Desviación estándar geométrica

En teoría de la probabilidad y estadística , la desviación estándar geométrica ( DSG ) describe la dispersión de un conjunto de números cuyo promedio preferido es la media geométrica . Para este tipo de datos, puede ser preferible a la desviación estándar más común. Cabe destacar que, a diferencia de la desviación estándar aritmética habitual , la desviación estándar geométrica es un factor multiplicativo y, por lo tanto, es adimensional , en lugar de tener la misma dimensión que los valores de entrada. Por consiguiente, la desviación estándar geométrica puede denominarse más apropiadamente factor de desviación estándar geométrica . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Al utilizar el factor de desviación estándar geométrica junto con la media geométrica, debe describirse como "el rango desde (la media geométrica dividida por el factor de desviación estándar geométrica) hasta (la media geométrica multiplicada por el factor de desviación estándar geométrica)", y no se puede sumar ni restar el "factor de desviación estándar geométrica" ​​a la media geométrica. ^{[ 3 ]}

Si la media geométrica de un conjunto de números${\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}}$se denota como${\textstyle \mu _{\mathrm {g} }}$, entonces la desviación estándar geométrica es

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

Si la media geométrica es

$${\displaystyle \mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}$$

Luego, al tomar el logaritmo natural de ambos lados se obtiene:

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$$

El logaritmo de un producto es una suma de logaritmos (suponiendo${\textstyle A_{i}}$es positivo para todos${\textstyle i}$), entonces

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].}$$

Ahora se puede observar que${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }}$es la media aritmética del conjunto${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$Por lo tanto , la desviación estándar aritmética de este mismo conjunto debería ser

$${\displaystyle \ln \sigma _{\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{\mathrm {g} })^{2}}}\,.}$$

Esto se simplifica a

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

La versión geométrica de la puntuación estándar es ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle z={{\ln x-\ln \mu _{\mathrm {g} }} \over \ln \sigma _{\mathrm {g} }}=\log _{\sigma _{\mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).}$$

Si se conocen la media geométrica, la desviación estándar y la puntuación z de un dato, entonces la puntuación bruta se puede reconstruir mediante

$${\displaystyle x=\mu _{\mathrm {g} }{\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.}$$

La desviación estándar geométrica se utiliza como medida de dispersión log-normal de forma análoga a la media geométrica. ^{[ 3 ]} Como la transformación logarítmica de una distribución log-normal da como resultado una distribución normal, vemos que la desviación estándar geométrica es el valor exponenciado de la desviación estándar de los valores transformados logarítmicamente, es decir${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))}$.

Por lo tanto, la media geométrica y la desviación estándar geométrica de una muestra de datos de una población con distribución lognormal pueden utilizarse para hallar los límites de los intervalos de confianza, de forma análoga a como se utilizan la media aritmética y la desviación estándar para delimitar los intervalos de confianza en una distribución normal. Véase la sección sobre distribución lognormal para más detalles.