Desviación estándar

Supongamos que la población de interés está formada por ocho estudiantes de una clase determinada. Sus calificaciones son los siguientes ocho valores: $${\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}$$

Para un conjunto finito de números, la desviación estándar de la población se obtiene tomando la raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado de los valores restadas de su valor promedio, es decir: $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mathrm {promedio} \left((v-\mu )^{2}{\text{ for }}v\in \mathrm {valores} \right)}}{\text{ donde }}\mu =\mathrm {promedio} (\mathrm {valores} ).}$$

Estos ocho puntos de datos tienen una media (promedio) de 5:$${\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.}$$

A continuación, calcula las desviaciones de cada punto de datos con respecto a la media. Luego, eleva al cuadrado el resultado de cada uno:$${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}$$

A continuación, la varianza es la media de estos valores: $${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4}$$

Finalmente, la desviación estándar de la población es la raíz cuadrada de la varianza:$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2.}$$

Si los ocho valores con los que comenzamos no representan a toda la población de interés, entonces esta es solo una de las muchas estimaciones posibles de la desviación estándar en toda la población. Esta estimación específica está sesgada , lo que significa que su valor esperado en muestreos repetidos se desvía del valor verdadero, pero sigue siendo consistente . Su error cuadrático medio, por otro lado, puede ser menor que el del estimador insesgado .

Si la población de interés tiene una distribución aproximadamente normal, la desviación estándar proporciona información sobre la proporción de observaciones por encima o por debajo de ciertos valores. Por ejemplo, la altura promedio de los hombres adultos en Estados Unidos es de aproximadamente 69  pulgadas , ^{[ 2 ]} con una desviación estándar de alrededor de 3 pulgadas . Esto significa que la mayoría de los hombres (alrededor del 68%, suponiendo una distribución normal ) tienen una altura dentro de las 3 pulgadas de la media ( 66–72 pulgadas ) – una desviación estándar – y casi todos los hombres (alrededor del 95%) tienen una altura dentro de las 6 pulgadas de la media ( 63–75 pulgadas ) – dos desviaciones estándar. Si la desviación estándar fuera cero, todos los hombres tendrían una altura idéntica de 69 pulgadas. Tres desviaciones estándar representan el 99,73% de la población de muestra estudiada, suponiendo que la distribución sea normal o en forma de campana (consulte la regla 68–95–99,7 o la regla empírica para obtener más información).         

En el caso en que X toma valores aleatorios de un conjunto de datos finito x ₁ , x ₂ , ..., x _N , con cada valor teniendo la misma probabilidad, la desviación estándar es

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\ \left[\left(x_{1}-\mu \right)^{2}+\left(x_{2}-\mu \right)^{2}+\cdots +\left(x_{N}-\mu \right)^{2}\right]\;}}\ ,~~{\text{ donde }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\left(x_{1}+\cdots +x_{N}\right)\ ,}$$ Nota: La expresión anterior contiene un sesgo inherente. Consulte la explicación sobre la corrección de Bessel más adelante.

o bien, utilizando la notación de sumatoria ,

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ donde }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}~.}$$

Si, en lugar de tener probabilidades iguales, los valores tienen probabilidades diferentes, sea x ₁ con probabilidad p ₁ , x ₂ con probabilidad p ₂ , ..., x _N con probabilidad p _N . En este caso, la desviación estándar será $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ donde }}~~\mu \equiv \sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\,.}$$

La desviación estándar de una variable aleatoria continua de valor real X con función de densidad de probabilidad p ( x ) es $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }\left(x-\mu \right)^{2}\,p(x)\,{\mathrm {d} }x}}\,,~~{\text{ donde }}~~\mu \equiv \int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,{\mathrm {d} }x\,,}$$

y donde las integrales son integrales definidas tomadas para x que varía sobre X , que representa el conjunto de posibles valores de la variable aleatoria X. 

En el caso de una familia paramétrica de distribuciones , la desviación estándar a menudo se puede expresar en términos de los parámetros de la distribución subyacente. Por ejemplo, en el caso de la distribución log-normal con parámetros μ y σ² para la distribución normal subyacente, la desviación estándar de ^la variable log-normal viene dada por la expresión $${\displaystyle {\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\ e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}\,.}$$

La fórmula para la desviación estándar poblacional (de una población finita) se puede aplicar a la muestra, utilizando el tamaño de la muestra como el tamaño de la población (aunque el tamaño real de la población de la que se extrae la muestra puede ser mucho mayor). Este estimador, denotado por s _N , se conoce como la desviación estándar muestral no corregida , o a veces la desviación estándar de la muestra (considerada como la población completa), y se define de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$$ donde { x ₁ , x ₂ , … , x _N } son los valores observados de los elementos de la muestra y x ̄ es el valor medio de estas observaciones, mientras que el denominador N representa el tamaño de la muestra: esta es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra, que es el promedio de las desviaciones al cuadrado alrededor de la media de la muestra.

