corchete de Poisson

En matemáticas y mecánica clásica , el corchete de Poisson es una operación binaria importante en la mecánica hamiltoniana , que desempeña un papel central en las ecuaciones de movimiento de Hamilton, las cuales rigen la evolución temporal de un sistema dinámico hamiltoniano . El corchete de Poisson también distingue una cierta clase de transformaciones de coordenadas, llamadas transformaciones canónicas , que mapean sistemas de coordenadas canónicas en otros sistemas de coordenadas canónicas. Un "sistema de coordenadas canónicas" consta de variables canónicas de posición y momento (a continuación simbolizadas por${\displaystyle q_{i}}$y${\displaystyle p_{i}}$, respectivamente) que satisfacen las relaciones canónicas del corchete de Poisson. El conjunto de posibles transformaciones canónicas es siempre muy amplio. Por ejemplo, a menudo es posible elegir el hamiltoniano mismo.${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}$como una de las nuevas coordenadas de momento canónicas.

En un sentido más general, el corchete de Poisson se utiliza para definir un álgebra de Poisson , de la cual el álgebra de funciones en una variedad de Poisson es un caso particular. Existen otros ejemplos generales: aparece en la teoría de las álgebras de Lie , donde el álgebra tensorial de un álgebra de Lie forma un álgebra de Poisson; una construcción detallada de cómo se produce esto se presenta en el artículo sobre el álgebra envolvente universal . Las deformaciones cuánticas del álgebra envolvente universal conducen a la noción de grupos cuánticos .

Todos estos objetos reciben su nombre en honor al matemático francés Siméon Denis Poisson . Él introdujo el corchete de Poisson en su tratado de mecánica de 1809. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dadas dos funciones f y g que dependen del espacio de fases y del tiempo, su corchete de Poisson${\displaystyle \{f,g\}}$es otra función que depende del espacio de fases y del tiempo. Las siguientes reglas se cumplen para cualesquiera tres funciones.${\displaystyle f,\,g,\,h}$del espacio de fases y del tiempo:

Anticonmutatividad

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Bilinealidad

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},}$${\displaystyle \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

La regla de Leibniz

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

Identidad jacobina

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Además, si una función${\displaystyle k}$es constante en el espacio de fases (pero puede depender del tiempo), entonces${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$para cualquier${\displaystyle f}$.

En coordenadas canónicas (también conocidas como coordenadas de Darboux )${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$en el espacio de fases , dadas dos funciones${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$y${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$, ^{[ Nota 1 ]} el corchete de Poisson toma la forma $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

Los corchetes de Poisson de las coordenadas canónicas son $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker .

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton tienen una expresión equivalente en términos del corchete de Poisson. Esto se puede demostrar de forma más directa en un sistema de coordenadas explícito. Supongamos que${\displaystyle f(p,q,t)}$es una función en la variedad de trayectorias de la solución. Entonces, a partir de la regla de la cadena multivariable , $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

Además, uno puede tomar${\displaystyle p=p(t)}$y${\displaystyle q=q(t)}$ser soluciones a las ecuaciones de Hamilton ; es decir, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}=\{q,{\mathcal {H}}\},\\{\frac {dp}{dt}}&=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=\{p,{\mathcal {H}}\}.\end{aligned}}}$$

Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la evolución temporal de una función${\displaystyle f}$En una variedad simpléctica se puede dar como una familia uniparamétrica de simplectomorfismos (es decir, transformaciones canónicas , difeomorfismos que preservan el área), con el tiempo${\displaystyle t}$siendo el parámetro: el movimiento hamiltoniano es una transformación canónica generada por el hamiltoniano. Es decir, los corchetes de Poisson se conservan en él, de modo que en cualquier momento${\displaystyle t}$en la solución de las ecuaciones de Hamilton, $${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{{\mathcal {H}},\cdot \})p(0),}$$ pueden servir como coordenadas de corchetes. Los corchetes de Poisson son invariantes canónicos .

