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Articulo de referencia

Grupo esporádico

En la clasificación matemática de los grupos simples finitos , existen varios grupos que no encajan en ninguna familia infinita. Estos se denominan grupos simples esporádicos , ...

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En la clasificación matemática de los grupos simples finitos , existen varios grupos que no encajan en ninguna familia infinita. Estos se denominan grupos simples esporádicos , grupos finitos esporádicos o simplemente grupos esporádicos .

Un grupo simple es un grupo G que no tiene subgrupos normales excepto el grupo trivial y el propio G. El teorema de clasificación mencionado establece que la lista de grupos simples finitos consta de 18 familias infinitas numerables [ a ] más 26 excepciones que no siguen dicho patrón sistemático. Estas 26 excepciones son los grupos esporádicos. El grupo de Tits a veces se considera un grupo esporádico porque no es estrictamente un grupo de tipo Lie [ 1 ] , en cuyo caso habría 27 grupos esporádicos.

El grupo de monstruos , o gigante amistoso , es el más grande de los grupos esporádicos, y todos menos seis de los otros grupos esporádicos son subcocientes de él. [ 2 ]

Nombres

Cinco de los grupos esporádicos fueron descubiertos por Émile Mathieu en la década de 1860 y los otros veintiuno se encontraron entre 1965 ( J1 ) y 1975 ( J4 ). Se predijo la existencia de varios de estos grupos antes de su construcción. La mayoría de los grupos llevan el nombre del matemático o matemáticos que predijeron su existencia por primera vez. La lista completa es: [ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]

El diagrama muestra las relaciones de subcociente entre los 26 grupos esporádicos . Una línea de conexión significa que el grupo inferior es subcociente del superior, y no hay subcociente esporádico entre ellos. Las generaciones de Robert Griess: 1.ª, 2.ª, 3.ª, Paria

Varias construcciones para estos grupos fueron compiladas por primera vez en Conway et al. (1985) , incluyendo tablas de caracteres , clases de conjugación individuales y listas de subgrupos máximos , así como multiplicadores de Schur y órdenes de sus automorfismos externos . Estos también se encuentran listados en línea en Wilson et al. (1999) , actualizados con sus presentaciones de grupo y semipresentaciones. Los grados de representación fiel mínima o caracteres de Brauer sobre campos de característica p ≥ 0 también han sido calculados para todos los grupos esporádicos, y para algunos de sus grupos de cobertura. Estos se detallan en Jansen (2005) .

Otra excepción en la clasificación de grupos simples finitos es el grupo de Tits T , que a veces se considera de tipo Lie [ 5 ] o esporádico —es casi, pero no estrictamente, un grupo de tipo Lie [ 6 ] — razón por la cual en algunas fuentes el número de grupos esporádicos se da como 27, en lugar de 26. [ 7 ] [ 8 ] En otras fuentes, el grupo de Tits no se considera ni esporádico ni de tipo Lie, o ambos. [ 9 ] El grupo de Tits es el miembro ( n = 0) 2 F 4 (2) ′ de la familia infinita de grupos conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 ) ′ ; por lo tanto, en sentido estricto, no es esporádico ni de tipo Lie. Para n > 0, estos grupos simples finitos coinciden con los grupos de tipo Lie 2 F 4 (2 2 n +1 ) , también conocidos como grupos de Ree de tipo 2 F 4 .

El primer uso del término grupo esporádico podría ser Burnside (1911 , p. 504), donde comenta sobre los grupos de Mathieu: «Estos grupos simples, aparentemente esporádicos, probablemente merecerían un examen más detenido del que han recibido hasta ahora». (En aquel momento, los otros grupos esporádicos aún no se habían descubierto). 

El diagrama arriba a la derecha se basa en Ronan (2006 , p. 247) . No muestra los numerosos subcocientes simples no esporádicos de los grupos esporádicos. 

