Descomposición de la varianza de los errores de pronóstico

En econometría y otras aplicaciones del análisis de series temporales multivariadas , se utiliza una descomposición de la varianza o descomposición de la varianza del error de pronóstico ( FEVD ) para facilitar la interpretación de un modelo de autorregresión vectorial (VAR) una vez ajustado. ^{[ 1 ]} La descomposición de la varianza indica la cantidad de información que cada variable aporta a las demás variables en la autorregresión. Determina qué parte de la varianza del error de pronóstico de cada variable puede explicarse mediante perturbaciones exógenas en las demás variables.

Para el VAR (p) de forma

${\displaystyle y_{t}=\nu +A_{1}y_{t-1}+\dots +A_{p}y_{tp}+u_{t}}$ .

Esto se puede convertir en una estructura VAR(1) escribiéndola en forma complementaria (véase la notación matricial general de un VAR(p)).

${\displaystyle Y_{t}=V+AY_{t-1}+U_{t}}$dónde

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{p-1}&A_{p}\\\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0&0\\0&\mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}}$,${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}}$,${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\nu \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle U_{t}={\begin{bmatrix}u_{t}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle y_{t}}$,${\displaystyle \nu }$y${\displaystyle u}$son${\displaystyle k}$vectores columna dimensionales,${\displaystyle A}$es${\displaystyle kp}$por${\displaystyle kp}$matriz dimensional y${\displaystyle Y}$,${\displaystyle V}$y${\displaystyle U}$son${\displaystyle kp}$vectores columna dimensionales.

El error cuadrático medio de la previsión de h pasos de la variable${\displaystyle j}$es

${\displaystyle \mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg )}_{jj},}$

y dónde

• ${\displaystyle e_{j}}$es la j ^-ésima columna de${\displaystyle I_{k}}$y el subíndice${\displaystyle jj}$se refiere a ese elemento de la matriz

• ${\displaystyle \Theta _{i}=\Phi _{i}P,}$dónde${\displaystyle P}$es una matriz triangular inferior obtenida mediante una descomposición de Cholesky de${\displaystyle \Sigma _{u}}$de tal manera que${\displaystyle \Sigma _{u}=PP'}$, dónde ${\displaystyle \Sigma _{u}}$es la matriz de covarianza de los errores ${\displaystyle u_{t}}$

• ${\displaystyle \Phi _{i}=JA^{i}J',}$dónde${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0\end{bmatrix}},}$de modo que${\displaystyle J}$es un${\displaystyle k}$por${\displaystyle kp}$matriz dimensional.

La cantidad de varianza del error de pronóstico de la variable${\displaystyle j}$explicado por choques exógenos a variables${\displaystyle l}$es dado por${\displaystyle \omega _{jl,h},}$

${\displaystyle \omega _{jl,h}=\sum _{i=0}^{h-1}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}/MSE[y_{j,t}(h)].}$

• Análisis de varianza