onda cnoidal

Adimensionalización

Todas las magnitudes pueden adimensionalizarse utilizando la aceleración gravitatoria g y la profundidad del agua h :

${\displaystyle {\tilde {\eta }}={\frac {\eta }{h}},}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {x}{h}}}$ y ${\displaystyle {\tilde {t}}={\sqrt {\frac {g}{h}}}\,t.}$

La forma adimensional resultante de la ecuación de KdV es ^{[ 17 ].}

${\displaystyle \partial _{\tilde {t}}{\tilde {\eta }}+\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {3}{2}}\,{\tilde {\eta }}\,\partial _{\tilde {x}}{\tilde {\eta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{\tilde {x}}^{3}{\tilde {\eta }}=0,}$

En el resto, se omitirán las tildes para facilitar la notación.

Relación con un formulario estándar

El formulario

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\phi +6\,\phi \ \partial _{\hat {x}}\phi +\partial _{\hat {x}}^{3}\phi =0}$

se obtiene a través de la transformación

${\displaystyle {\hat {t}}={\tfrac {1}{6}}\,t,\,}$ ${\displaystyle {\hat {x}}=xt\,}$ y ${\displaystyle \phi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,\,}$

pero esta forma no se utilizará más en esta derivación.

Ondas propagantes de forma fija

Se buscan soluciones de ondas periódicas que se propaguen con velocidad de fase c . Estas ondas permanentes deben ser de las siguientes características:

${\displaystyle \eta =\eta (\xi )\,}$ con${\displaystyle \xi }$la fase de la onda : ${\displaystyle \xi =x-c\,t.\,}$

En consecuencia, las derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo se convierten en:

${\displaystyle \partial _{x}\eta =\eta '\,}$ y ${\displaystyle \partial _{t}\eta =-c\,\eta ',\,}$

donde η ′ denota la derivada ordinaria de η ( ξ ) con respecto al argumento ξ .

Utilizando estos términos en la ecuación de KdV, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria de tercer orden : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\,\eta '''+\left(1-c\right)\,\eta '+{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\eta '=0.\,}$

Integración a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Esto se puede integrar una vez para obtener: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\eta ''+\left(1-c\right)\,\eta +{\tfrac {3}{4}}\,\eta ^{2}={\tfrac {1}{4}}r,\,}$

con r una constante de integración . Después de multiplicar por 4 η ′ y volver a integrar ^{[ 18 ]} 

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\left(\eta '\right)^{2}+2\,\left(1-c\right)\,\eta ^{2}+\eta ^{3}=r\,\eta +s,\,}$

con otra constante de integración. Esto se escribe de la forma

El polinomio cúbico f ( η ) se vuelve negativo para valores positivos grandes de η y positivo para valores negativos grandes de η . Dado que la elevación de la superficie ^η es real , las constantes de integración r y s también _son reales . El polinomio f se puede expresar en términos de sus raíces η₁ , η₂ y _η₃ : ^[ ₇ ^]

Dado que f ( η ) es real, las tres raíces η₁ , η₂ y _η₃ son reales, o bien una es real y las dos restantes son _{conjugadas complejas} . En este último caso, con una sola raíz real, existe una única elevación η en la que f ( η ) es cero. Y, por consiguiente, también una única elevación en la que la pendiente de la superficie η ′ es cero. Sin embargo, buscamos soluciones ondulatorias, con dos elevaciones —la cresta y el valle de la onda (física) — donde la pendiente de la superficie es cero. La conclusión es que las tres raíces de f ( η ) deben ser reales.

Sin pérdida de generalidad, se supone que las tres raíces reales están ordenadas de la siguiente manera:

${\displaystyle \eta _{1}\geq \eta _{2}\geq \eta _{3}.\,}$

Solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Ahora bien, de la ecuación ( _A ) se puede ver que solo existen valores reales para la pendiente si f ( η ) es positivo. Esto corresponde a η₂  ≤ η ≤ η₁ , que por lo tanto es el rango entre el cual oscila la elevación _de la superficie, véase también la gráfica de f ( η ). Esta condición se satisface con la siguiente representación de la elevación η ( ξ ): ^{[ 7 ]}  

de acuerdo con el carácter periódico de las soluciones de onda buscadas y con ψ ( ξ ) la fase de las funciones trigonométricas seno y coseno. A partir de esta forma, se pueden obtener las siguientes descripciones de varios términos en las ecuaciones ( A ) y ( B ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta -\eta _{1}&=-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{2}&=+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\cos ^{2}\,\psi (\xi ),\\\eta -\eta _{3}&=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),&&{\text{and}}\\\eta '&=-2\,\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin \,\psi (\xi )\;\cos \,\psi (\xi )\;\;\psi '(\xi )&&{\text{with}}\quad \psi '(\xi )={\frac {{\text{d}}\psi (\xi )}{{\text{d}}\xi }}.\end{aligned}}}$

