Longitud de onda

Una onda estacionaria es un movimiento ondulatorio que permanece en un solo lugar. Una onda estacionaria sinusoidal incluye puntos fijos sin movimiento, llamados nodos , y su longitud de onda es el doble de la distancia entre nodos.

La figura superior muestra tres ondas estacionarias en una caja. Se considera que las paredes de la caja requieren que la onda tenga nodos en ellas (un ejemplo de condiciones de contorno ), lo que determina las longitudes de onda permitidas. Por ejemplo, para una onda electromagnética, si la caja tiene paredes conductoras ideales, la condición de que haya nodos en las paredes se debe a que estas no pueden soportar un campo eléctrico tangencial, lo que obliga a que la onda tenga amplitud cero en la pared.

La onda estacionaria puede considerarse como la suma de dos ondas sinusoidales viajeras con velocidades opuestas. ^{[ 8 ]} En consecuencia, la longitud de onda, el período y la velocidad de la onda se relacionan de la misma manera que en una onda viajera. Por ejemplo, la velocidad de la luz puede determinarse a partir de la observación de ondas estacionarias en una caja metálica que contiene un vacío ideal.

Las ondas sinusoidales viajeras se representan a menudo matemáticamente en términos de su velocidad v (en la dirección x), frecuencia f y longitud de onda λ de la siguiente manera: $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$$ donde y es el valor de la onda en cualquier posición x y tiempo t , y A es la amplitud de la onda. También se suelen expresar en términos del número de onda k (2π veces el recíproco de la longitud de onda) y la frecuencia angular ω (2π veces la frecuencia) como: $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$$ en la que la longitud de onda y el número de onda se relacionan con la velocidad y la frecuencia de la siguiente manera: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$$ o $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$$

En la segunda forma dada anteriormente, la fase ( kx − ωt ) se generaliza a menudo a ( k ⋅ r − ωt ) , reemplazando el número de onda k con un vector de onda que especifica la dirección y el número de onda de una onda plana en el espacio tridimensional , parametrizada por el vector de posición r . En ese caso, el número de onda k , la magnitud de k , sigue estando en la misma relación con la longitud de onda que se mostró anteriormente, donde v se interpreta como la velocidad escalar en la dirección del vector de onda. La primera forma, que utiliza la longitud de onda recíproca en la fase, no se generaliza tan fácilmente a una onda en una dirección arbitraria.

También son comunes las generalizaciones a sinusoides de otras fases y a exponenciales complejas; véase onda plana . La convención típica de usar la fase coseno en lugar de la fase seno al describir una onda se basa en el hecho de que el coseno es la parte real de la exponencial compleja en la onda. $${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$$

La velocidad de una onda depende del medio en el que se propaga. En particular, la velocidad de la luz en un medio es menor que en el vacío , lo que significa que la misma frecuencia corresponderá a una longitud de onda más corta en el medio que en el vacío, como se muestra en la figura de la derecha.

Este cambio de velocidad al entrar en un medio provoca refracción , o un cambio en la dirección de las ondas que encuentran la interfaz entre los medios en un ángulo. ^{[ 9 ]} Para las ondas electromagnéticas , este cambio en el ángulo de propagación se rige por la ley de Snell .

La velocidad de la onda en un medio no solo puede diferir de la de otro, sino que además suele variar con la longitud de onda. Por consiguiente, el cambio de dirección al entrar en un medio diferente varía con la longitud de onda de la onda.

Para las ondas electromagnéticas, la velocidad en un medio está regida por su índice de refracción según $${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _ {0})}},}$$ donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n ( λ ₀ ) es el índice de refracción del medio a la longitud de onda λ ₀ , donde este último se mide en el vacío en lugar de en el medio. La longitud de onda correspondiente en el medio es $${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$$

Cuando se mencionan longitudes de onda de radiación electromagnética, generalmente se hace referencia a la longitud de onda en el vacío, a menos que se especifique la longitud de onda en algún otro medio. En acústica, donde un medio es esencial para la existencia de las ondas, el valor de la longitud de onda se proporciona para un medio específico.

La variación de la velocidad de la luz con la longitud de onda se conoce como dispersión , y también es responsable del fenómeno conocido por el cual la luz se separa en sus colores componentes mediante un prisma . La separación ocurre cuando el índice de refracción dentro del prisma varía con la longitud de onda, de modo que las diferentes longitudes de onda se propagan a velocidades distintas dentro del prisma, lo que provoca que se refracten en ángulos diferentes. La relación matemática que describe cómo varía la velocidad de la luz dentro de un medio con la longitud de onda se conoce como relación de dispersión .

