Número de Froude

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r₀ y una velocidad característica u₀. Estas deben elegirse de manera que todas las variables adimensionales sean de orden uno. De este modo, se obtienen las siguientes _variables adimensionales _:$${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

Sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de momento de Euler y definición del número de Froude: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ y el número de Euler : $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$ Finalmente, las ecuaciones se expresan (con la derivada material y omitiendo ahora los índices):

Las ecuaciones de tipo Cauchy en el límite de Froude alto Fr → ∞ (que corresponde a un campo externo despreciable) se denominan ecuaciones libres . Por otro lado, en el límite de Euler bajo Eu → 0 (que corresponde a una tensión despreciable), la ecuación general de momento de Cauchy se convierte en una ecuación de Burgers no homogénea (aquí hacemos explícita la derivada material ):

Esta es una ecuación de advección pura no homogénea , al igual que la ecuación de Stokes es una ecuación de difusión pura .

La ecuación de momento de Euler es una ecuación de momento de Cauchy, donde la ley de Pascal es la relación constitutiva de tensión: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ en forma lagrangiana adimensional es: $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Las ecuaciones de Euler libres son conservativas. Por lo tanto, el límite de números de Froude altos (campo externo bajo) es notable y puede estudiarse con la teoría de perturbaciones .

La ecuación de momento de Navier-Stokes incompresible es una ecuación de momento de Cauchy donde la ley de Pascal y la ley de Stokes son las relaciones constitutivas de tensión: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ en forma convectiva adimensional es: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$ donde Re es el número de Reynolds . Las ecuaciones de Navier-Stokes libres son disipativas (no conservativas).

En aplicaciones hidrodinámicas marinas, el número de Froude se suele referenciar con la notación Fn y se define como: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$ donde u es la velocidad de flujo relativa entre el mar y el barco, g es en particular la aceleración debida a la gravedad , y L es la eslora del barco a la altura de la línea de flotación, o L _wl en algunas notaciones. Es un parámetro importante con respecto a la resistencia del barco , especialmente en términos de resistencia a la formación de olas .

En el caso de embarcaciones de planeo, donde la longitud de la línea de flotación depende demasiado de la velocidad como para ser significativa, el número de Froude se define mejor como el número de Froude de desplazamiento y la longitud de referencia se toma como la raíz cúbica del desplazamiento volumétrico del casco: $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

Para olas en aguas poco profundas, como tsunamis y saltos hidráulicos , la velocidad característica U es la velocidad media del flujo, promediada sobre la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo. La velocidad de la ola, denominada celeridad c , es igual a la raíz cuadrada de la aceleración gravitatoria g , multiplicada por el área de la sección transversal A , dividida por el ancho de la superficie libre B : $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ Por lo tanto, el número de Froude en aguas poco profundas es: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$ Para secciones transversales rectangulares con profundidad uniforme d , el número de Froude se puede simplificar a: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$ Para Fr < 1 el flujo se denomina flujo subcrítico, y para Fr > 1 el flujo se caracteriza como flujo supercrítico . Cuando Fr ≈ 1 el flujo se denomina flujo crítico .

Al considerar los efectos del viento en estructuras dinámicamente sensibles, como los puentes colgantes, a veces es necesario simular el efecto combinado de la masa vibrante de la estructura con la fuerza fluctuante del viento. En tales casos, debe respetarse el número de Froude. De manera similar, al simular columnas de humo caliente combinadas con viento natural, es necesario escalar el número de Froude para mantener el equilibrio correcto entre las fuerzas de flotación y el momento del viento.

