Desviaciones cuadráticas respecto a la media

Las desviaciones cuadráticas respecto a la media ( DCM ) resultan de elevar al cuadrado las desviaciones . En teoría de la probabilidad y estadística , la definición de varianza es el valor esperado de la DCM (cuando se considera una distribución teórica ) o su valor promedio (para datos experimentales reales). Los cálculos para el análisis de varianza implican la partición de una suma de DCM.

La comprensión de los cálculos involucrados se ve enormemente mejorada por un estudio del valor estadístico.

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$, dónde${\displaystyle \operatorname {E} }$es el operador de valor esperado.

Para una variable aleatoria${\displaystyle X}$con significa${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$,

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.}$^{[ 1 ]}

(Su derivación se muestra aquí .) Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.}$

De lo anterior se puede deducir lo siguiente:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.}$

La suma de las desviaciones al cuadrado necesarias para calcular la varianza de la muestra (antes de decidir si dividir por n o por n − 1) se calcula más fácilmente como   $${\displaystyle S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}.}$$

A partir de las dos expectativas derivadas anteriormente, el valor esperado de esta suma es $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}},}$$ lo cual implica $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}$$

Esto demuestra de manera efectiva el uso del divisor n − 1 en el cálculo de una estimación de muestra insesgada de σ ² .   

En la situación en la que se dispone de datos para k grupos de tratamiento diferentes de tamaño n _i donde i varía de 1 a k , entonces se supone que la media esperada de cada grupo es

${\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}$

y la varianza de cada grupo de tratamiento no cambia con respecto a la varianza de la población.${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Bajo la hipótesis nula de que los tratamientos no tienen efecto, entonces cada uno de los${\displaystyle T_{i}}$será cero.

Ahora es posible calcular tres sumas de cuadrados:

Individual

${\displaystyle I=\sum x^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

Tratos

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

Bajo la hipótesis nula de que los tratamientos no causan diferencias y todos los${\displaystyle T_{i}}$son cero, la expectativa se simplifica a

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}$

Combinación

${\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}$

${\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

• Desviación absoluta
• Algoritmos para el cálculo de la varianza
• Errores y residuos
• Mínimos cuadrados
• Error cuadrático medio
• Suma residual de cuadrados
• desviación cuadrática media
• Descomposición de la varianza de los errores de pronóstico