Utilizando estos en las ecuaciones ( A ) y ( B ), se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria que relaciona ψ y ξ , después de algunas manipulaciones: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,\left({\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}\xi }}\right)^{2}=\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\;\sin ^{2}\,\psi (\xi ),}$

con el lado derecho aún positivo, ya que η ₁  − η ₃ ≥ η ₁ − η ₂ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ψ ( ξ ) es una función monótona, ya que f ( η ) no tiene ceros en el intervalo η ₂ < η < η ₁ . Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria anterior también se puede resolver en términos de que ξ ( ψ ) sea una función de ψ : ^{[ 7 ]}         

${\displaystyle {\frac {1}{\Delta }}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}=\pm \,{\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\,\psi }}},}$

con:

${\displaystyle \Delta ^{2}={\frac {4}{3}}\,{\frac {1}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$ y ${\displaystyle m={\frac {\eta _{1}-\eta _{2}}{\eta _{1}-\eta _{3}}},}$

donde m es el llamado parámetro elíptico, ^{[ 19 ] [ 20 ]} que satisface 0  ≤ m ≤ 1 (porque η ₃ ≤ η ₂ ≤ η ₁ ). Si se elige ξ = 0 en la cresta de la onda η (0) = η ₁ la integración da ^{[ 7 ]}           

donde F ( ψ | m ) es la integral elíptica incompleta de primera especie . Las funciones elípticas de Jacobi cn y sn son inversas de F ( ψ | m ) dadas por

${\displaystyle \cos \,\psi =\operatorname {cn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)}$ y ${\displaystyle \sin \,\psi =\operatorname {sn} \left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Con el uso de la ecuación ( C ), se encuentra la solución de onda cnoidal resultante de la ecuación de KdV ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Lo que queda es determinar los parámetros: η ₁ , η ₂ , Δ y m .

Relaciones entre los parámetros de las ondas cnoidales

Primero, dado que η ₁ es la elevación de la cresta y η ₂ es la elevación del valle, es conveniente introducir la altura de la ola , definida como H  = η ₁ − η ₂ . En consecuencia, encontramos para m y para Δ :   

${\displaystyle m={\frac {H}{\eta _{1}-\eta _{3}}}}$ y ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}}{m}}={\frac {4}{3\,H}}}$ entonces ${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m}{H}}}}.}$

La solución de onda cnoidal se puede escribir como:

${\displaystyle \eta (\xi )=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right).}$

Segundo , el valle está ubicado en ψ  = 1 / 2π , por lo que la distancia entre ξ = 0 y ξ = 1 / 2λ es, con λ la longitud de onda , de la ecuación ( D ) :       

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\,\lambda =\Delta \,F\left({\begin{array}{c|c}{\tfrac {1}{2}}\,\pi &m\end{array}}\right)=\Delta \,K(m),}$ donación ${\displaystyle \lambda =2\,\Delta \,K(m)={\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m}{H}}}}\;K(m),}$

donde K ( m ) es la integral elíptica completa de primera especie . Tercero, dado que la onda oscila alrededor de la profundidad media del agua, el valor promedio de η ( ξ ) tiene que ser cero. Por lo tanto ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{0}^{\lambda }\eta (\xi )\;{\text{d}}\xi =2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\lambda }\left[\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right]\;{\text{d}}\xi \\&=2\,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\Bigl [}\eta _{2}+\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\cos ^{2}\,\psi {\Bigr ]}\,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-\left(\eta _{1}-\eta _{2}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }{\frac {\eta _{1}-m\,\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,\sin ^{2}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi =2\,\Delta \,\int _{0}^{{\tfrac {1}{2}}\pi }\left[{\frac {\eta _{3}}{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}\right]\;{\text{d}}\psi \\&=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+\left(\eta _{1}-\eta _{3}\right)\,E(m){\Bigr ]}=2\,\Delta \,{\Bigl [}\eta _{3}\,K(m)+{\frac {H}{m}}\,E(m){\Bigr ]},\end{aligned}}}$

donde E ( m ) es la integral elíptica completa de segundo tipo . Las siguientes expresiones para η ₁ , η ₂ y η ₃ en función del parámetro elíptico m y la altura de la ola H resultan: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \eta _{3}=-\,{\frac {H}{m}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}},}$ ${\displaystyle \eta _{1}={\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)}$ y ${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Cuarto, a partir de las ecuaciones ( _A ⁾ y ( B ) se puede establecer una relación entre la velocidad de fase _c y las raíces η1 , η2 y η3 : ^[ ₇ ^]

