Deriva de Stokes

La deriva de Stokes se produce en olas de aguas profundas , con una longitud de onda de aproximadamente el doble de la profundidad del agua.

La deriva de Stokes se produce en olas de aguas poco profundas, con una longitud de onda mucho mayor que la profundidad del agua.

Los círculos rojos representan las posiciones actuales de partículas sin masa, que se mueven con la velocidad del flujo . La línea azul claro muestra la trayectoria de estas partículas, y los círculos azules claros la posición de la partícula después de cada período de onda . Los puntos blancos son partículas de fluido, también seguidas en el tiempo. En los casos mostrados aquí, la velocidad horizontal euleriana media por debajo del valle de la onda es cero. Nótese que el período de onda , experimentado por una partícula de fluido cerca de la superficie libre , es diferente del período de onda en una posición horizontal fija (como indican los círculos azules claros). Esto se debe al desplazamiento Doppler .

En dinámica de fluidos , para un movimiento ondulatorio puro , la velocidad de deriva de Stokes es la velocidad promedio al seguir una porción de fluido específica mientras se desplaza con el flujo del fluido . Por ejemplo, una partícula que flota en la superficie libre de las olas de agua experimenta una velocidad de deriva de Stokes neta en la dirección de propagación de la ola .

En términos más generales, la velocidad de deriva de Stokes es la diferencia entre la velocidad de flujo lagrangiana promedio de una porción de fluido y la velocidad de flujo euleriana promedio del fluido en una posición fija. Este fenómeno no lineal recibe su nombre de George Gabriel Stokes , quien derivó expresiones para esta deriva en su estudio de las olas del agua de 1847 .

La deriva de Stokes es la diferencia entre las posiciones finales, tras un intervalo de tiempo predefinido (generalmente un periodo de onda ), según se describa en coordenadas lagrangianas y eulerianas . La posición final en la descripción lagrangiana se obtiene siguiendo una parcela de fluido específica durante el intervalo de tiempo. La posición final correspondiente en la descripción euleriana se obtiene integrando la velocidad del flujo en una posición fija —igual a la posición inicial en la descripción lagrangiana— durante el mismo intervalo de tiempo.

La velocidad de deriva de Stokes es igual a la deriva de Stokes dividida por el intervalo de tiempo considerado. A menudo, la velocidad de deriva de Stokes se denomina simplemente deriva de Stokes. La deriva de Stokes puede ocurrir en todos los casos de flujo oscilatorio que son inhomogéneos en el espacio. Por ejemplo, en las olas del agua , las mareas y las ondas atmosféricas .

En la descripción lagrangiana , las parcelas de fluido pueden desplazarse lejos de sus posiciones iniciales. En consecuencia, la definición inequívoca de una velocidad lagrangiana media y una velocidad de deriva de Stokes, que puedan atribuirse a una posición fija determinada, no es una tarea trivial. Sin embargo, la teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre, de 1978 , proporciona una descripción inequívoca de este tipo. ^{[ 2 ]}

La deriva de Stokes es importante para la transferencia de masa de diversos tipos de materiales y organismos mediante flujos oscilatorios. Juega un papel crucial en la generación de circulaciones de Langmuir . ^{[ 3 ]} Para ondas de agua no lineales y periódicas , se han calculado y tabulado resultados precisos sobre la deriva de Stokes. ^{[ 4 ]}

El movimiento lagrangiano de una parcela de fluido con vector de posición x = ξ ( α ,  t) en coordenadas eulerianas viene dado por ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial t}}=\mathbf {u} {\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )},}$

dónde

∂ ξ /∂ t es la derivada parcial de ξ ( α , t ) con respecto a t ,

ξ ( α , t ) es el vector de posición lagrangiano de una parcela de fluido,

u ( x , t ) es la velocidad euleriana ,

x es el vector de posición en el sistema de coordenadas eulerianas ,

α es el vector de posición en el sistema de coordenadas lagrangianas ,

Es hora .​

A menudo, las coordenadas lagrangianas α se eligen para que coincidan con las coordenadas eulerianas x en el tiempo inicial t = t ₀ : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t_{0})={\boldsymbol {\alpha }}.}$

