Biquaternión dividido

En matemáticas , un biquaternión dividido es un número hipercomplejo de la forma

${\displaystyle q=w+x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} ,}$

donde w , x , y y z son números complejos desdoblados e i, j y k se multiplican como en el grupo de cuaterniones . Dado que cada coeficiente w , x , y , z abarca dos dimensiones reales , el biquaternión desdoblado es un elemento de un espacio vectorial de ocho dimensiones . Considerando que conlleva una multiplicación, este espacio vectorial es un álgebra sobre el cuerpo real, o un álgebra sobre un anillo donde los números complejos desdoblados forman el anillo. Esta álgebra fue introducida por William Kingdon Clifford en un artículo de 1873 para la London Mathematical Society . Desde entonces se ha señalado repetidamente en la literatura matemática, de diversas formas como una desviación en la terminología, una ilustración del producto tensorial de las álgebras y como una ilustración de la suma directa de las álgebras . Los algebristas han identificado los biquaterniones desdoblados de diversas formas; consulte § Sinónimos a continuación.

Un biquaternión partido es isomorfo en anillo al álgebra de Clifford Cl _0,3 ( R ). Esta es el álgebra geométrica generada por tres direcciones de base unitaria imaginarias ortogonales, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } según la regla de combinación

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}}$

dando un álgebra abarcada por los 8 elementos base {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ } , con ( e ₁ e ₂ ) ² = ( e ₂ e ₃ ) ² = ( e ₃ e ₁ ) ² = −1 y ω ² = ( e ₁ e ₂ e ₃ ) ² = +1. El subálgebra abarcada por los 4 elementos {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ } es el anillo de división de los cuaterniones de Hamilton , H = Cl _0,2 ( R ) . Por lo tanto, se puede ver que

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \otimes \mathbf {D} }$

donde D = Cl _1,0 ( R ) es el álgebra abarcada por {1, ω} , el álgebra de los números complejos descompuestos . De manera equivalente,

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

Los biquaterniones escindidos forman un anillo asociativo , como se desprende de la consideración de las multiplicaciones en su base {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Cuando ω se añade al grupo de cuaterniones se obtiene un grupo de 16 elementos .

( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Dado que los elementos {1, i, j, k} del grupo de cuaterniones pueden tomarse como base del espacio de biquaterniones divididos, se puede comparar con un espacio vectorial . Pero los números complejos divididos forman un anillo, no un cuerpo, por lo que el espacio vectorial no es apropiado. En cambio, el espacio de biquaterniones divididos forma un módulo libre . Este término estándar de la teoría de anillos expresa una similitud con un espacio vectorial, y esta estructura de Clifford en 1873 es un ejemplo. Los biquaterniones divididos forman un álgebra sobre un anillo , pero no un anillo de grupo .

La suma directa del anillo de división de cuaterniones consigo mismo se denota . El producto de dos elementos y es en esta álgebra de suma directa . ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$${\displaystyle (a\omás b)}$${\displaystyle (c\oplus d)}$${\displaystyle ac\oplus bd}$

Proposición: El álgebra de biquaterniones divididos es isomorfa a${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

Prueba: Todo biquaternión dividido tiene una expresión q = w + z ω donde w y z son cuaterniones y ω ² = +1. Ahora bien, si p = u + v ω es otro biquaternión dividido, su producto es

${\displaystyle pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .}$

La aplicación del isomorfismo de biquaterniones divididos a está dada por ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$

${\displaystyle p\mapsto (u+v)\oplus (uv),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (wz).}$

En , el producto de estas imágenes, según el producto algebraico de indicado anteriormente, es ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$

${\displaystyle (u+v)(w+z)\oplus (uv)(wz).}$

Este elemento es también la imagen de pq bajo la aplicación en Por lo tanto los productos concuerdan, la aplicación es un homomorfismo; y como es biyectiva , es un isomorfismo. ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .}$

Aunque los biquaterniones divididos forman un espacio de ocho dimensiones como los biquaterniones de Hamilton, sobre la base de la Proposición es evidente que esta álgebra se divide en la suma directa de dos copias de los cuaterniones reales.

Los biquaterniones divididos no deben confundirse con los biquaterniones (ordinarios) introducidos previamente por William Rowan Hamilton . Los biquaterniones de Hamilton son elementos del álgebra

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .}$

Los siguientes términos y compuestos se refieren al álgebra bicuaterniónica dividida:

• Bicuaterniones elípticos – Clifford 1873, Rooney 2007
• Clifford biquaternion – Joly 1905, van der Waerden 1985
• dicuaterniones – Rosenfeld 1997
• ${\displaystyle \mathbf {D} \otimes \mathbf {H} }$donde D = números complejos divididos – Bourbaki 2013, Rosenfeld 1997
• ${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} }$, la suma directa de dos álgebras de cuaterniones – van der Waerden 1985

• Octoniones divididos