Reptil

En la geometría de las teselaciones , un rep-tiles o reptil es una figura que puede dividirse en copias más pequeñas de la misma figura. El término fue acuñado como un juego de palabras con reptiles por el matemático aficionado Solomon W. Golomb y popularizado por Martin Gardner en su columna " Juegos Matemáticos " en el número de mayo de 1963 de Scientific American . ^{[ 1 ]} En 2012 , Lee Sallows introdujo en Mathematics Magazine una generalización de los rep-tiles llamada conjuntos de teselas autoensamblables . ^{[ 2 ]}

Un rep-tiles se etiqueta como rep -n si la disección utiliza n copias. Dicha forma constituye necesariamente el prototiles para un teselado del plano, en muchos casos un teselado no periódico . Una disección de rep-tiles que utiliza diferentes tamaños de la forma original se denomina rep-tiles irregular o irreptiles. Si la disección utiliza n copias, se dice que la forma es irrep- n . Si todos estos sub-tiles son de diferentes tamaños, el teselado se describe además como perfecto. Una forma que es rep -n o irrep- n es trivialmente también irrep-( kn − k + n ) para cualquier k > 1, al reemplazar el teselado más pequeño en la disección rep -n por n teselados aún más pequeños. El orden de una forma, ya sea utilizando rep-tiles o irrep-tiles, es el número mínimo posible de teselados que sea suficiente. ^{[ 3 ]}      

Cada cuadrado , rectángulo , paralelogramo , rombo o triángulo es rep-4. El hexiadaño esfinge (ilustrado arriba) es rep-4 y rep-9, y es uno de los pocos pentágonos autorreplicantes conocidos . La isla de Gosper es rep-7. El copo de nieve de Koch es irrep-7: seis pequeños copos de nieve del mismo tamaño, junto con otro copo de nieve con el triple de área que los más pequeños, pueden combinarse para formar un único copo de nieve más grande.

Un triángulo rectángulo con longitudes de lados en proporción 1:2 es rep-5, y su disección rep-5 forma la base del teselado aperiódico de molinete . Según el teorema de Pitágoras , la hipotenusa , o lado inclinado del triángulo rep-5, tiene una longitud de √5 .

La norma internacional ISO 216 define las dimensiones de las hojas de papel utilizando la regla √2 , en la que el lado largo de una hoja rectangular es la raíz cuadrada de dos veces el lado corto. Los rectángulos con esta forma son de regla √2. Un rectángulo (o paralelogramo) es de regla √n si su relación de aspecto es √n : 1. Un triángulo rectángulo isósceles también es de regla √2.

Algunas figuras geométricas, como el cuadrado y el triángulo equilátero , son simétricas y permanecen idénticas al reflejarse en un espejo . Otras, como la esfinge , son asimétricas y existen en dos formas distintas relacionadas por la reflexión especular. La disección de la esfinge y de otras figuras geométricas asimétricas requiere el uso tanto de la forma original como de su imagen especular.

Algunas piezas de rep-tiles se basan en poliformas como polidiamantes y poliominós , o en formas creadas al colocar triángulos equiláteros y cuadrados borde con borde.

Cuadrícula

Si un poliominó es rectificable, es decir, capaz de recubrir un rectángulo , entonces también será una rep-baldosa, ya que el rectángulo tendrá una relación de longitud de lado entera y, por lo tanto, recubrirá un cuadrado . Esto se puede observar en los octominós , que se crean a partir de ocho cuadrados. Dos copias de algunos octominós recubren un cuadrado; por lo tanto, estos octominós también son rep-baldosas de 16 repeticiones.