${\displaystyle c=1+{\tfrac {1}{2}}\,\left(\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}\right)=1+{\frac {H}{m}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right).}$

Los cambios relativos en la velocidad de fase se muestran en la figura siguiente. Como se puede observar, para m  >  0,96 (es decir, para 1  − m < 0,04), la velocidad de fase aumenta con la altura de la ola H. Esto corresponde a olas más largas y no lineales. El cambio no lineal en la velocidad de fase, para un m fijo , es proporcional a la altura de la ola H. Nótese que la velocidad de fase c está relacionada con la longitud de onda λ y el período τ de la siguiente manera:   

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{\tau }}.}$

Resumen de la solución

Todas las cantidades aquí se darán en sus formas dimensionales, como son válidas para las ondas de gravedad superficiales antes de la adimensionalización .

Derivación

La derivación es análoga a la de la ecuación de KdV. ^{[ 22 ]} La ecuación BBM adimensional es, adimensionalizada usando la profundidad media del agua h y la aceleración gravitatoria g : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \partial _{t}\eta +\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Esto se puede convertir al formato estándar.

${\displaystyle \partial _{\hat {t}}\varphi +\partial _{\hat {x}}\varphi +\varphi \,\partial _{\hat {x}}\varphi -\partial _{\hat {t}}\,\partial _{\hat {x}}^{2}\varphi =0\,}$

a través de la transformación:

${\displaystyle {\hat {t}}={\sqrt {6}}\,t,}$ ${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {6}}\,x}$ y ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {3}{2}}\,\eta ,}$

pero este formulario estándar no se utilizará aquí.

De forma análoga a la derivación de la solución de onda cnoidal para la ecuación de KdV, se consideran soluciones de onda periódicas η ( ξ ), con ξ  = x − ct. Entonces, la ecuación BBM se convierte en una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, que se puede integrar dos veces para obtener: 

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,c\,\left(\eta '\right)^{2}=f(\eta )\,}$ con ${\displaystyle f(\eta )=-\eta ^{3}+2\,\left(c-1\right)\,\eta ^{2}+r\,\eta +s.\,}$

Que solo difiere de la ecuación de KdV a través del factor c delante de ( η ′ ) ² en el lado izquierdo. A través de una transformación de coordenadas β  = ξ /   ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {c}}}$Se puede eliminar el factor c , obteniendo así la misma ecuación diferencial ordinaria de primer orden tanto para la ecuación de KdV como para la de BBM. Sin embargo, aquí se utiliza la forma dada en la ecuación anterior. Esto da como resultado una formulación diferente para Δ a la encontrada para la ecuación de KdV:

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,c}{H}}}}.}$

La relación de la longitud de onda λ , en función de H y m , se ve afectada por este cambio en${\displaystyle \Delta$ :}

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,c}{H}}}}\;K(m).}$

Por lo demás, la deducción es análoga a la de la ecuación de KdV y no se repetirá aquí.

Reanudar

Los resultados se presentan en forma dimensional, para olas de agua en una capa de fluido de profundidad h .

La función elíptica de Jacobi cn se puede expandir en una serie de Fourier ^{[ 26 ].}

${\displaystyle \operatorname {cn} (z|m)={\frac {\pi }{{\sqrt {m}}\,K(m)}}\,\sum _{n=0}^{\infty }\,\operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)\;\cos \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,z}{2\,K(m)}}\right).}$

K ′ ( m ) se conoce como el cuarto de período imaginario, mientras que K ( m ) también se denomina cuarto de período real de la función elíptica de Jacobi. Se relacionan mediante: K ′ ( m )  = K (1− m ) ^{[ 27 ]} 

Dado que el interés aquí radica en la altura de ola pequeña, correspondiente a un parámetro pequeño m  ≪  1, es conveniente considerar la serie de Maclaurin para los parámetros relevantes, comenzando con las integrales elípticas completas K y E : ^{[ 28 ] [ 29 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,m+\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,m^{2}+\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,m^{3}+\cdots \right],\\E(m)&={\frac {\pi }{2}}\,\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\,{\frac {m}{1}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3}{2\,\cdot \,4}}\right)^{2}\,{\frac {m^{2}}{3}}-\left({\frac {1\,\cdot \,3\,\cdot \,5}{2\,\cdot \,4\,\cdot \,6}}\right)^{2}\,{\frac {m^{3}}{5}}-\cdots \right].\end{aligned}}}$

