Índice de sensibilidad

{\displaystyle e_{b}} — Figura 1: Probabilidad de error de clasificación óptima de Bayes $e_{b}$ y el índice de discriminabilidad de Bayes $d'_{b}$ Entre dos histogramas univariados calculados a partir de su área de superposición. Figura 2: Igual calculado a partir del volumen de superposición de dos histogramas bivariados. Figura 3: Índices de discriminabilidad de dos distribuciones normales univariadas con varianzas desiguales. El límite de clasificación está en negro. Figura 4: Índices de discriminabilidad de dos distribuciones normales bivariadas con matrices de covarianza desiguales (las elipses son elipses de error de 1 sd). La barra de color muestra la contribución relativa a la discriminabilidad de cada dimensión.

El índice de sensibilidad , índice de discriminabilidad o índice de detectabilidad es una estadística adimensional utilizada en la teoría de detección de señales . Un índice más alto indica que la señal se puede detectar con mayor facilidad.

Definición

El índice de discriminabilidad es la separación entre las medias de dos distribuciones (típicamente las distribuciones de la señal y del ruido), en unidades de la desviación estándar .

Varianzas/covarianzas iguales

Para dos distribuciones univariadas $a$ y $b$ con la misma desviación estándar, se denota por $d'$ ('dee-prime'):

d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}

.

En dimensiones superiores, es decir, con dos distribuciones multivariadas con la misma matriz de varianza-covarianza. $\mathbf {\Sigma }$ , (cuya raíz cuadrada simétrica, la matriz de desviación estándar, es $\mathbf {S}$ ), esto se generaliza a la distancia de Mahalanobis entre las dos distribuciones:

d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'\mathbf {\Sigma } ^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})\rVert =\lVert {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}\rVert /\sigma _{\boldsymbol {\mu }}

,

dónde $\sigma _{\boldsymbol {\mu }}=1/\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\rVert$ es la sección 1D de la sd a lo largo del vector unitario ${\boldsymbol {\mu }}$ a través de los medios, es decir, el $d'$ igual a la $d'$ a lo largo de la sección 1D a través de la media.

Para dos distribuciones bivariadas con igual varianza-covarianza, esto viene dado por:

{d'}^{2}={\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\left({d'}_{x}^{2}+{d'}_{y}^{2}-2\rho {d'}_{x}{d'}_{y}\right)

,

dónde $\rho$ es el coeficiente de correlación, y aquí $d'_{x}={\frac {{\mu _{b}}_{x}-{\mu _{a}}_{x}}{\sigma _{x}}}$ y $d'_{y}={\frac {{\mu _{b}}_{y}-{\mu _{a}}_{y}}{\sigma _{y}}}$ , es decir, incluyendo los signos de las diferencias medias en lugar de los absolutos.

$d'$ También se estima que $Z({\text{tasa de aciertos}})-Z({\text{tasa de falsas alarmas}})$ . ^{[ 1 ]}^{: 8}

Varianzas/covarianzas desiguales

Cuando las dos distribuciones tienen desviaciones estándar diferentes (o en dimensiones generales, matrices de covarianza diferentes), existen varios índices en competencia, todos los cuales se reducen a $d'$ para varianza/covarianza iguales.

Índice de discriminabilidad bayesiano

Este es el índice de discriminabilidad máximo (óptimo bayesiano) para dos distribuciones, basado en la cantidad de su superposición, es decir, el error de clasificación óptimo (bayesiano). $e_{b}$ por un observador ideal, o su complemento, la precisión óptima $a_{b}$ :

d'_{b}=-2Z\left({\text{Tasa de error de Bayes }}e_{b}\right)=2Z\left({\text{Tasa de mejor precisión }}a_{b}\right)

,

dónde $Z$ es la función de distribución acumulativa inversa de la distribución normal estándar. La capacidad de discriminación bayesiana entre distribuciones normales univariadas o multivariadas puede calcularse numéricamente ( código Matlab ) y también puede utilizarse como aproximación cuando las distribuciones son cercanas a la normal.

$d'_{b}$ es una medida de distancia estadística definida positiva que no requiere supuestos sobre las distribuciones, como la divergencia de Kullback-Leibler. $D_{\text{KL}}$ . $D_{\text{KL}}(a,b)$ es asimétrico, mientras que $d'_{b}(a,b)$ es simétrica para las dos distribuciones. Sin embargo, $d'_{b}$ no satisface la desigualdad triangular , por lo que no es una métrica completa.

En particular, para una tarea de sí/no entre dos distribuciones normales univariadas con medias $\mu _{a},\mu _{b}$ y variaciones $v_{a}>v_{b}$ Las precisiones de clasificación óptimas de Bayes son:

p(A|a)=p({\chi '}_{1,v_{a}\lambda }^{2}>v_{b}c),\;\;p(B|b)=p({\chi '}_{1,v_{b}\lambda }^{2}<v_{a}c)

,

dónde $\chi '^{2}$ denota la distribución chi-cuadrado no central , $\lambda =\left({\frac {\mu _{a}-\mu _{b}}{v_{a}-v_{b}}}\right)^{2}$ , y $c=\lambda +{\frac {\ln v_{a}-\ln v_{b}}{v_{a}-v_{b}}}$ La capacidad discriminativa de Bayes $d'_{b}=2Z\left({\frac {p\left(A|a\right)+p\left(B|b\right)}{2}}\right).$

$d'_{b}$ También se puede calcular a partir de la curva ROC de una tarea binaria (sí/no) entre dos distribuciones normales univariadas con un único criterio de cambio. Asimismo, se puede calcular a partir de la curva ROC de dos distribuciones cualesquiera (con cualquier número de variables) con una razón de verosimilitud variable, localizando el punto de la curva ROC más alejado de la diagonal.

Para una tarea de dos intervalos entre estas distribuciones, la precisión óptima es $a_{b}=p\left({\tilde {\chi }}_{{\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},0,0}^{2}>0\right)$ ( ${\tilde {\chi }}^{2}$ denota la distribución chi-cuadrado generalizada ), donde ${\boldsymbol {w}}={\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&-\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {k}}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {\lambda }}={\frac {\mu _{s}-\mu _{n}}{\sigma _{s}^{2}-\sigma _{n}^{2}}}{\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}$ La capacidad discriminativa de Bayes $d'_{b}=2Z\left(a_{b}\right)$ .

Índice de discriminabilidad RMS sd

Un índice de discriminación aproximado común (es decir, subóptimo) que tiene una forma cerrada consiste en tomar el promedio de las varianzas, es decir, la raíz cuadrática media de las dos desviaciones estándar: $d'_{a}=\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{rms}}$ ^{[ 2 ]} (también denotado por $d_{a}$ ). Es ${\sqrt {2}}$ veces el $z$ -puntuación del área bajo la curva ROC (AUC) de un observador de criterio único. Este índice se extiende a dimensiones generales como la distancia de Mahalanobis utilizando la covarianza agrupada, es decir, con $\mathbf {S} _{\text{rms}}=\left[\left(\mathbf {\Sigma } _{a}+\mathbf {\Sigma } _{b}\right)/2\right]^{\frac {1}{2}}$ como la matriz sd común.

Índice de discriminabilidad promedio de desviación estándar

Otro índice es $d'_{e}=\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{avg}}$ , extendido a dimensiones generales usando $\mathbf {S} _{\text{avg}}=\left(\mathbf {S} _{a}+\mathbf {S} _{b}\right)/2$ como la matriz sd común.

Contribución a la capacidad de discriminación por cada dimensión

En general, la contribución a la discriminabilidad total de cada dimensión o característica se puede medir utilizando la cantidad en la que la discriminabilidad disminuye cuando se elimina esa dimensión. Si la discriminabilidad bayesiana total es $d'$ y la discriminabilidad de Bayes con dimensión $i$ eliminado es $d'_{-i}$ , podemos definir la contribución de la dimensión $i$ como ${\sqrt {d'^{2}-{d'_{-i}}^{2}}}$ Esto es lo mismo que la discriminabilidad individual de dimensión $i$ cuando las matrices de covarianza son iguales y diagonales, pero en los demás casos, esta medida refleja con mayor precisión la contribución de una dimensión que su capacidad de discriminación individual.

Escalamiento de la capacidad de discriminación de dos distribuciones

En ocasiones, podemos querer ajustar la capacidad de discriminación entre dos distribuciones de datos acercándolas o alejándolas. Un ejemplo de esto se da al modelar una tarea de detección o clasificación, cuando el rendimiento del modelo supera el de los datos observados. En ese caso, podemos acercar las distribuciones de las variables del modelo para que coincidan con el rendimiento observado, prediciendo además qué puntos de datos específicos comenzarán a superponerse y a clasificarse erróneamente.

Existen varias maneras de hacerlo. Una consiste en calcular el vector de medias y la matriz de covarianza de las dos distribuciones, y luego realizar una transformación lineal para interpolar la matriz de medias y desviaciones estándar (raíz cuadrada de la matriz de covarianza) de una de las distribuciones hacia la otra.

Otra forma de hacerlo es calculando las variables de decisión de los puntos de datos (razón de verosimilitud logarítmica de que un punto pertenezca a una distribución en lugar de a otra) bajo un modelo multinormal, y luego acercando o alejando estas variables de decisión.

Véase también

Referencias

↑ MacMillan, N.; Creelman, C. (2005). Teoría de la detección: Guía del usuario . Lawrence Erlbaum Associates. ISBN 9781410611147.
↑ Simpson, AJ; Fitter, MJ (1973). "¿Cuál es el mejor índice de detectabilidad?". Psychological Bulletin . 80 (6): 481– 488. doi : 10.1037/h0035203 .

Wickens, Thomas D. (2001). Teoría elemental de la detección de señales . OUP USA. Cap. 2, pág. 20. ISBN 0-19-509250-3.

Enlaces externos

Tutorial interactivo sobre la teoría de la detección de señales, incluyendo el cálculo de d ′.

[MandC-1] MacMillan, N.; Creelman, C. (2005). Teoría de la detección: Guía del usuario . Lawrence Erlbaum Associates. ISBN 9781410611147.

[SandF-2] Simpson, AJ; Fitter, MJ (1973). "¿Cuál es el mejor índice de detectabilidad?". Psychological Bulletin . 80 (6): 481– 488. doi : 10.1037/h0035203 .

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