Medios no uniformes

La longitud de onda puede ser un concepto útil incluso si la onda no es periódica en el espacio. Por ejemplo, en una ola oceánica que se aproxima a la costa, como se muestra en la figura, la ola entrante ondula con una longitud de onda local variable que depende en parte de la profundidad del fondo marino en comparación con la altura de la ola. El análisis de la ola puede basarse en la comparación de la longitud de onda local con la profundidad local del agua. ^{[ 10 ]}

Las ondas sinusoidales en el tiempo, pero que se propagan a través de un medio cuyas propiedades varían con la posición (un medio no homogéneo ), pueden propagarse a una velocidad que también varía con la posición y, por lo tanto, no ser sinusoidales en el espacio. La figura de la derecha muestra un ejemplo. A medida que la onda disminuye su velocidad, la longitud de onda se acorta y la amplitud aumenta; después de alcanzar un punto de máxima respuesta, la longitud de onda corta se asocia con una alta pérdida y la onda se extingue.

El análisis de ecuaciones diferenciales de tales sistemas se realiza a menudo de forma aproximada, utilizando el método WKB (también conocido como método de Liouville-Green ). El método integra la fase a través del espacio utilizando un número de onda local , que puede interpretarse como una "longitud de onda local" de la solución en función del tiempo y el espacio. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Este método trata el sistema localmente como si fuera uniforme con las propiedades locales; en particular, la velocidad de onda local asociada a una frecuencia es lo único necesario para estimar el número de onda o longitud de onda local correspondiente. Además, el método calcula una amplitud que cambia lentamente para satisfacer otras restricciones de las ecuaciones o del sistema físico, como la conservación de la energía en la onda.

Cristales

Las ondas en sólidos cristalinos no son continuas, ya que están compuestas por vibraciones de partículas discretas dispuestas en una red regular. Esto produce aliasing porque una misma vibración puede considerarse que tiene diversas longitudes de onda, como se muestra en la figura. ^{[ 13 ]} Las descripciones que utilizan más de una de estas longitudes de onda son redundantes; por convención, se elige la longitud de onda más larga que se ajusta al fenómeno. El rango de longitudes de onda suficiente para proporcionar una descripción de todas las ondas posibles en un medio cristalino corresponde a los vectores de onda confinados a la zona de Brillouin . ^{[ 14 ]}

Esta indeterminación de la longitud de onda en los sólidos es importante para el análisis de fenómenos ondulatorios como las bandas de energía y las vibraciones de la red cristalina . Matemáticamente, es equivalente al aliasing de una señal muestreada a intervalos discretos.

Los paquetes de ondas localizados , "ráfagas" de acción ondulatoria donde cada paquete de ondas viaja como una unidad, encuentran aplicación en muchos campos de la física. Un paquete de ondas tiene una envolvente que describe la amplitud total de la onda; dentro de la envolvente, la distancia entre picos o valles adyacentes se denomina a veces longitud de onda local . ^{[ 21 ] [ 22 ]} En la figura se muestra un ejemplo. En general, la envolvente del paquete de ondas se mueve a una velocidad diferente a la de las ondas constituyentes. ^{[ 23 ]}

Mediante el análisis de Fourier , los paquetes de ondas pueden analizarse en sumas infinitas (o integrales) de ondas sinusoidales de diferentes números de onda o longitudes de onda. ^{[ 24 ]}

Louis de Broglie postuló que todas las partículas con un valor específico de momento p tienen una longitud de onda λ = h / p , donde h es la constante de Planck . Esta hipótesis fue la base de la mecánica cuántica . Hoy en día, esta longitud de onda se denomina longitud de onda de De Broglie . Por ejemplo, los electrones en una pantalla CRT tienen una longitud de onda de De Broglie de aproximadamente10 ⁻¹³  m . Para evitar que la función de onda de dicha partícula se extienda por todo el espacio, de Broglie propuso utilizar paquetes de ondas para representar partículas localizadas en el espacio. ^{[ 25 ]} La dispersión espacial del paquete de ondas y la dispersión de los números de onda de las sinusoides que lo componen corresponden a las incertidumbres en la posición y el momento de la partícula, cuyo producto está acotado por el principio de incertidumbre de Heisenberg . ^{[ 24 ]}