Este es un estimador consistente (converge en probabilidad al valor poblacional cuando el número de muestras tiende a infinito) y es la estimación de máxima verosimilitud cuando la población tiene una distribución normal. ^{[ 4 ]} Sin embargo, este es un estimador sesgado , ya que las estimaciones suelen ser demasiado bajas. El sesgo disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, cayendo como 1 ⁄ N , y por lo tanto es más significativo para tamaños de muestra pequeños o moderados; para N > 75, el sesgo es inferior al 1 %. Por lo tanto, para tamaños de muestra muy grandes, la desviación estándar muestral sin corregir es generalmente aceptable. Este estimador también tiene un error cuadrático medio uniformemente menor que la desviación estándar muestral corregida.

Si se utiliza la varianza muestral sesgada (el segundo momento central de la muestra, que es una estimación sesgada hacia abajo de la varianza poblacional) para calcular una estimación de la desviación estándar de la población, el resultado es $${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

En este caso, calcular la raíz cuadrada introduce un sesgo descendente adicional, debido a la desigualdad de Jensen , ya que la raíz cuadrada es una función cóncava . El sesgo en la varianza se corrige fácilmente, pero el sesgo derivado de la raíz cuadrada es más difícil de corregir y depende de la distribución en cuestión.

Un estimador insesgado para la varianza se obtiene aplicando la corrección de Bessel , utilizando N − 1 en lugar de N para obtener la varianza muestral insesgada, denotada s ² : $${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.}$$

Este estimador es insesgado si existe la varianza y los valores de la muestra se extraen independientemente con reemplazo. N − 1 corresponde al número de grados de libertad en el vector de desviaciones de la media,${\displaystyle \textstyle (x_{1}-{\bar {x}},\;\dots ,\;x_{n}-{\bar {x}}).}$

Tomar raíces cuadradas reintroduce sesgo (porque la raíz cuadrada es una función no lineal que no conmuta con la esperanza, es decir, a menudo${\textstyle E[{\sqrt {X}}]\neq {\sqrt {E[X]}}}$), lo que da como resultado la desviación estándar de la muestra corregida, denotada por s : $${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

Como se explicó anteriormente, si bien ^s² es un estimador insesgado para la varianza poblacional, s sigue siendo un estimador sesgado para la desviación estándar poblacional, aunque notablemente menos sesgado que la desviación estándar muestral no corregida. Este estimador se usa comúnmente y generalmente se conoce simplemente como la "desviación estándar muestral". El sesgo aún puede ser grande para muestras pequeñas ( N menor que 10). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la cantidad de sesgo disminuye. Obtenemos más información y la diferencia entre${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$y${\displaystyle {\frac {1}{N-1}}}$se hace más pequeño.

Para la estimación insesgada de la desviación estándar , no existe una fórmula que funcione en todas las distribuciones, a diferencia de lo que ocurre con la media y la varianza. En su lugar, se utiliza s como base y se escala mediante un factor de corrección para obtener una estimación insesgada. Para la distribución normal, un estimador insesgado viene dado por ⁠ s / c ₄ ⁠ , donde el factor de corrección (que depende de N ) se expresa en términos de la función gamma y es igual a: $${\displaystyle c_{4}(N)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma {\left({\frac {N}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {N-1}{2}}\right)}}}.}$$

Esto se debe a que la distribución muestral de la desviación estándar de la muestra sigue una distribución chi (escalada) , y el factor de corrección es la media de la distribución chi.

Se puede dar una aproximación reemplazando N − 1 por N − 1.5 , lo que resulta en: $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

El error en esta aproximación decae cuadráticamente (como ⁠ 1 / N ² ⁠ ), y es adecuada para todas las muestras excepto las más pequeñas o la mayor precisión: para N = 3 el sesgo es igual a 1,3%, y para N = 9 el sesgo es menor que 0,1%.

Una aproximación más precisa consiste en reemplazar N − 1,5 de arriba por N − 1,5 + ⁠ 1 / 8( N − 1) ⁠ . ^{[ 5 ]}

Para otras distribuciones, la fórmula correcta depende de la distribución, pero una regla general es utilizar un refinamiento adicional de la aproximación: $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5-{\frac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

donde γ ₂ denota la curtosis de exceso de la población . La curtosis de exceso puede conocerse de antemano para ciertas distribuciones o estimarse a partir de los datos. ^{[ 6 ]}

La desviación estándar que obtenemos al muestrear una distribución no es del todo precisa, tanto por razones matemáticas (explicadas aquí por el intervalo de confianza) como por razones prácticas de medición (error de medición). El efecto matemático se puede describir mediante el intervalo de confianza (IC).

