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Desviación absoluta mediana

En estadística , la desviación absoluta mediana ( MAD ), también conocida como desviación absoluta mediana de la mediana ( MADFM ), es una medida robusta o resistente a valores ...

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En estadística , la desviación absoluta mediana ( MAD ), también conocida como desviación absoluta mediana de la mediana ( MADFM ), es una medida robusta o resistente a valores atípicos de la variabilidad de una muestra univariada de datos cuantitativos . Para un conjunto de datos univariados X 1 , X 2 , ..., X n , la MAD se define como la mediana de las desviaciones absolutas de la mediana de los datos,   ENOJADO=mediana⁡(|incógnitai−incógnita~|){\displaystyle \operatorname {MAD} =\operatorname {median} (|X_{i}-{\tilde {X}}|)}. También puede referirse al parámetro poblacional que se estima mediante el MAD calculado a partir de una muestra. [ 1 ]

Ejemplo

Consideremos los datos (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9). Su mediana es 2. Las desviaciones absolutas respecto a 2 son (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7), cuya mediana es 1 (ya que las desviaciones absolutas ordenadas son (0, 0, 1, 1, 2 , 4, 7)). Por lo tanto, la mediana de la desviación absoluta para estos datos es 1.

Usos

La desviación absoluta mediana es una medida de dispersión estadística . Además, la MAD es una estadística robusta , más resistente a los valores atípicos en un conjunto de datos que la desviación estándar . En la desviación estándar, las distancias a la media se elevan al cuadrado, por lo que las grandes desviaciones tienen mayor peso y, por lo tanto, los valores atípicos pueden influir considerablemente en ella. En la MAD, las desviaciones de un pequeño número de valores atípicos son irrelevantes.

Debido a que la MAD es un estimador de escala más robusto que la varianza muestral o la desviación estándar , funciona mejor con distribuciones sin media ni varianza, como la distribución de Cauchy .

Relación con la desviación estándar

La MAD se puede utilizar de forma similar a como se utilizaría la desviación para la media. Para utilizar la MAD como un estimador consistente para la estimación de la desviación estándarσ{\displaystyle \sigma }, uno toma

σ^=k⋅ENOJADO,{\displaystyle {\hat {\sigma }}=k\cdot \operatorname {MAD} ,}

dóndek{\displaystyle k}es un factor de escala constante , que depende de la distribución. [ 2 ]

Para datos con distribución normalk{\displaystyle k}se toma por

k=1/(Φ−1(3/4))≈1/0,67449≈1.4826,{\displaystyle k=1/\left(\Phi ^{-1}(3/4)\right)\approx 1/0.67449\approx 1.4826,}

es decir, el recíproco de la función cuantilΦ−1{\displaystyle \Phi ^{-1}}(también conocida como la inversa de la función de distribución acumulativa ) para la distribución normal estándarZ=(incógnita−μ)/σ{\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }. [ 3 ] [ 4 ]

Derivación

El argumento 3/4 es tal que±ENOJADO{\displaystyle \pm \operatorname {MAD} }cubre el 50% (entre 0,25 y 0,75) de la función de distribución acumulativa normal estándar , es decir

12=PAG(|incógnita−μ|≤ENOJADO)=PAG(|incógnita−μσ|≤ENOJADOσ)=PAG(|Z|≤ENOJADOσ).{\displaystyle {\frac {1}{2}}=P(|X-\mu |\leq \operatorname {MAD} )=P\left(\left|{\frac {X-\mu }{\sigma }}\right|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right)=P\left(|Z|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right).}

Por lo tanto, debemos tener eso

Φ(ENOJADO⁡/σ)−Φ(−ENOJADO⁡/σ)=1/2.{\displaystyle \Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right)-\Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1/2.}

Al notar que

Φ(−ENOJADO⁡/σ)=1−Φ(ENOJADO⁡/σ),{\displaystyle \Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1-\Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right),}

tenemos esoENOJADO⁡/σ=Φ−1(3/4)=0,67449{\displaystyle \operatorname {MAD} /\sigma =\Phi ^{-1}(3/4)=0.67449}, de donde obtenemos el factor de escalak=1/Φ−1(3/4)=1.4826{\displaystyle k=1/\Phi ^{-1}(3/4)=1,4826}.