Organización

Familia feliz

De los 26 grupos esporádicos, 20 pueden verse dentro del grupo monstruo como subgrupos o cocientes de subgrupos ( secciones ). Estos veinte han sido llamados la familia feliz por Robert Griess , y pueden organizarse en tres generaciones. [ 10 ] [ b ]

Primera generación (5 grupos): los grupos de Mathieu

M n para n = 11, 12, 22, 23 y 24 son grupos de permutaciones transitivas múltiples sobre n puntos. Todos ellos son subgrupos de M 24 , que es un grupo de permutaciones sobre 24 puntos. [ 11 ]

Segunda generación (7 grupos): la red de Leech

Todos los subcocientes del grupo de automorfismos de una red en 24 dimensiones llamada red de Leech : [ 12 ]

  • Co 1 es el cociente del grupo de automorfismos por su centro {±1}.
  • Co 2 es el estabilizador de un vector de tipo 2 (es decir, de longitud 2).
  • Co 3 es el estabilizador de un vector de tipo 3 (es decir, de longitud √ 6 ).
  • Suz es el grupo de automorfismos que preserva una estructura compleja (módulo su centro).
  • McL es el estabilizador de un triángulo tipo 2-2-3.
  • HS es el estabilizador de un triángulo tipo 2-3-3.
  • J 2 es el grupo de automorfismos que preservan una estructura cuaterniónica (módulo su centro).

Tercera generación (8 grupos): otros subgrupos del Monstruo

Consta de subgrupos que están estrechamente relacionados con el grupo Monstruo M : [ 13 ]

  • B o F 2 tiene una doble cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 2 en M
  • Fi 24 ′ tiene una triple cubierta que es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en la clase de conjugación "3A").
  • Fi 23 es un subgrupo de Fi 24 ′
  • Fi 22 tiene una doble cubierta que es un subgrupo de Fi 23.
  • El producto de Th = F 3 y un grupo de orden 3 es el centralizador de un elemento de orden 3 en M (en la clase de conjugación "3C").
  • El producto de HN = F 5 y un grupo de orden 5 es el centralizador de un elemento de orden 5 en M
  • El producto de He = F 7 y un grupo de orden 7 es el centralizador de un elemento de orden 7 en M .
  • Finalmente, el grupo Monster en sí se considera perteneciente a esta generación.

(Esta serie continúa: el producto de M 12 y un grupo de orden 11 es el centralizador de un elemento de orden 11 en M .)

El grupo Tits , si se considera un grupo esporádico, pertenecería a esta generación: hay un subgrupo S 4 × 2 F 4 (2) ′ que normaliza un subgrupo 2C 2 de B , dando lugar a un subgrupo 2·S 4 × 2 F 4 (2)′ que normaliza un cierto subgrupo Q 8 del Monster. 2 F 4 (2)′ es también un subcociente del grupo Fischer Fi 22 , y por lo tanto también de Fi 23 y Fi 24 ′, y del Baby Monster B. 2 F 4 ( 2 )′ es también un subcociente del grupo Rudvalis (paria) Ru , y no tiene ninguna implicación en grupos simples esporádicos excepto los ya mencionados.

Parias

Las seis excepciones son J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru y Ly , a veces conocidos como los parias . [ 14 ] [ 15 ]

Tabla de órdenes de grupos esporádicos (con el grupo Tits)

Notas

  1. ↑ Los grupos de orden primo, los grupos alternantes de grado al menos 5, la familia infinita de grupos conmutadores 2 F 4 (2 2 n +1 )′ de grupos de tipo Lie (que contienen el grupo Tits) y 15 familias de grupos de tipo Lie.
  2. ↑ Conway et al. (1985 , p. viii) organiza los 26 grupos esporádicos de forma similar:
    "Los grupos simples esporádicos pueden clasificarse aproximadamente como los grupos de Mathieu, los grupos reticulares de Leech, los grupos de 3-transposición de Fischer, los centralizadores de Monster adicionales y la media docena de casos aislados."
  3. ↑ Aquí se enumeran semipresentaciones de generadores estándar de cada grupo esporádico. La mayoría de los grupos esporádicos tienen múltiples presentaciones y semipresentaciones; se enumeran los ejemplos más destacados.
  4. ↑ Dóndetú=(b2(b2)abb)3{\displaystyle u=(b^{2}(b^{2})abb)^{3}}yv=t(b2(b2)t)2{\displaystyle v=t(b^{2}(b^{2})t)^{2}}cont=abab3a2{\displaystyle t=abab^{3}a^{2}}.