Para mostrar cómo una muestra más grande hará que el intervalo de confianza sea más estrecho, consideremos los siguientes ejemplos: Una población pequeña de N = 2 tiene solo un grado de libertad para estimar la desviación estándar. El resultado es que un IC del 95% de la DE va ​​desde 0,45 × DE hasta 31,9 × DE ; los factores aquí son los siguientes :

$${\displaystyle \Pr \left(q_{\frac {\alpha }{2}}<k{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha ,}$$

dónde${\displaystyle q_{p}}$es el cuantil p de la distribución chi-cuadrado con k grados de libertad, y 1 − α es el nivel de confianza. Esto es equivalente a lo siguiente:

$${\displaystyle \Pr \left(k{\frac {s^{2}}{q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}}<\sigma ^{2}<k{\frac {s^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}\right)=1-\alpha .}$$

Con k = 1 , q _0.025 = 0.000982 y q _0.975 = 5.024 . Los recíprocos de las raíces cuadradas de estos dos números nos dan los factores 0.45 y 31.9 dados anteriormente.

Una población más grande de N = 10 tiene 9 grados de libertad para estimar la desviación estándar. Los mismos cálculos que arriba nos dan en este caso un IC del 95% que va de 0,69 × SD a 1,83 × SD . Así que incluso con una población de muestra de 10, la SD real aún puede ser casi el doble que la SD muestreada. Para una población de muestra N = 100 , esto se reduce a 0,88 × SD a 1,16 × SD . Para tener más certeza de que la SD muestreada está cerca de la SD real, necesitamos muestrear una gran cantidad de puntos.

Estas mismas fórmulas se pueden utilizar para obtener intervalos de confianza sobre la varianza de los residuos de un ajuste de mínimos cuadrados bajo la teoría normal estándar, donde k es ahora el número de grados de libertad para el error.

Para un conjunto de N > 4 datos que abarcan un rango de valores R , un límite superior para la desviación estándar s viene dado por s = 0,6 R. ^{[ 7} ] Una estimación de la desviación estándar para N > 100 datos considerados aproximadamente normales se obtiene a partir de la heurística de que ^el 95 % del área bajo la curva normal se encuentra aproximadamente a dos desviaciones estándar a cada lado de la media, de modo que, con una probabilidad del 95 %, el rango total de valores R representa cuatro desviaciones estándar, de manera que s ≈ R /4 . Esta denominada regla del rango es útil en la estimación del tamaño de la muestra , ya que el rango de valores posibles es más fácil de estimar que la desviación estándar. Otros divisores K ( N ) del rango tales que s ≈ R / K ( N ) están disponibles para otros valores de N y para distribuciones no normales. ^{[ 8 ]}

El valor práctico de comprender la desviación estándar de un conjunto de valores radica en apreciar cuánta variación existe con respecto al promedio (media).

Para obtener algunas ideas y aclaraciones geométricas, comenzaremos con una población de tres valores, x₁ , x₂ , x₃ . Esto define un punto P = ( _x₁ , _x₂ , x₃ ) en R³ ^. Consideremos la recta _L = {( r₁ ,  _r₂ , r₃ ) : r ∈ R } . Esta es la diagonal principal _{que pasa por el origen. Si} nuestros tres valores dados fueran iguales, la desviación estándar sería cero y P estaría sobre L. Por lo tanto , no es descabellado suponer que la desviación estándar está relacionada con la distancia de P a L. De hecho , así es. Para moverse ortogonalmente desde L hasta el punto P , se comienza en el punto:

$${\displaystyle M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)}$$

cuyas coordenadas son la media de los valores con los que empezamos.

Un poco de álgebra muestra que la distancia entre P y M (que es la misma que la distancia ortogonal entre P y la línea L )${\textstyle {\sqrt {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$es igual a la desviación estándar del vector ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) , multiplicada por la raíz cuadrada del número de dimensiones del vector (3 en este caso).

Rara vez una observación se encuentra a más de unas pocas desviaciones estándar de la media. La desigualdad de Chebyshev garantiza que, para todas las distribuciones en las que se define la desviación estándar, la cantidad de datos dentro de un número determinado de desviaciones estándar de la media es al menos igual a la que se muestra en la siguiente tabla.

El teorema del límite central establece que la distribución del promedio de muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tiende hacia la famosa distribución normal en forma de campana con una función de densidad de probabilidad de

$${\displaystyle f\left(x,\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},}$$

donde μ es el valor esperado de las variables aleatorias, σ es igual a la desviación estándar de su distribución dividida por n ^{1 ⁄ 2} , y n es el número de variables aleatorias. Por lo tanto, la desviación estándar es simplemente una variable de escala que ajusta la amplitud de la curva, aunque también aparece en la constante de normalización .

