicas resultantes de este proceso se ven realistas, como resultado de la deformación no lineal de la superficie libre (debido a la especificación lagrangiana del movimiento): crestas más pronunciadas y valles más planos .

La descripción matemática de la superficie libre en estas ondas de Gerstner puede ser la siguiente: ^{[ 1 ]} las coordenadas horizontales se denotan como${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$y la coordenada vertical es${\displaystyle y}$. El nivel medio de la superficie libre es de${\displaystyle y=0}$y lo positivo${\displaystyle y}$-la dirección es hacia arriba, oponiéndose a la fuerza de gravedad de la Tierra.${\displaystyle g.}$La superficie libre se describe paramétricamente como una función de los parámetros.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta ,}$así como el tiempo${\displaystyle t.}$Los parámetros están conectados a los puntos de la superficie media.${\displaystyle (x,y,z)=(\alpha,0,\beta)}$alrededor de la cual orbitan las parcelas de fluido en la superficie ondulada. La superficie libre se especifica mediante${\displaystyle x=\xi (\alpha ,\beta ,t),}$${\displaystyle y=\zeta (\alpha,\beta,t)}$y${\displaystyle z=\eta (\alpha,\beta,t)}$con: $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\alpha -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{x,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\eta &=\beta -\sum _{m=1}^{M}{\frac {k_{z,m}}{k_{m}}}\,{\frac {a_{m}}{\tanh \left(k_{m}\,h\right)}}\,\sin \left(\theta _{m}\right),\\\zeta &=\sum _{m=1}^{M}a_{m}\,\cos \left(\theta _{m}\right),\\\theta _{m}&=k_{x,m}\,\alpha +k_{z,m}\,\beta -\omega _{m}\,t-\phi _{m},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \tanh }$es la función tangente hiperbólica ,${\displaystyle M}$es el número de componentes de onda consideradas,${\displaystyle a_{m}}$es la amplitud del componente${\displaystyle {m=1\dots M}}$y${\displaystyle \phi _{m}}$su fase . Más${\textstyle k_{m}={\sqrt {\scriptstyle k_{x,m}^{2}+k_{z,m}^{2}}}}$es su número de onda y${\displaystyle \omega _{m}}$su frecuencia angular . Los dos últimos,${\displaystyle k_{m}}$y${\displaystyle \omega _{m},}$no pueden elegirse de forma independiente, sino que están relacionados a través de la relación de dispersión : $${\displaystyle \omega _{m}^{2}=g\,k_{m}\tanh \left(k_{m}\,h\right),}$$ con${\displaystyle h}$la profundidad media del agua. En aguas profundas (${\displaystyle h\to \infty }$) la tangente hiperbólica tiende a uno:${\displaystyle {\tanh(k_{m}\,h)\to 1.}}$Los componentes${\displaystyle k_{x,m}}$y${\displaystyle k_{z,m}}$del vector de número de onda horizontal${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{m}}$determinar la dirección de propagación de la onda del componente${\displaystyle m.}$

La elección de los distintos parámetros${\displaystyle a_{m},k_{x,m},k_{z,m}}$y${\displaystyle \phi _{m}}$para${\displaystyle m=1,\dots ,M,}$y una cierta profundidad media${\displaystyle h}$determina la forma de la superficie del océano. Se necesita una elección inteligente para aprovechar la posibilidad de un cálculo rápido mediante la FFT. Véase, por ejemplo, Tessendorf (2001) para una descripción de cómo hacerlo. Lo más frecuente es que los números de onda se elijan en una cuadrícula regular en${\displaystyle (k_{x},k_{z})}$-espacio. Posteriormente, las amplitudes${\displaystyle a_{m}}$y fases${\displaystyle \phi _{m}}$se eligen aleatoriamente de acuerdo con el espectro de varianza-densidad de un estado del mar deseado . Finalmente, mediante FFT, la superficie del océano se puede construir de tal manera que sea periódica tanto en el espacio como en el tiempo, lo que permite el teselado : crear periodicidad en el tiempo desplazando ligeramente las frecuencias.${\displaystyle \omega _{m}}$de tal manera que${\displaystyle \omega _{m}=m\,\Delta \omega }$para${\displaystyle m=1,\dots ,M.}$

En la representación, también el vector normal${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$a la superficie a menudo es necesario. Estos se pueden calcular utilizando el producto vectorial (${\displaystyle \times }$) como: $${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \alpha }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {s}}}{\partial \beta }}\quad {\text{with}}\quad {\boldsymbol {s}}(\alpha ,\beta ,t)={\begin{pmatrix}\xi (\alpha ,\beta ,t)\\\zeta (\alpha ,\beta ,t)\\\eta (\alpha ,\beta ,t)\end{pmatrix}}.}$$

El vector normal unitario es entonces${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}={\boldsymbol {n}}/\|{\boldsymbol {n}}\|,}$con${\displaystyle \|{\boldsymbol {n}}\|}$la norma de${\displaystyle {\boldsymbol {n}}.}$