Número complejo dividido

En álgebra , un número complejo dividido (o número hiperbólico , también número perplejo , número doble ) se basa en una unidad hiperbólica j que satisface${\displaystyle j^{2}=1}$, dónde${\displaystyle j\neq \pm 1}$Un número complejo dividido tiene dos componentes de números reales x e y , y se escribe${\displaystyle z=x+yj.}$El conjugado de z es${\displaystyle z^{*}=x-yj.}$Desde${\displaystyle j^{2}=1,}$El producto de un número z por su conjugado es${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}$una forma cuadrática isotrópica .

La colección D de todos los números complejos divididos${\displaystyle z=x+yj}$para​${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$⁠ forma un álgebra sobre el campo de los números reales . Dos números complejos divididos w y z tienen un producto wz que satisface${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$ Esta composición de N sobre el producto algebraico hace que ( D , +, ×, *) sea un álgebra de composición .

Un álgebra similar basada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y operaciones de suma y multiplicación componente a componente ,${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}$donde xy esla forma cuadrática en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$También forma un espacio cuadrático . El isomorfismo de anillos$${\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}}$$ es una isometría de espacios cuadráticos .

Los números complejos divididos reciben muchos otros nombres; véase la sección  Sinónimos a continuación. Consulte el artículo Variable motora para conocer las funciones de un número complejo dividido.

Un número complejo dividido es un par ordenado de números reales, escrito en la forma

$${\displaystyle z=x+jy}$$

donde x e y son números reales y la unidad hiperbólica ^{[ 1 ]} j , que no es un número real sino una cantidad independiente, satisface

$${\displaystyle j^{2}=+1}$$

En el campo de los números complejos, la unidad imaginaria i satisface${\displaystyle i^{2}=-1.}$El cambio de signo distingue los números complejos divididos de los números complejos ordinarios.

El conjunto de todos esos z se llama plano complejo partido . La suma y la multiplicación de números complejos partidos se definen por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}$$

Esta multiplicación es conmutativa , asociativa y se distribuye con respecto a la suma.

Isomorfismo

Sobre la base {e, e*} queda claro que los números complejos divididos son isomorfos en anillo a la suma directa .${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$con la suma y la multiplicación definidas por pares.

La base diagonal para el plano de números complejos divididos se puede invocar utilizando un par ordenado ( x , y ) para${\displaystyle z=x+jy}$y haciendo el mapeo

$${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}$$

Ahora la forma cuadrática es${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}$Además,

$${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$$

de esta manera , las dos hipérbolas parametrizadas se ponen en correspondencia con S.

La acción del versor hiperbólico${\displaystyle e^{bj}\!}$Entonces, bajo esta transformación lineal, corresponde a un mapeo de compresión.

$${\displaystyle \sigma$$ :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}

Aunque se encuentran en la misma clase de isomorfismo en la categoría de anillos , el plano complejo partido y la suma directa de dos rectas reales difieren en su disposición en el plano cartesiano . El isomorfismo, como aplicación planar, consiste en una rotación en sentido antihorario de 45° y una dilatación de √2 . La dilatación en particular ha causado a veces confusión en relación con las áreas de un sector hiperbólico . De hecho, el ángulo hiperbólico corresponde al área de un sector en el${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$plano con su "círculo unitario" dado por${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}$La hipérbola unitaria contraída${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}$del plano complejo dividido tiene solo la mitad del área en el espacio de un sector hiperbólico correspondiente. Tal confusión puede perpetuarse cuando la geometría del plano complejo dividido no se distingue de la de ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$.​

Un espacio vectorial real bidimensional con el producto interno de Minkowski se denomina espacio de Minkowski de dimensión (1 + 1) , a menudo denotado como ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}$⁠ Igual que gran parte de la geometría del plano euclidiano ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$La geometría del plano de Minkowski se puede describir con números complejos .${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$Se puede describir con números complejos divididos.

El conjunto de puntos

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}$$

es una hipérbola para cada a distinto de cero en${\displaystyle \mathbb {R} .}$La hipérbola consta de una rama derecha y una rama izquierda que pasan por ( a , 0) y (−a , 0) . El caso a = 1 se denomina hipérbola unitaria . La hipérbola conjugada viene dada por

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}$$

con una rama superior e inferior que pasan por (0, a ) y (0, −a ) . La hipérbola y la hipérbola conjugada están separadas por dos asíntotas diagonales que forman el conjunto de elementos nulos:

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$$

Estas dos líneas (a veces llamadas cono nulo ) son perpendiculares en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y tienen pendientes de ±1.

Se dice que los números complejos divididos z y w son hiperbólico-ortogonales si ⟨ z , w ⟩ = 0 . Si bien es análoga a la ortogonalidad ordinaria, particularmente como se conoce en la aritmética de números complejos, esta condición es más sutil. Constituye la base del concepto de hiperplano simultáneo en el espacio-tiempo.