El número de Froude también se ha aplicado en alometría para estudiar la locomoción de animales terrestres, ^{[ 9 ]} incluyendo antílopes ^{[ 10 ]} y dinosaurios. ^{[ 11 ]}

El número de Froude en la ingeniería de hornos rotatorios es un parámetro que caracteriza el equilibrio entre las fuerzas centrífugas causadas por la rotación del horno y las fuerzas gravitacionales que actúan sobre el material del lecho. Se define como: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\omega ^{2}{R}_{i}}{g}}}$$ donde ω es la velocidad angular del horno (en rad/s), R _i es el radio interno del horno y g es la aceleración gravitatoria. Se utiliza para describir el régimen de movimiento del lecho granular, es decir, si los sólidos se deslizan, ruedan, caen en cascada, forman cataratas o son centrifugados hacia la carcasa. Los números de Froude bajos (típicamente Fr < 10 ⁻⁴ ) corresponden a un régimen de deslizamiento o desplome con muy poca mezcla del lecho sólido.

Dado que el movimiento de las partículas rige la mezcla, la transferencia de calor y masa, así como el tiempo de residencia en el horno, el número de Froude es un parámetro de escala clave para los hornos rotatorios. Un número de Froude similar es un buen indicador inicial de un comportamiento de flujo y un perfil de lecho similares en hornos rotatorios de laboratorio, piloto e industriales.

En el estudio de tanques agitados, el número de Froude rige la formación de vórtices superficiales. Dado que la velocidad de la punta del impulsor es ωr ( movimiento circular ), donde ω es la frecuencia del impulsor (generalmente en rpm ) y r es el radio del impulsor (en ingeniería se utiliza con mucha más frecuencia el diámetro), el número de Froude toma la siguiente forma: $${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$ El número de Froude también encuentra una aplicación similar en mezcladores de polvo. De hecho, se utilizará para determinar en qué régimen de mezclado está trabajando la mezcladora. Si Fr<1, las partículas solo se remueven, pero si Fr>1, las fuerzas centrífugas aplicadas al polvo superan la gravedad y el lecho de partículas se fluidiza, al menos en alguna parte de la mezcladora, lo que promueve la mezcla ^{[ 13 ].}

Cuando se utiliza en el contexto de la aproximación de Boussinesq, el número de Froude densimétrico se define como $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ donde g ′ es la gravedad reducida: $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

Los modeladores que desean adimensionalizar la preferencia de velocidad mediante el número de Froude densimétrico suelen preferirlo al número de Richardson , que se encuentra con mayor frecuencia al considerar capas de cizallamiento estratificadas. Por ejemplo, el frente de avance de una corriente de gravedad se mueve con un número de Froude frontal cercano a la unidad.

El número de Froude puede utilizarse para estudiar las tendencias en los patrones de marcha de los animales. En los análisis de la dinámica de la locomoción con patas, una extremidad que camina se suele modelar como un péndulo invertido , donde el centro de masa describe un arco circular centrado en el pie. ^{[ 14 ]} El número de Froude es la relación entre la fuerza centrípeta alrededor del centro de movimiento, el pie, y el peso del animal que camina: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$ donde m es la masa, l es la longitud característica, g es la aceleración debida a la gravedad y v es la velocidad . La longitud característica l puede elegirse según el estudio en cuestión. Por ejemplo, algunos estudios han utilizado la distancia vertical de la articulación de la cadera al suelo, ^{[ 15 ]} mientras que otros han utilizado la longitud total de la pierna. ^{[ 14 ] [ 16 ]}

El número de Froude también se puede calcular a partir de la frecuencia de zancada f de la siguiente manera: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

Si se utiliza la longitud total de la pierna como longitud característica, entonces la velocidad máxima teórica de la marcha tiene un número de Froude de 1,0 ya que cualquier valor superior resultaría en el despegue y el pie no toca el suelo. La velocidad de transición típica de la marcha bípeda a la carrera ocurre con Fr ≈ 0,5 . ^{[ 17 ]} RM Alexander descubrió que los animales de diferentes tamaños y masas que viajan a diferentes velocidades, pero con el mismo número de Froude, exhiben consistentemente andares similares. Este estudio encontró que los animales suelen cambiar de un paso de andadura a una marcha de carrera simétrica (por ejemplo, un trote o paso) alrededor de un número de Froude de 1,0. Se observó una preferencia por andares asimétricos (por ejemplo, un galope, galope transversal, galope rotatorio, salto o pirueta) en números de Froude entre 2,0 y 3,0. ^{[ 15 ]}