Si el valor promedio de una cantidad se denota con una barra superior, entonces el vector de velocidad euleriano promedio ū _E y el vector de velocidad lagrangiano promedio ū _L son:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}&={\overline {\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}},\\{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}&={\overline {{\dot {\boldsymbol {\xi }}}({\boldsymbol {\alpha }},t)}}={\overline {\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial t}}\right)}}={\overline {{\boldsymbol {u}}{\big (}{\boldsymbol {\xi }}({\boldsymbol {\alpha }},t),t{\big )}}}.\end{aligned}}}$

Se pueden utilizar diferentes definiciones de la media , dependiendo del tema de estudio (véase la teoría ergódica ):

• promedio de tiempo ,
• promedio espacial ,
• promedio de conjunto ,
• promedio de fase .

La velocidad de deriva de Stokes ū _S se define como la diferencia entre la velocidad euleriana promedio y la velocidad lagrangiana promedio: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{\text{S}}={\bar {\mathbf {u} }}_{\text{L}}-{\bar {\mathbf {u} }}_{\text{E}}.}$

En muchas situaciones, la asignación de cantidades promedio desde una posición euleriana x a una posición lagrangiana α correspondiente constituye un problema. Dado que una porción de fluido con etiqueta α recorre una trayectoria con múltiples posiciones eulerianas x , no es posible asignar α a una única x . La teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre (1978) proporciona una base matemáticamente sólida para una asignación inequívoca entre cantidades lagrangianas y eulerianas promedio .

Para la velocidad euleriana como una onda monocromática de cualquier naturaleza en un medio continuo:${\displaystyle u={\hat {u}}\sin(kx-\omega t),}$uno se obtiene fácilmente mediante la teoría de perturbaciones – con ${\displaystyle k{\hat {u}}/\omega }$como un parámetro pequeño – para la posición de la partícula ${\displaystyle x=\xi (\xi _{0},t)}$:

${\displaystyle {\dot {\xi }}=u(\xi ,t)={\hat {u}}\sin(k\xi -\omega t),}$

${\displaystyle \xi (\xi _{0},t)\approx \xi _{0}+{\frac {\hat {u}}{\omega }}\cos(k\xi _{0}-\omega t)-{\frac {1}{4}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega ^{2}}}\sin 2(k\xi _{0}-\omega t)+{\frac {1}{2}}{\frac {k{\hat {u}}^{2}}{\omega }}t.}$

Aquí, el último término describe la velocidad de deriva de Stokes.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}k{\hat {u}}^{2}/\omega .}$^{[ 7 ]}

La deriva de Stokes fue formulada para olas de agua por George Gabriel Stokes en 1847. Para simplificar, se considera el caso de agua infinitamente profunda, con propagación lineal de una onda sinusoidal en la superficie libre de una capa de fluido: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t),}$

dónde

η es la elevación de la superficie libre en la dirección z (metros),

a es la amplitud de la onda (metros),

k es el número de onda : k = 2 π / λ ( radianes por metro),

ω es la frecuencia angular : ω = 2 π / T ( radianes por segundo ),

x es la coordenada horizontal y la dirección de propagación de la onda (metros),

z es la coordenada vertical , con la dirección positiva de z apuntando hacia afuera de la capa de fluido (metros),

λ es la longitud de onda (metros),

T es el período de la onda ( segundos ).

Como se deriva a continuación, la componente horizontal ū _S ( z ) de la velocidad de deriva de Stokes para olas de aguas profundas es aproximadamente: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\bar {u}}_{\text{S}}\approx \omega ka^{2}{\text{e}}^{2kz}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}}{\lambda T}}{\text{e}}^{4\pi z/\lambda }.}$

Como puede observarse, la velocidad de deriva de Stokes ū _S es una magnitud no lineal en función de la amplitud de la onda a . Además, la velocidad de deriva de Stokes decae exponencialmente con la profundidad: a una profundidad de un cuarto de longitud de onda, z = − λ /4, es aproximadamente el 4% de su valor en la superficie libre media , z  =  0.

• Fuerza de Coriolis-Stokes
• Deriva de Darwin
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas
• Derivado del material