Referencias

  1. ^ Conway y cols . (1985 , pág. viii)
  2. ↑ Griess, Jr. (1998 , pág. 146) 
  3. ↑ Gorenstein, Lyons y Solomon (1998 , págs. 262–302) 
  4. ^ Ronan (2006 , págs. 244-246) 
  5. ↑ Howlett, Rylands y Taylor (2001 , pág. 429)
    "Esto completa la determinación de los generadores de matrices para todos los grupos de tipo Lie, incluidos los grupos retorcidos de Steinberg, Suzuki y Ree (y el grupo de Tits)."
  6. ↑ Gorenstein (1979 , p. 111)
  7. ^ Conway y col. (1985 , pág. viii)
  8. ↑ Hartley y Hulpke (2010 , pág. 106)
    "Los grupos simples finitos son los bloques de construcción de la teoría de grupos finitos. La mayoría se agrupan en unas pocas familias infinitas de grupos, pero hay 26 (o 27 si se cuenta también el grupo de Tits 2 F 4 (2) ′ ) que estas familias infinitas no incluyen."
  9. ↑ Wilson et al. (1999 , Grupos esporádicos y grupos excepcionales de tipo Lie)
  10. ↑ Griess, Jr. (1982 , pág. 91) 
  11. ^ Griess, Jr. (1998 , págs. 54–79) 
  12. ^ Griess, Jr. (1998 , págs. 104-145) 
  13. ^ Griess, Jr. (1998 , págs. 146-150) 
  14. ^ Griess, Jr. (1982 , págs. 91-96) 
  15. ^ Griess, Jr. (1998 , págs.146 , 150-152) 
  16. ↑ Hiss (2003 , pág. 172)
    Tabelle 2. Die Entdeckung der sporadischen Gruppen (Tabla 2. El descubrimiento de los grupos esporádicos)
  17. ↑ Sloane (1996)
  18. ^ Jansen (2005 , págs. 122-123) 
  19. ↑ Nickerson y Wilson (2011 , pág. 365)
  20. 1 2 Wilson et al. (1999)
  21. ↑ Lübeck (2001 , pág. 2151) 

Obras citadas

  • Conway, JH (1968). "Un grupo perfecto de orden 8,315,553,613,086,720,000 y los grupos simples esporádicos" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 61 ( 2): 398– 400. Bibcode : 1968PNAS... 61..398C . doi : 10.1073 / pnas.61.2.398 . MR 0237634. ​​PMC 225171. PMID 16591697. S2CID 29358882. Zbl 0186.32401 .     
  • Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998). La clasificación de los grupos simples finitos, número 3. Mathematical Surveys and Monographs. Vol.  40. Providence, RI: American Mathematical Society . págs.  xiii, 1–362 . doi : 10.1112/S0024609398255457 . ISBN 978-0-8218-0391-2. MR 1490581 . OCLC 6907721813 . S2CID 209854856 .   
  • Griess, Jr., Robert L. (1998). Doce Grupos Esporádicos . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag . págs.  1-169. ISBN 9783540627784. SEÑOR 1707296 . OCLC 38910263 . Zbl 0908.20007 .   
  • Hartley, Michael I.; Hulpke, Alexander (2010), "Polítopos derivados de grupos simples esporádicos" , Contributions to Discrete Mathematics , 5 (2), Alberta, CA: Departamento de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Calgary : 106−118, doi : 10.11575/cdm.v5i2.61945 , ISSN 1715-0868 , MR 2791293 , S2CID 40845205 , Zbl 1320.51021    
  • Silbido, Gerhard (2003). "Die Sporadischen Gruppen (Los grupos esporádicos)" (PDF) . Jahresber. Alemán. Matemáticas.-Verein. (Informe anual de la Asociación Alemana de Matemáticos) . 105 (4): 169-193. ISSN 0012-0456 . SEÑOR 2033760 . Zbl 1042.20007 .   (Alemán)
  • Howlett, RB; Rylands, LJ; Taylor, DE (2001). "Generadores de matrices para grupos excepcionales de tipo Lie" . Journal of Symbolic Computation . 31 (4): 429– 445. doi : 10.1006/jsco.2000.0431 . MR 1823074. S2CID 14682147. Zbl 0987.20003 .   
  • Nickerson, SJ; Wilson, RA (2011). " Semipresentaciones para los grupos simples esporádicos" . Matemáticas experimentales . 14 (3). Oxfordshire: Taylor & Francis : 359−371. doi : 10.1080/10586458.2005.10128927 . MR 2172713. S2CID 13100616. Zbl 1087.20025 .   
  • Wilson, RA (1998). «Capítulo: Un atlas de representaciones de grupos esporádicos» (PDF) . El atlas de grupos finitos: diez años después (Serie de notas de clase de la LMS 249) . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. págs. 261–273 . doi : 10.1017/CBO9780511565830.024 . ISBN  9780511565830. SEÑOR 1647427 . OCLC 726827806 . S2CID 59394831 . Zbl 0914.20016 .