Cuatro copias de algunos nonóminos y nonakings cubrirán un cuadrado, por lo tanto, estas poliformas también son rep-36 rep-tiles.

triángulos equiláteros

De manera similar, si un polidiamante recubre un triángulo equilátero, también será un rep-tiles.

triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo recto de 90°. Dos formas particulares de triángulo rectángulo han atraído la atención de los investigadores de reptiles: el triángulo de 45°-90°-45° y el triángulo de 30°-60°-90°.

triángulos de 45°-90°-45°

Las poliformas basadas en triángulos rectángulos isósceles , con lados en proporción 1 : 1 : √ 2 , se conocen como poliabolos . Un número infinito de ellos son rep-tiles. De hecho, el rep-tiles más simple de todos es un único triángulo rectángulo isósceles. Es rep-2 cuando se divide por una sola línea que biseca el ángulo recto a la hipotenusa . Los rep-tiles rep-2 también son rep-2 ⁿ y los triángulos rep-4,8,16+ producen más rep-tiles. Estos se encuentran descartando la mitad de las subcopias y permutando el resto hasta que sean simétricos respecto a un triángulo rectángulo. En otras palabras, dos copias cubrirán un triángulo rectángulo. Uno de estos nuevos rep-tiles recuerda al pez formado por tres triángulos equiláteros .    

Triángulos de 30°, 60° y 90°

Las poliformas basadas en triángulos rectángulos de 30°-60°-90°, con lados en proporción 1  : √ 3 : 2, se conocen como polidrafteros . Algunos son idénticos a los polidiamantes . ^{[ 4 ]}   

Muchas de las rep-teselas comunes son rep- n ² para todos los valores enteros positivos de n . En particular, esto es cierto para tres trapecios incluyendo el formado por tres triángulos equiláteros, para tres hexágonos paralelos a los ejes (el L-tromino, L-tetromino y P-pentomino), y el hexiamond esfinge. ^{[ 5 ]} Además, muchas rep-teselas, particularmente aquellas con rep- n más alto , pueden ser auto-teseladas de diferentes maneras. Por ejemplo, el L-tetramino rep-9 tiene al menos catorce rep-teselados diferentes. El hexiamond esfinge rep-9 también puede ser teselado de diferentes maneras. 

Las rep-tiles más conocidas son polígonos con un número finito de lados, pero algunas figuras con un número infinito de lados también pueden ser rep-tiles. Por ejemplo, el triángulo teracónico , o triángulo con cuernos, es rep-4. También es un ejemplo de rep-tile fractal .

Los reptiles triangulares y cuadriláteros (de cuatro lados) son comunes, pero los reptiles pentagonales son raros. Durante mucho tiempo, se creyó que la esfinge era el único ejemplo conocido, pero Karl Scherer y George Sicherman encontraron más ejemplos, incluyendo una pirámide doble y una versión alargada de la esfinge. ^{[ 6 ]} Sin embargo, la esfinge y sus versiones extendidas son los únicos pentágonos conocidos que pueden ser reptiles con copias iguales. ^{[ 7 ]}

Entre los polígonos regulares, solo el triángulo y el cuadrado pueden dividirse en copias más pequeñas e iguales. Sin embargo, un hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros, cada uno de los cuales puede dividirse en un hexágono regular y tres triángulos equiláteros más. Esta es la base para un recubrimiento infinito del hexágono con hexágonos. Por lo tanto, el hexágono es un irreptil infinito o irreptil-infinito.

• Mosaico – Imagen formada por pequeñas piezas de colores 
• Autorreplicación : tipo de comportamiento de un sistema dinámico. 
• Juego de baldosas autoadhesivas : conjunto de formas que se pueden revestir con réplicas más pequeñas del mismo conjunto. 
• Reptiles (MC Escher) – Litografía de MC Escher, 1943 

• Gardner, M. (2001), "Rep-Tiles", The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems , Nueva York: WW Norton, págs . 46–58 
• Gardner, M. (1991), "Capítulo 19: Rep-Tiles, figuras que replican en el plano", The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions , Chicago, IL: Chicago University Press, pp . 222–233 
• Langford, CD (1940), "Usos de un rompecabezas geométrico", The Mathematical Gazette , 24 (260): 209– 211, doi : 10.2307/3605717 , JSTOR 3605717 
• Niţică, Viorel (2003), "Rep-tiles revisited", MASS selecta , Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 205-217 , MR 2027179  
• Sallows, Lee (2012), "Sobre conjuntos de teselas autoensamblables", Mathematics Magazine , 85 (5): 323–333 , doi : 10.4169/math.mag.85.5.323 , MR 3007213 
• Scherer, Karl (1987), Un viaje desconcertante a los reptiles y animales relacionados.
• Wells, D. (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Londres: Penguin, págs . 213–214