El análogo de la fórmula de Euler para los números complejos divididos es

$${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}$$

Esta fórmula se puede derivar de una expansión en serie de potencias usando el hecho de que cosh solo tiene potencias pares mientras que sinh tiene potencias impares. ^{[ 2 ]} Para todos los valores reales del ángulo hiperbólico θ, el número complejo dividido λ = exp( jθ ) tiene norma 1 y se encuentra en la rama derecha de la hipérbola unitaria. Los números como λ se han llamado versores hiperbólicos .

Dado que λ tiene módulo 1, multiplicar cualquier número complejo dividido z por λ conserva el módulo de z y representa una rotación hiperbólica (también llamada transformación de Lorentz o transformación de compresión ). Multiplicar por λ conserva la estructura geométrica, transformando las hipérbolas en sí mismas y el cono nulo en sí mismo.

El conjunto de todas las transformaciones del plano complejo dividido que preservan el módulo (o equivalentemente, el producto interno) forma un grupo llamado grupo ortogonal generalizado O(1, 1) . Este grupo consta de las rotaciones hiperbólicas, que forman un subgrupo denotado SO ⁺ (1, 1) , combinado con cuatro reflexiones discretas dadas por

$${\displaystyle z\mapsto \pm z}$$y${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

El mapa exponencial

$${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$$

Enviar θ a una rotación mediante exp( jθ ) es un isomorfismo de grupo ya que se aplica la fórmula exponencial usual:

$${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}$$

Si un número complejo dividido z no se encuentra en una de las diagonales, entonces z tiene una descomposición polar .

Como álgebra cuadrática , los números complejos divididos pueden describirse como el cociente de un anillo de polinomios .${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$por un ideal , en este caso generado por el polinomio${\displaystyle x^{2}-1,}$

$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}$$

La imagen de x en el cociente es la unidad hiperbólica j . Con esta descripción, queda claro que los números complejos divididos forman un álgebra conmutativa sobre los números reales. El álgebra no es un cuerpo, ya que los elementos nulos no son invertibles. Todos los elementos nulos distintos de cero son divisores de cero .

Dado que la suma y la multiplicación son operaciones continuas con respecto a la topología usual del plano, los números complejos divididos forman un anillo topológico .

El álgebra de números complejos divididos forma un álgebra de composición ya que

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}$$

para cualesquiera números z y w .

De la definición se desprende que el anillo de números complejos escindidos es isomorfo al anillo de grupo .${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}$del grupo cíclico C ₂ sobre los números reales${\displaystyle \mathbb {R} .}$⁠

Los elementos del componente identidad en el grupo de unidades en D tienen cuatro raíces cuadradas.: decir${\displaystyle p=\exp(q),\ \ q\in D.{\text{then}}\pm \exp({\frac {q}{2}})}$son raíces cuadradas de p . Además,${\displaystyle \pm j\exp({\frac {q}{2}})}$también son raíces cuadradas de p .

Los idempotentes${\displaystyle {\frac {1\pm j}{2}}}$son sus propias raíces cuadradas, y la raíz cuadrada de${\displaystyle s{\frac {1\pm j}{2}},\ \ s>0,\ {\text{is}}\ {\sqrt {s}}{\frac {1\pm j}{2}}}$

Utilizando los conceptos de matrices y multiplicación de matrices , los números complejos divididos pueden representarse en álgebra lineal. La unidad real 1 y la unidad hiperbólica j pueden representarse mediante cualquier par de matrices I y J que satisfagan I² = ^J² = I e IJ = JI = J, ^con J ≠ ± I. Entonces , un número complejo dividido a + bj puede representarse mediante la matriz aI + bJ , y todas las reglas ordinarias de la aritmética de números complejos divididos pueden derivarse de las reglas de la aritmética matricial.

La opción más común es representar 1 y j mediante la matriz identidad de 2 × 2 I y la matriz J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Entonces, un número complejo dividido arbitrario a + bj puede representarse mediante:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

En términos más generales, cualquier matriz de 2 × 2 de valores reales con traza de cero y determinante de menos uno al cuadrado es I , por lo que podría elegirse para J. En cualquier caso, det( aI + bJ ) = a ² − b ² , el módulo al cuadrado del número complejo dividido.

También se podrían utilizar matrices más grandes; por ejemplo, 1 podría representarse mediante la matriz identidad de 4 × 4 y j podría representarse mediante la matriz de Dirac γ ⁰ .

El uso de números complejos divididos se remonta a 1848 cuando James Cockle reveló sus tessarinas . ^{[ 3 ]} William Kingdon Clifford usó números complejos divididos para representar sumas de espines. Clifford introdujo el uso de números complejos divididos como coeficientes en un álgebra de cuaterniones ahora llamada bicuaterniones divididos . Llamó a sus elementos "motores", un término paralelo con la acción de "rotor" de un número complejo ordinario tomado del grupo del círculo . Extendiendo la analogía, las funciones de una variable motora contrastan con las funciones de una variable compleja ordinaria .

