Juego de baldosas autoadhesivas

Un conjunto de teselas autoensamblables , o setiset , de orden n es un conjunto de n formas o piezas, generalmente planas, cada una de las cuales puede ser recubierta con réplicas más pequeñas del conjunto completo de n formas. Es decir, las n formas pueden ensamblarse de n maneras diferentes para crear copias más grandes de sí mismas, donde el aumento de escala es el mismo en cada caso. La Figura 1 muestra un ejemplo para n = 4 usando decominoes de formas distintas . El concepto puede extenderse para incluir piezas de dimensiones superiores. El nombre setiset fue acuñado por Lee Sallows en 2012, ^{[ 1 ] [ 2 ]} pero el problema de encontrar tales conjuntos para n = 4 fue planteado décadas antes por C. Dudley Langford, y Gardner publicó previamente ejemplos para poliabolos (descubiertos por Martin Gardner , Wade E. Philpott y otros) y poliominós (descubiertos por Maurice J. Povah). ^{[ 3 ]}

De la definición anterior se deduce que un conjunto compuesto por n piezas idénticas es lo mismo que una «baldosa autorreplicante» o rep-baldosa , de la cual los conjuntos son, por lo tanto, una generalización. ^{[ 4 ]} Los conjuntos que utilizan n formas distintas, como la Figura 1, se denominan perfectos . La Figura 2 muestra un ejemplo para n = 4, que es imperfecto porque dos de las formas componentes son iguales.

Las formas empleadas en un conjunto no tienen por qué ser regiones conectadas . También se permiten piezas disjuntas compuestas por dos o más islas separadas. Dichas piezas se describen como desconectadas o débilmente conectadas (cuando las islas se unen solo en un punto), como se observa en el conjunto que se muestra en la Figura 3.

El número mínimo de piezas en un conjunto es dos. La figura 4 muestra una familia infinita de conjuntos de orden 2, cada uno compuesto por dos triángulos, P y Q. Como se muestra, estos últimos pueden unirse mediante una bisagra para formar un triángulo compuesto con la misma forma que P o Q , dependiendo de si la bisagra está completamente abierta o completamente cerrada. Este ejemplar inusual constituye, por lo tanto, un ejemplo de disección mediante bisagra .

Las propiedades de los conjuntos implican que sus piezas forman teselaciones de sustitución , o teselaciones en las que las piezas originales pueden diseccionarse o combinarse para producir duplicados más pequeños o más grandes de sí mismas. Claramente, las acciones gemelas de formar copias cada vez más grandes (conocidas como inflación) o disecciones cada vez más pequeñas (deflación) pueden repetirse indefinidamente. De esta manera, los conjuntos pueden producir teselaciones no periódicas. Sin embargo, ninguna de las teselaciones no periódicas descubiertas hasta ahora se considera aperiódica , ya que las piezas originales siempre pueden reorganizarse para producir una teselación periódica. La figura 5 muestra las dos primeras etapas de la inflación de un conjunto de orden 4 que conducen a una teselación no periódica.

Además de los conjuntos de teselas auto-revestidas, que pueden interpretarse como bucles de longitud 1, existen bucles más largos, o cadenas cerradas de conjuntos, en los que cada conjunto reviste a su sucesor. ^{[ 5 ]} La figura 6 muestra un par de conjuntos de decominoes que se revestieron mutuamente , es decir, un bucle de longitud 2. Sallows y Schotel realizaron una búsqueda exhaustiva de conjuntos de orden 4 compuestos por octominós . Además de siete conjuntos de teselas ordinarios (es decir, bucles de longitud 1), encontraron una desconcertante variedad de bucles de todas las longitudes hasta un máximo de 14. El número total de bucles identificados fue de casi un millón y medio. Aún queda por investigar en esta área, pero parece seguro suponer que otras formas también pueden implicar bucles. ^{[ 6 ]}

Hasta la fecha, se han utilizado dos métodos para generar conjuntos. En el caso de conjuntos compuestos por figuras como los poliominós , que implican tamaños de piezas enteros, es posible realizar una búsqueda exhaustiva por ordenador, siempre que n , el número de piezas involucradas, no sea prohibitivo. Se demuestra fácilmente que n debe ser entonces un cuadrado perfecto . ^{[ 4 ]} Las figuras 1, 2, 3, 5 y 6 son ejemplos obtenidos mediante este método.

Alternativamente, existe un método mediante el cual se pueden diseccionar múltiples copias de una rep-tiles de ciertas maneras para obtener formas que crean conjuntos. Las figuras 7 y 8 muestran conjuntos producidos por este método, en los que cada pieza es la unión de 2 y 3 rep-tiles, respectivamente. En la figura 8 se puede ver cómo las 9 piezas superiores juntas recubren las 3 formas de rep-tiles inferiores, mientras que cada una de las 9 piezas está formada a su vez por la unión de 3 de dichas formas de rep-tiles. Por lo tanto, cada forma puede recubrirse con duplicados más pequeños del conjunto completo de 9. ^{[ 4 ]}

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