Si una distribución de datos es aproximadamente normal, entonces la proporción de valores de datos dentro de z desviaciones estándar de la media se define por:

$${\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$$

dónde${\displaystyle \textstyle \operatorname {erf} }$es la función de error . La proporción que es menor o igual a un número, x , viene dada por la función de distribución acumulativa : ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$$

Si una distribución de datos es aproximadamente normal, entonces alrededor del 68 por ciento de los valores de los datos están dentro de una desviación estándar de la media (matemáticamente, μ ± σ , donde μ es la media aritmética), alrededor del 95 por ciento están dentro de dos desviaciones estándar ( μ ± 2σ ) y alrededor del 99,7 por ciento están dentro de tres desviaciones estándar ( μ ± 3σ ) . Esto se conoce como la regla 68-95-99,7 o regla empírica .

Para varios valores de z , el porcentaje de valores que se espera que se encuentren dentro y fuera del intervalo simétrico, CI = (− z' σ , z' σ ) , son los siguientes:

• Los autovectores y autovalores de${\displaystyle \mathbf {S} }$corresponden a los ejes del elipsoide de error de 1 sd de la distribución normal multivariada. Véase Distribución normal multivariada: interpretación geométrica .

  

• La desviación estándar de la proyección de la distribución multivariada (es decir, la distribución marginal) sobre una línea en la dirección del vector unitario.${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$igual${\displaystyle {\sqrt {{\hat {\boldsymbol {\eta }}}'\mathbf {\Sigma } {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}}=\lVert \mathbf {S} {\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }$.
• La desviación estándar de una sección de la distribución multivariada (es decir, la distribución condicional) a lo largo de la línea en la dirección del vector unitario.${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$igual${\displaystyle {\frac {1}{\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }}}$.
• El índice de discriminabilidad entre dos distribuciones de igual covarianza es su distancia de Mahalanobis , que también puede expresarse en términos de la matriz sd:${\displaystyle d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {d}}\rVert }$, dónde${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}}$es el vector de media-diferencia.
• Desde${\displaystyle \mathbf {S} }$escala una variable normalizada, se puede utilizar para invertir la transformación y hacerla descorrelacionada y de varianza unitaria:${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=\mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})}$tiene media cero y covarianza identidad. Esto se denomina transformación de blanqueamiento de Mahalanobis .

A menudo, necesitamos información sobre la precisión de la media obtenida. Podemos obtenerla determinando la desviación estándar de la media muestral. Suponiendo independencia estadística de los valores de la muestra, la desviación estándar de la media ( DEM ) se relaciona con la desviación estándar de la distribución mediante:

$${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sigma ,}$$

donde N es el número de observaciones en la muestra utilizada para estimar la media. Esto se puede demostrar fácilmente con (véanse las propiedades básicas de la varianza ): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\sigma _{X}^{2}\\\operatorname {var} (X_{1}+X_{2})&=\operatorname {var} (X_{1})+\operatorname {var} (X_{2})\\\end{aligned}}}$$ (Se asume independencia estadística). $${\displaystyle \operatorname {var} (cX_{1})\equiv c^{2}\,\operatorname {var} (X_{1})}$$

por eso $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}}$$

Resultando en: $${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}.}$$

Para estimar la desviación estándar de la media (σ media _), es necesario conocer de antemano la desviación estándar de toda la población (σ) . Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones, este parámetro es desconocido. Por ejemplo, si se realiza una serie de 10 mediciones de una magnitud previamente desconocida en un laboratorio, es posible calcular la media muestral y la desviación estándar muestral resultantes, pero es imposible calcular la desviación estándar de la media. No obstante, se puede estimar la desviación estándar de toda la población a partir de la muestra y, de este modo, obtener una estimación del error estándar de la media.

Cuando los valores${\displaystyle x_{k}}$están ponderados con pesos desiguales${\displaystyle w_{k}}$Las sumas de potencias s ₀ , s ₁ , s ₂ se calculan cada una de la siguiente manera:

$${\displaystyle s_{j}=\sum _{k=1}^{N}w_{k}x_{k}^{j}.\,}$$

Y las ecuaciones de desviación estándar permanecen sin cambios. s ₀ ahora es la suma de los pesos y no el número de muestras N.

También se puede aplicar el método incremental con errores de redondeo reducidos, aunque con cierta complejidad adicional.

Se debe calcular una suma acumulada de pesos para cada k desde 1 hasta n : $${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}}$$

y los lugares donde se usa 1/ k arriba deben ser reemplazados por${\displaystyle w_{k}/W_{k}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}\\&=Q_{k-1}+w_{k}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}}$$

En la división final, $${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,}$$

y $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}},}$$

o $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},}$$

donde n es el número total de elementos y n ′ es el número de elementos con pesos distintos de cero.

Las fórmulas anteriores se vuelven iguales a las fórmulas más simples dadas anteriormente si se toma el peso como igual a uno.