Patrón de estela de Kelvin

Todas las ondas de choque, que cada una por sí sola habría tenido un ángulo entre 33° y 72°, se comprimen en una estrecha banda de estela con ángulos entre 15° y 19°, con la interferencia constructiva más fuerte en el borde exterior (ángulo arcsin(1/3) = 19,47°), colocando los dos brazos de la V en el célebre patrón de estela de Kelvin.

Una construcción geométrica concisa ^{[ 3 ]} demuestra que, sorprendentemente, este ángulo de choque de grupo con respecto a la trayectoria del barco, 19,47°, para cualquiera y todos los θ anteriores , es en realidad independiente de v , c y g ; simplemente se basa en el hecho de que la velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase c . En cualquier planeta, los objetos que nadan lentamente tienen un " número de Mach efectivo " 3.

Para nadadores lentos, con un número de Froude bajo, el argumento geométrico de Lighthill-Whitham de que la apertura del chevron de Kelvin (cuña, patrón en V) es universal se presenta de la siguiente manera. Consideremos un barco que se mueve de derecha a izquierda con velocidad constante v , emitiendo ondas de longitud de onda variable, y por lo tanto número de onda k y velocidad de fase c ( k ) , de interés cuando < v para una onda de choque (cf., p. ej., estampido sónico o radiación Cherenkov ). De manera equivalente, y más intuitiva, fijemos la posición del barco y hagamos que el agua fluya en la dirección opuesta, como un pilote en un río.

Centrémonos primero en un k dado , emitiendo frentes de onda (de fase) cuya posición estacionaria con respecto al barco se ensambla en la cuña de choque estándar tangente a todos ellos, cf. Fig. 12.3.

Como se indicó anteriormente, las aberturas de estos chevrones varían con el número de onda, siendo el ángulo θ entre el frente de onda de choque de fase y la trayectoria del barco (el agua) θ = arcsin( c / v ) ≡ π /2 − ψ . Evidentemente, ψ aumenta con k . Sin embargo, estos chevrones de fase no son visibles: lo que se observa son las manifestaciones de onda de grupo correspondientes.

Consideremos uno de los círculos de fase de la Fig. 12.3 para un k particular , correspondiente al tiempo t en el pasado, Fig. 12.2. Su radio es QS , y el lado del chevrón de fase es la tangente PS a él. Evidentemente, PQ = vt y SQ = ct = vt cos ψ , ya que el ángulo recto PSQ coloca S en el semicírculo de diámetro PQ .

Sin embargo, dado que la velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase para cualquier k , el punto de perturbación visible (de grupo) correspondiente a S será T , el punto medio de SQ . De manera similar, se encuentra en un semicírculo centrado ahora en R , donde, manifiestamente, RQ = PQ /4, un frente de onda de grupo efectivo emitido desde R , con radio v t /4 ahora.

Significativamente, el ángulo del frente de onda resultante con la trayectoria del barco, el ángulo de la tangente desde P a este círculo más pequeño, obviamente tiene un seno de TR/PR = 1/3, para cualquier k , c , ψ , g , etc.: Sorprendentemente, prácticamente todos los parámetros del problema han desaparecido, ¡excepto la relación de velocidad de grupo a velocidad de fase en aguas profundas! Nótese que el emisor de perturbación de grupo efectivo (altamente teórico) se mueve más lento, a 3 v /4.

Así, sumando sobre todos los k y t relevantes para completar un patrón de choque efectivo de la Fig. 12.3, surge el patrón de estela de Kelvin universal: el ángulo de chevron visible completo es el doble de eso, 2arcsin(1/3) ≈ 39°.

Los frentes de onda de las ondículas en la estela se encuentran a 53°, lo que representa aproximadamente el promedio de 33° y 72°. Los componentes de onda con ángulos de onda de choque potenciales entre 73° y 90° predominan en el interior de la V. Estos componentes terminan a medio camino entre el punto de generación y la ubicación actual de la fuente de la estela. Esto explica la curvatura de los arcos.

Esas ondas muy cortas con ángulos de onda de choque potenciales inferiores a 33° carecen de un mecanismo para reforzar sus amplitudes mediante interferencia constructiva y generalmente se observan como pequeñas ondulaciones sobre las ondas transversales internas.

La naturaleza de dos tipos de crestas , longitudinales y transversales, se ilustra gráficamente mediante el patrón de frentes de onda de una fuente puntual en movimiento en el sistema de referencia adecuado . Los radios de los frentes de onda son proporcionales, debido a la dispersión, al cuadrado del tiempo (medido desde el momento de la emisión), y la envolvente de los frentes de onda representa el patrón de estela de Kelvin.