Otra forma de establecer la relación es observar que la MAD es igual a la mediana de la distribución normal reducida a la mitad :

ENOJADO=σ2terreno−1⁡(1/2)≈0,67449σ.{\displaystyle \operatorname {MAD} =\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.67449\sigma .}

Esta forma se utiliza, por ejemplo, en el error probable .

En el caso de valores complejos ( X +i Y ), la relación de MAD con la desviación estándar no cambia para datos distribuidos normalmente.

Generalización multivariada

De forma análoga a cómo la mediana se generaliza a la mediana geométrica (MG) en datos multivariados , la MAD se puede generalizar a la mediana de distancias a la MG (MADGM) en n dimensiones. Esto se logra reemplazando las diferencias absolutas en una dimensión por distancias euclidianas entre los puntos de datos y la mediana geométrica en n dimensiones. [ 5 ] Esto proporciona el mismo resultado que la MAD univariada en una dimensión y se generaliza a cualquier número de dimensiones. La MADGM requiere que se encuentre la mediana geométrica, lo cual se realiza mediante un proceso iterativo.

La población MAD

La desviación absoluta media (DAM) poblacional se define de forma análoga a la DAM muestral, pero se basa en la población completa en lugar de en una muestra. Para una distribución simétrica con media cero, la DAM poblacional es el percentil 75 de la distribución.

A diferencia de la varianza , que puede ser infinita o indefinida, la desviación absoluta media (DAM) de la población siempre es un número finito. Por ejemplo, la distribución de Cauchy estándar tiene una varianza indefinida, pero su DAM es 1.

La primera mención conocida del concepto de MAD se produjo en 1816, en un artículo de Carl Friedrich Gauss sobre la determinación de la precisión de las observaciones numéricas. [ 6 ] [ 7 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Dodge, Yadolah (2010). La enciclopedia concisa de estadística . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-32833-1.
  2. ↑ Rousseeuw, PJ ; Croux, C. (1993). "Alternativas a la desviación absoluta mediana". Journal of the American Statistical Association . 88 (424): 1273– 1283. doi : 10.1080/01621459.1993.10476408 . hdl : 2027.42/142454 .
  3. ↑ Ruppert, D. (2010). Estadística y análisis de datos para ingeniería financiera . Springer. pág. 118. ISBN  9781441977878. Consultado el 27 de agosto de 2015 .
  4. ↑ Leys, C.; et al. (2013). "Detección de valores atípicos: No utilice la desviación estándar alrededor de la media, utilice la desviación absoluta alrededor de la mediana" (PDF) . Journal of Experimental Social Psychology . 49 (4): 764– 766. doi : 10.1016/j.jesp.2013.03.013 . 
  5. ↑ Spacek, Libor. "Rstats - Implementación en Rust de medidas estadísticas, álgebra vectorial, mediana geométrica, análisis de datos y aprendizaje automático" . crates.io . Consultado el 26 de julio de 2022 .
  6. ^ Gauss, Carl Friedrich (1816). "Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen". Zeitschrift für Astronomie und Verwandte Wissenschaften . 1 : 187-197 .
  7. ↑ Walker, Helen (1931). Estudios sobre la historia del método estadístico . Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co. pp. 24–25 . 

Referencias

  • Hoaglin, David C.; Frederick Mosteller; John W. Tukey (1983). Comprensión del análisis de datos robusto y exploratorio . John Wiley & Sons. págs. 404–414 . ISBN  978-0-471-09777-8.
  • Russell, Roberta S.; Bernard W. Taylor III (2006). Operación Management . John Wiley & Sons. pp. 497–498 . ISBN  978-0-471-69209-6.
  • Venables, WN; BD Ripley (1999). Modern Applied Statistics with S-PLUS . Springer. pág.  128. ISBN 978-0-387-98825-2.