Parámetro de ubicación

En estadística , un parámetro de ubicación de una distribución de probabilidad es un parámetro de valor escalar o vectorial que determina la "ubicación" o desplazamiento de la distribución. En la literatura sobre estimación de parámetros de ubicación, las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se definen formalmente de una de las siguientes maneras equivalentes: $estilo de visualización x_{0}}$

• ya sea como si tuviera una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad ; ^[1] o${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• que tiene una función de distribución acumulativa ; ^[2] o${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• se define como el resultado de la transformación de la variable aleatoria , donde es una variable aleatoria con una distribución determinada, posiblemente desconocida ^[3] (véase también #Ruido_aditivo).$estilo de visualización x_{0}+X}$${\estilo de visualización X}$

Un ejemplo directo de un parámetro de ubicación es el parámetro de la distribución normal . Para comprobarlo, observe que la función de densidad de probabilidad de una distribución normal puede tener el parámetro extraído y escribirse como: ${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\estilo de visualización \mu}$

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

Cumpliéndose así la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si aumenta, la densidad de probabilidad o función de masa se desplaza rígidamente hacia la derecha, manteniendo su forma exacta. $estilo de visualización x_{0}}$

También se puede encontrar un parámetro de ubicación en familias que tienen más de un parámetro, como las familias de ubicación-escala . En este caso, la función de densidad de probabilidad o la función de masa de probabilidad serán un caso especial de la forma más general

${\displaystyle f_{x_{0},\theta}(x)=f_{\theta}(x-x_{0})}$

donde es el parámetro de ubicación, θ representa parámetros adicionales y es una función parametrizada en los parámetros adicionales. $estilo de visualización x_{0}}$${\displaystyle f_{\theta}}$

Sea cualquier función de densidad de probabilidad y sean y cualquier constante dada. Entonces la función ${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

es una función de densidad de probabilidad.

La familia de ubicaciones se define entonces de la siguiente manera:

Sea cualquier función de densidad de probabilidad. Entonces, la familia de funciones de densidad de probabilidad se denomina familia de ubicación con función de densidad de probabilidad estándar , donde se denomina parámetro de ubicación para la familia. ${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu):\mu \in \mathbb {R} \}}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización \mu}$

Una forma alternativa de pensar en las familias de ubicaciones es a través del concepto de ruido aditivo . Si es una constante y W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad , entonces tiene densidad de probabilidad y, por lo tanto, su distribución es parte de una familia de ubicaciones. $estilo de visualización x_{0}}$$estilo de visualización f_{W}(w),}$$Estilo de visualización X=x_{0}+W$${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

Para el caso univariado continuo, considere una función de densidad de probabilidad , donde es un vector de parámetros. Se puede agregar un parámetro de ubicación definiendo: ${\displaystyle f(x|\theta ),x\en [a,b]\subconjunto \mathbb {R} }$${\estilo de visualización \theta}$$estilo de visualización x_{0}}$

${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\en [a-x_{0},b-x_{0}]}$

se puede demostrar que es una función de densidad de probabilidad verificando si respeta las dos condiciones ^[5] y . integra a 1 porque: ${\estilo de visualización g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$

Ahora, al realizar el cambio de variable y actualizar el intervalo de integración en consecuencia, obtenemos: ${\displaystyle u=x-x_{0}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$

porque es un pdf por hipótesis. se deduce de compartir la misma imagen de , que es un pdf por lo que su imagen está contenida en . ${\displaystyle f(x|\theta )}$${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$

• Tendencia central
• Prueba de ubicación
• Estimador invariante
• Parámetro de escala
• Modelos de decisión de dos momentos