Parámetro de escala

En teoría de la probabilidad y estadística , un parámetro de escala es un tipo especial de parámetro numérico de una familia paramétrica de distribuciones de probabilidad . Cuanto mayor sea el parámetro de escala, más dispersa estará la distribución.

Si una familia de distribuciones de probabilidad es tal que existe un parámetro s (y otros parámetros θ ) para los cuales la función de distribución acumulativa satisface

$${\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),}$$

Entonces, s se denomina parámetro de escala , ya que su valor determina la " escala " o dispersión estadística de la distribución de probabilidad. Si s es grande, la distribución estará más dispersa; si s es pequeño, estará más concentrada.

Si la densidad de probabilidad existe para todos los valores del conjunto completo de parámetros, entonces la densidad (como función del parámetro de escala solamente) satisface $${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,}$$ donde f es la densidad de una versión estandarizada de la densidad, es decir${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$.

Un estimador de un parámetro de escala se denomina estimador de escala.

Algunas familias de distribuciones utilizan un parámetro de tasa (o parámetro de escala inverso ), que es simplemente el recíproco del parámetro de escala . Por ejemplo, la distribución exponencial con parámetro de escala β y densidad de probabilidad $${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$$ podría escribirse de forma equivalente con el parámetro de velocidad λ como $${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$$

• La distribución uniforme puede parametrizarse con un parámetro de ubicación de${\displaystyle (a+b)/2}$y un parámetro de escala${\displaystyle |ba|}$.
• La distribución normal tiene dos parámetros: un parámetro de localización${\displaystyle \mu }$y un parámetro de escala${\displaystyle \sigma }$En la práctica, la distribución normal se parametriza a menudo en términos de la escala al cuadrado .${\displaystyle \sigma ^{2}}$, que corresponde a la varianza de la distribución.
• La distribución gamma se suele parametrizar en términos de un parámetro de escala.${\displaystyle \theta }$o su inversa.
• En ciertos casos especiales, las distribuciones cuyo parámetro de escala es igual a la unidad pueden denominarse "estándar". Por ejemplo, si el parámetro de localización es cero y el parámetro de escala es uno, la distribución normal se conoce como distribución normal estándar , y la distribución de Cauchy como distribución de Cauchy estándar .

Se puede utilizar una estadística para estimar un parámetro de escala siempre que:

• Es invariante a la ubicación,
• Escala linealmente con el parámetro de escala y
• Converge a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Diversas medidas de dispersión estadística satisfacen estas condiciones. Para que el estadístico sea un estimador consistente del parámetro de escala, generalmente se debe multiplicar por un factor de escala constante . Este factor de escala se define como el valor teórico obtenido al dividir el parámetro de escala requerido entre el valor asintótico del estadístico. Cabe destacar que el factor de escala depende de la distribución en cuestión.

Por ejemplo, para utilizar la desviación absoluta mediana (DAM) para estimar la desviación estándar de la distribución normal , se debe multiplicar por el factor $${\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,}$$ donde Φ ⁻¹ es la función cuantil (inversa de la función de distribución acumulativa ) para la distribución normal estándar. (Véase MAD para más detalles). Es decir, MAD no es un estimador consistente para la desviación estándar de una distribución normal, pero 1,4826... × MAD sí lo es. De manera similar, la desviación absoluta media debe multiplicarse por aproximadamente 1,2533 para ser un estimador consistente de la desviación estándar. Se requerirían factores diferentes para estimar la desviación estándar si la población no siguiera una distribución normal.

• Tendencia central
• Estimador invariante
• Parámetro de ubicación
• Familia de escala de ubicación
• Distribución que preserva la media
• Mezcla de escala
• Parámetro de forma
• Dispersión estadística

• "1.3.6.4. Parámetros de ubicación y escala" . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 17 de marzo de 2025 .

• Mood, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "VII.6.2 Invariancia de escala ". Introducción a la teoría de la estadística (3.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill.