Error absoluto medio

En estadística , el error absoluto medio ( MAE ) es una medida de los errores entre pares de observaciones que expresan el mismo fenómeno. Ejemplos de Y versus X incluyen comparaciones de valores predichos versus observados, tiempo posterior versus tiempo inicial, y una técnica de medición versus una técnica de medición alternativa. El MAE se calcula como la suma de los errores absolutos (es decir, la distancia de Manhattan ) dividida por el tamaño de la muestra : ^{[ 1 ]} Es, por lo tanto, la media aritmética de los errores absolutos , donde es la predicción y el valor verdadero. Las formulaciones alternativas pueden incluir frecuencias relativas como factores de ponderación. El error absoluto medio utiliza la misma escala que los datos que se miden. Esto se conoce como una medida de precisión dependiente de la escala y, por lo tanto, no se puede utilizar para hacer comparaciones entre valores predichos que utilizan escalas diferentes. ^{[ 2 ]} El error absoluto medio es una medida común del error de pronóstico en el análisis de series temporales , ^{[ 3 ]} a veces se utiliza por confusión con la definición más estándar de desviación absoluta media . La misma confusión existe de forma más general en la literatura técnica. $${\displaystyle \mathrm {MAE} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|e_{i}\right|}{n}}.}$$${\displaystyle |e_{i}|=|y_{i}-x_{i}|}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

En teledetección, el MAE a veces se expresa como la suma de dos componentes: discrepancia de cantidad y discrepancia de asignación. La discrepancia de cantidad es el valor absoluto del error medio: ^{[ 4 ]} La discrepancia de asignación es el MAE menos la discrepancia de cantidad. $${\displaystyle \left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}-x_{i}}{n}}\right|.}$$

También es posible identificar los tipos de diferencia observando un gráfico. Existe diferencia de cantidad cuando el promedio de los valores X no es igual al promedio de los valores Y. Existe diferencia de asignación si y solo si los puntos se encuentran a ambos lados de la línea de identidad (Y=X). ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle (x,y)}$

El error absoluto medio es una de las diversas formas de comparar las predicciones con sus resultados finales. Algunas alternativas bien establecidas son el error absoluto medio escalado (MASE), el error logarítmico absoluto medio (MALE) y el error cuadrático medio . Todas ellas resumen el rendimiento sin tener en cuenta la dirección de la sobreestimación o la subestimación; una medida que sí hace hincapié en esto es la diferencia media con signo .

Cuando se ajusta un modelo de predicción utilizando una medida de rendimiento seleccionada, en el sentido de que el enfoque de mínimos cuadrados está relacionado con el error cuadrático medio , el equivalente para el error absoluto medio son las desviaciones absolutas mínimas .

El MAE no es idéntico al error cuadrático medio (RMSE), aunque algunos investigadores lo informan e interpretan de esa manera. El MAE es conceptualmente más simple y también más fácil de interpretar que el RMSE: es simplemente la distancia vertical u horizontal absoluta promedio entre cada punto en un diagrama de dispersión y la línea Y=X. En otras palabras, el MAE es la diferencia absoluta promedio entre X e Y. Además, cada error contribuye al MAE en proporción a su valor absoluto. Esto contrasta con el RMSE, que implica elevar al cuadrado las diferencias, de modo que unas pocas diferencias grandes aumentarán el RMSE en mayor medida que el MAE. ^{[ 4 ]}

El error absoluto medio de una variable real c con respecto a la variable aleatoria  X es Siempre que la distribución de probabilidad de X sea tal que exista la esperanza anterior, entonces m es una mediana de X si y solo si m es un minimizador del error absoluto medio con respecto a X. ^{[ 6} ] En particular, m es una mediana muestral si y solo si m minimiza la ^media aritmética de las desviaciones absolutas. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle E(\left|Xc\right|).}$$

En términos más generales, la mediana se define como el mínimo de como se explica en Mediana multivariante (y específicamente en Mediana espacial ). Esta definición de la mediana basada en la optimización es útil en el análisis estadístico de datos, por ejemplo, en la agrupación de k -medianas . $${\displaystyle E(|Xc|-|X|),}$$

Declaración: El clasificador que minimiza es . ${\displaystyle \mathbb {E} |y-{\hat {y}}|}$${\displaystyle {\hat {f}}(x)={\text{Mediana}}(y|X=x)}$

Prueba:

La función de pérdida para la clasificación es Diferenciar con respecto a da Esto significa Por lo tanto,$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathbb {E} [|ya||X=x]\\&=\int _{-\infty }^{\infty }|ya|f_{Y|X}(y)\,dy\\&=\int _{-\infty }^{a}(ay)f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }(ya)f_{Y|X}(y)\,dy.\\\end{alineado}}}$$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}L=\int _{-\infty }^{a}f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }-f_{Y|X}(y)\,dy=0.}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(y)\,dy=\int _{a}^{\infty }f(y)\,dy.}$$$${\displaystyle F_{Y|X}(a)=0.5.}$$

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