Entonces, los términos de coseno hiperbólico, que aparecen en la serie de Fourier, se pueden expandir para m  ≪  1 pequeño de la siguiente manera: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \operatorname {sech} \left((2n+1)\,{\frac {\pi \,K'(m)}{2\,K(m)}}\right)=2\,{\frac {q^{n+{\tfrac {1}{2}}}}{1+q^{2n+1}}}}$ con el nombre q dado por ${\displaystyle q=\exp \left(-\pi \,{\frac {K'(m)}{K(m)}}\right).}$

El nombre q tiene el siguiente comportamiento para valores pequeños de m : ^{[ 30 ]}

${\displaystyle q={\frac {m}{16}}+8\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{2}+84\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{3}+992\,\left({\frac {m}{16}}\right)^{4}+\cdots .}$

En consecuencia, las amplitudes de los primeros términos de la serie de Fourier son:

Así pues, para m  ≪  1 la función elíptica de Jacobi tiene los primeros términos de la serie de Fourier:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} \,(z|m)&={\Bigl (}1-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {9}{16}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{256}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,3\,\alpha \,z\;+\;\cdots ,\end{aligned}}}$ con ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\pi }{2\,K(m)}}.}$

Y su plaza es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} ^{2}\,(z|m)&={\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{16}}\,m-{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,2\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,4\,\alpha \,z\;\\&+\;{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots &&{\Bigr )}\;\cos \,6\,\alpha \,z\;+\;\cdots .\end{aligned}}}$

La superficie libre η ( x , t ) de la onda cnoidal se expresará en su serie de Fourier, para valores pequeños del parámetro elíptico m . Primero, observe que el argumento de la función cn es ξ / Δ , y que la longitud de onda λ  =  2 Δ K ( m ), por lo que:  

${\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi \,\xi }{K(m)}}\,{\frac {\xi }{\Delta }}=2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}.}$ 

Además, la elevación media de la superficie libre es cero. Por lo tanto, la elevación de la superficie de ondas de pequeña amplitud es

${\displaystyle \eta (x,t)=\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {1}{16}}\,m+{\tfrac {1}{32}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,2\theta \;+\;H\,{\Bigl (}{\tfrac {3}{512}}\,m^{2}+\cdots {\Bigr )}\,\cos \,3\theta \;+\;\cdots .}$

Además, la longitud de onda λ se puede expandir en una serie de Maclaurin del parámetro elíptico m , de manera diferente para la ecuación de KdV y la ecuación BBM, pero esto no es necesario para el propósito actual.

La velocidad de fase de una onda cnoidal, tanto para la ecuación de KdV como para la de BBM, viene dada por: ^{[ 7 ] [ 22 ]}

${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right].}$

En esta formulación, la velocidad de fase es una función de la altura de onda H y del parámetro m . Sin embargo, para determinar la propagación de ondas de altura infinitesimal, es necesario determinar el comportamiento de la velocidad de fase a longitud de onda constante λ en el límite en que el parámetro m tiende a cero. Esto se puede hacer utilizando la ecuación para la longitud de onda, que es diferente para la ecuación de KdV y BBM: ^{[ 7 ] [ 22 ]}

Introduciendo el número de onda relativo κh :

${\displaystyle \kappa \,h={\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,h,}$

y utilizando las ecuaciones anteriores para la velocidad de fase y la longitud de onda, el factor H  / m en la velocidad de fase puede ser reemplazado por κh y m . Las velocidades de fase resultantes son: 

El comportamiento límite para valores pequeños de m puede analizarse mediante el uso de la serie de Maclaurin para K ( m ) y E ( m ), ^{[ 28 ]} lo que resulta en la siguiente expresión para el factor común en ambas fórmulas para c :

${\displaystyle \gamma ={\frac {4}{3\,\pi ^{2}}}\,K^{2}(m)\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-\,{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)=-{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{2}+{\tfrac {1}{64}}\,m^{3}+\cdots ,}$

Así, en el límite m  →  0, el factor γ  →  − ⁠ 1 / 6 ⁠ . El valor límite de la velocidad de fase para m ≪ 1 resulta directamente.