Dejando caer las coordenadas, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{{\mathcal {H}},\cdot \}\right)f.}$$

El operador en la parte convectiva de la derivada,${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{{\mathcal {H}},\cdot \}}$, a veces se le denomina liouvilliano (véase el teorema de Liouville (hamiltoniano) ).

El concepto de corchetes de Poisson se puede extender al de matrices definiendo la matriz de Poisson.

Consideremos la siguiente transformación canónica:$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$Definición${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$, la matriz de Poisson se define como${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$, dónde${\displaystyle J}$es la matriz simpléctica bajo las mismas convenciones utilizadas para ordenar el conjunto de coordenadas. De la definición se deduce que:$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

La matriz de Poisson satisface las siguientes propiedades conocidas:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

donde el${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$Se conoce como matriz de Lagrange y sus elementos corresponden a corchetes de Lagrange . La última identidad también se puede expresar de la siguiente manera:$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$Cabe señalar que la suma en este caso involucra tanto coordenadas generalizadas como momento generalizado.

La invariancia del corchete de Poisson se puede expresar como: ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$, lo que conduce directamente a la condición simpléctica:${\textstyle MJM^{T}=J}$. ^{[ 3 ]}

Un sistema integrable tendrá constantes de movimiento además de la energía. Dichas constantes de movimiento conmutarán con el hamiltoniano bajo el corchete de Poisson. Supongamos que existe alguna función${\displaystyle f(p,q)}$es una constante de movimiento. Esto implica que si${\displaystyle p(t),q(t)}$es una trayectoria o solución a las ecuaciones de movimiento de Hamilton , entonces a lo largo de esa trayectoria:$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$Donde, como se indicó anteriormente, el paso intermedio se sigue aplicando las ecuaciones de movimiento y suponemos que${\displaystyle f}$no depende explícitamente del tiempo. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Liouville . El contenido del teorema de Liouville es que la evolución temporal de una medida dada por una función de distribución${\displaystyle f}$viene dada por la ecuación anterior.

Si el corchete de Poisson de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$desaparece (${\displaystyle \{f,g\}=0}$), entonces${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Se dice que están en involución . Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable ,${\displaystyle n}$Las constantes de movimiento independientes deben estar en involución mutua , donde${\displaystyle n}$es el número de grados de libertad.

Además, según el teorema de Poisson , si dos cantidades${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son explícitamente independientes del tiempo (${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$) constantes de movimiento, por lo que también lo es su corchete de Poisson${\displaystyle \{A,\,B\}}$Esto se deduce de la identidad de Jacobi (véase la sección siguiente). Sin embargo, el teorema de Poisson no siempre proporciona un resultado útil, ya que el número de posibles constantes de movimiento es limitado (${\displaystyle 2n-1}$para un sistema con${\displaystyle n}$grados de libertad), y por lo tanto el resultado puede ser trivial (una constante o una función de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.)

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad simpléctica , es decir, una variedad equipada con una forma simpléctica : una 2-forma${\displaystyle \omega }$que es cerrado (es decir, su derivado exterior)${\displaystyle d\omega }$desaparece) y no degenerado . Por ejemplo, en el tratamiento anterior, tome${\displaystyle M}$ser${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$y tomar $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

Si${\displaystyle \iota _{v}\omega }$es el producto interior o la operación de contracción definida por${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$, entonces la no degeneración es equivalente a decir que para cada forma única${\displaystyle \alpha }$Hay un campo vectorial único${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$de tal manera que${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$Alternativamente,${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$. Entonces si${\displaystyle H}$es una función suave en${\displaystyle M}$, el campo vectorial hamiltoniano${\displaystyle X_{H}}$puede definirse como${\displaystyle \Omega _{dH}}$Es fácil ver que $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

El corchete de Poisson${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$en ( M , ω ) es una operación bilineal sobre funciones diferenciables , definida por${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$; el corchete de Poisson de dos funciones en M es en sí mismo una función en M. El corchete de Poisson es antisimétrico porque: $${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

Además,

Aquí X _g f denota el campo vectorial X _g aplicado a la función f como una derivada direccional, y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$denota la derivada de Lie (totalmente equivalente) de la función f .