Desde finales del siglo XX, la multiplicación de complejo dividido se ha visto comúnmente como una transformación de Lorentz de un plano espaciotemporal . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} En ese modelo, el número z = x + y j representa un evento en un plano espaciotemporal, donde x se mide en segundos e y en segundos luz . El futuro corresponde al cuadrante de eventos { z  : | y | < x } , que tiene la descomposición polar de complejo dividido.${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$El modelo indica que se puede alcanzar z desde el origen entrando en un sistema de referencia de rapidez a y esperando ρ segundos. La ecuación compleja dividida $${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$$ Expresar los productos en la hipérbola unitaria ilustra la aditividad de las rapidezs para velocidades colineales. La simultaneidad de los eventos depende de la rapidez a ; $${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}$$ es la línea de eventos simultánea con el origen en el marco de referencia con rapidez a .

Dos eventos z y w son hiperbólicamente ortogonales cuando${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0}$⁠ . Los eventos canónicos exp( aj ) y j exp( aj ) son hiperbólicos ortogonales y se encuentran en los ejes de un marco de referencia en el que los eventos simultáneos con el origen son proporcionales a j exp( aj ) .

En 1933, Max Zorn estaba usando los octoniones divididos y notó la propiedad del álgebra de composición . Se dio cuenta de que la construcción de Cayley-Dickson , utilizada para generar álgebras de división, podía modificarse (con un factor gamma, γ ) para construir otras álgebras de composición, incluyendo los octoniones divididos. Su innovación fue perpetuada por Adrian Albert , Richard D. Schafer y otros. ^{[ 10 ]} El factor gamma, con R como cuerpo base, construye números complejos divididos como un álgebra de composición. Al reseñar a Albert para Mathematical Reviews , NH McCoy escribió que había una "introducción de algunas álgebras nuevas de orden 2 ^e sobre F que generalizan las álgebras de Cayley-Dickson". ^{[ 11 ]} Tomando F = R y e = 1 corresponde al álgebra de este artículo.

En 1935 JC Vignaux y A. Durañona y Vedia desarrollaron el álgebra geométrica compleja dividida y la teoría de funciones en cuatro artículos en Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Universidad Nacional de La Plata , República Argentina (en español). Estos ensayos expositivos y pedagógicos presentaron el tema para una amplia apreciación. ^{[ 12 ]}

En 1941, EF Allen utilizó la aritmética geométrica de complejo dividido para establecer la hipérbola de nueve puntos de un triángulo inscrito en zz ^∗ = 1 . ^{[ 13 ]} 

En 1956, Mieczyslaw Warmus publicó «Cálculo de aproximaciones» en el Bulletin de l'Académie polonaise des sciences (véase el enlace en las referencias). Desarrolló dos sistemas algebraicos, a los que denominó «números aproximados», el segundo de los cuales constituye un álgebra real. ^{[ 14 ]} DH Lehmer reseñó el artículo en Mathematical Reviews y observó que este segundo sistema era isomorfo a los números «complejos hiperbólicos», tema de este artículo.

En 1961, Warmus continuó su exposición, refiriéndose a los componentes de un número aproximado como el punto medio y el radio del intervalo indicado.

Diferentes autores han utilizado una gran variedad de nombres para los números complejos divididos. Algunos de ellos son:

• Tessarinas ( reales ) , James Cockle (1848)
• motores ( algebraicos ) , W.K. Clifford (1882)
• números complejos hiperbólicos , JC Vignaux (1935), G. Cree (1949) ^{[ 15 ]}
• Números bireales , U. Bencivenga (1946)
• números hiperbólicos reales , N. Smith (1949) ^{[ 16 ]}
• números aproximados , Warmus (1956), para su uso en análisis de intervalos
• Números dobles , IM Yaglom (1968), Kantor y Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
• números hiperbólicos , W. Miller y R. Boehning (1968), ^{[ 17 ]} G. Sobczyk (1995)
• números anormales complejos , W. Benz (1973)
• números perplejos , P. Fjelstad (1986) y Poodiack & LeClair (2009)
• contracomplejo o hiperbólico , Carmody (1988)
• Números de Lorentz , FR Harvey (1990)
• números semicomplejos , F. Antonuccio (1994)
• números paracomplejos , Cruceanu, Fortuny y Gadea (1996)
• números complejos divididos , B. Rosenfeld (1997) ^{[ 18 ]}
• números espaciotemporales , N. Borota (2000)
• Números de estudio , P. Lounesto (2001)
• dos números complejos , S. Olariu (2002)
• binarios divididos , K. McCrimmon (2004)

• espacio Minkowski
• Cuaternión dividido
• Número hipercomplejo

• Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli , Ser (3) v.2 No7. SEÑOR 0021123 . 
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