Cuando las formas de onda sinusoidales se suman, pueden reforzarse mutuamente (interferencia constructiva) o cancelarse mutuamente (interferencia destructiva) dependiendo de su fase relativa. Este fenómeno se utiliza en el interferómetro . Un ejemplo sencillo es un experimento de Young en el que la luz pasa a través de dos rendijas . ^{[ 26 ]} Como se muestra en la figura, la luz pasa a través de dos rendijas y brilla sobre una pantalla. La trayectoria de la luz hacia una posición en la pantalla es diferente para las dos rendijas y depende del ángulo θ que forma la trayectoria con la pantalla. Si suponemos que la pantalla está lo suficientemente lejos de las rendijas (es decir, s es grande en comparación con la separación de las rendijas d ), entonces las trayectorias son casi paralelas y la diferencia de trayectoria es simplemente d sin θ . En consecuencia, la condición para la interferencia constructiva es: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$$ donde m es un número entero, y para interferencia destructiva es: $${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$$

Por lo tanto, si se conoce la longitud de onda de la luz, la separación de las rendijas se puede determinar a partir del patrón de interferencia o las franjas , y viceversa .

Para múltiples rendijas, el patrón es ^{[ 28 ].}$${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$$ donde q es el número de rendijas y g es la constante de la rejilla. El primer factor, I₁ , es el resultado de una sola rendija, que modula el segundo factor _, el cual varía más rápidamente y depende del número de rendijas y su separación. En la figura, _I₁ se ha establecido en la unidad, una aproximación muy burda.

El efecto de la interferencia es redistribuir la luz, de modo que la energía contenida en la luz no se altera, solo cambia el lugar donde aparece. ^{[ 29 ]}

La noción de diferencia de trayectoria e interferencia constructiva o destructiva utilizada anteriormente para el experimento de la doble rendija se aplica también a la visualización de una sola rendija de luz interceptada en una pantalla. El resultado principal de esta interferencia es la dispersión de la luz desde la rendija estrecha, creando una imagen más amplia en la pantalla. Esta distribución de la energía de la onda se denomina difracción .

Se distinguen dos tipos de difracción, dependiendo de la separación entre la fuente y la pantalla: la difracción de Fraunhofer o difracción de campo lejano a grandes separaciones y la difracción de Fresnel o difracción de campo cercano a separaciones cortas.

En el análisis de la rendija simple, se considera el ancho no nulo de la misma, y ​​cada punto de la abertura se interpreta como la fuente de una contribución al haz de luz ( ondículas de Huygens ). En la pantalla, la luz que llega desde cada posición dentro de la rendija tiene una longitud de trayectoria diferente, aunque posiblemente la diferencia sea muy pequeña. En consecuencia, se produce interferencia.

En el patrón de difracción de Fraunhofer suficientemente lejos de una sola rendija, dentro de una aproximación de ángulo pequeño , la dispersión de intensidad S está relacionada con la posición x a través de una función sinc al cuadrado : ^{[ 30 ]}$${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\$$ ;} con $${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$$ donde L es el ancho de la rendija, R es la distancia del patrón (en la pantalla) a la rendija y λ es la longitud de onda de la luz utilizada. La función S tiene ceros donde u es un entero distinto de cero, donde son valores de x a una separación proporcional a la longitud de onda.

La difracción es la limitación fundamental del poder de resolución de los instrumentos ópticos, como los telescopios (incluidos los radiotelescopios ) y los microscopios . ^{[ 31 ]} Para una apertura circular, el punto de imagen limitado por difracción se conoce como disco de Airy ; la distancia x en la fórmula de difracción de una sola rendija se reemplaza por la distancia radial r y el seno se reemplaza por 2 J ₁ , donde J ₁ es una función de Bessel de primer orden . ^{[ 32 ]}

El tamaño espacial resoluble de los objetos vistos a través de un microscopio está limitado según el criterio de Rayleigh , el radio al primer nulo del disco de Airy, a un tamaño proporcional a la longitud de onda de la luz utilizada y dependiendo de la apertura numérica : ^{[ 33 ]}$${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}$$ donde la apertura numérica se define como${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$donde θ es el semiángulo del cono de rayos aceptado por el objetivo del microscopio .

El tamaño angular de la porción brillante central (radio al primer nulo del disco de Airy ) de la imagen difractada por una apertura circular, una medida que se usa comúnmente para telescopios y cámaras, es: ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \delta =1,22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$$ donde λ es la longitud de onda de las ondas que se enfocan para la formación de imágenes, D el diámetro de la pupila de entrada del sistema de imágenes, en las mismas unidades, y la resolución angular δ está en radianes.

Al igual que ocurre con otros patrones de difracción, el patrón se escala en proporción a la longitud de onda, por lo que las longitudes de onda más cortas pueden dar lugar a una mayor resolución.