Si α es una 1-forma arbitraria en M , el campo vectorial Ω _α genera (al menos localmente) un flujo${\displaystyle \phi _{x}(t)}$satisfaciendo la condición de contorno${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$y la ecuación diferencial de primer orden $${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

El${\displaystyle \phi _{x}(t)}$serán simplestomorfismos ( transformaciones canónicas ) para cada t como función de x si y solo si${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$Cuando esto es cierto, Ω _α se denomina campo vectorial simpléctico . Recordando la identidad de Cartan${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$y d ω = 0 , se deduce que${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$Por lo tanto, Ω _α es un campo vectorial simpléctico si y solo si α es una forma cerrada . Dado que${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$De ello se deduce que todo campo vectorial hamiltoniano X _f es un campo vectorial simpléctico, y que el flujo hamiltoniano consiste en transformaciones canónicas. De (1) anterior, bajo el flujo hamiltoniano${\displaystyle X_{\mathcal {H}}}$, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{\mathcal {H}}f=\{f,{\mathcal {H}}\}.}$$

Este es un resultado fundamental en la mecánica hamiltoniana, que rige la evolución temporal de las funciones definidas en el espacio de fases. Como se señaló anteriormente, cuando${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}=0}$, f es una constante de movimiento del sistema. Además, en coordenadas canónicas (con${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$y${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$), las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal del sistema se derivan inmediatamente de esta fórmula.

También se deduce de (1) que el corchete de Poisson es una derivación ; es decir, satisface una versión no conmutativa de la regla del producto de Leibniz :

El corchete de Poisson está íntimamente conectado al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos. Debido a que la derivada de Lie es una derivación, $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}u}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,u]}\omega +\iota _{u}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

Por lo tanto, si v y u son simplécticos, usando${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega =0={\mathcal {L}}_{u}\omega }$, la identidad de Cartan y el hecho de que${\displaystyle \iota _{u}\omega }$es una forma cerrada, $${\displaystyle \iota _{[v,u]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{u}\omega =d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{u}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{u}\omega )=d(\omega (u,v)).}$$

Resulta que${\displaystyle [v,u]=X_{\omega (u,v)}}$, de modo que

Así, el corchete de Poisson en las funciones corresponde al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos asociados. También hemos demostrado que el corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es un campo vectorial hamiltoniano y, por lo tanto, también es simpléctico. En el lenguaje del álgebra abstracta , los campos vectoriales simplécticos forman una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales suaves en M , y los campos vectoriales hamiltonianos forman un ideal de esta subálgebra. Los campos vectoriales simplécticos son el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita) de simplectomorfismos de M.

Se afirma ampliamente que la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson, $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$ Esto se deduce de la identidad correspondiente para el corchete de Lie de campos vectoriales, pero esto solo es cierto salvo una función localmente constante. Sin embargo, para demostrar la identidad de Jacobi para el corchete de Poisson, basta con mostrar que: $${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$ donde el operador${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$sobre funciones suaves en M se define por${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$y el corchete del lado derecho es el conmutador de operadores,${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$. Por (1) , el operador${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$es igual al operador X _g . La demostración de la identidad de Jacobi se deduce de (3) porque, salvo el factor de -1, el corchete de Lie de campos vectoriales es simplemente su conmutador como operadores diferenciales.

El álgebra de funciones suaves en M, junto con el corchete de Poisson, forma un álgebra de Poisson , ya que es un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, que además satisface la regla de Leibniz (2) . Hemos demostrado que toda variedad simpléctica es una variedad de Poisson , es decir, una variedad con un operador de corchete sobre funciones suaves tal que dichas funciones forman un álgebra de Poisson. Sin embargo, no toda variedad de Poisson surge de esta manera, porque las variedades de Poisson permiten la degeneración, que no puede surgir en el caso simpléctico.

Dado un campo vectorial suave${\displaystyle X}$en el espacio de configuración, deje${\displaystyle P_{X}}$Sea su momento conjugado . La aplicación del momento conjugado es un antihomomorfismo de álgebra de Lie del corchete de Lie al corchete de Poisson: $${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

Este importante resultado merece una breve demostración. Escriba un campo vectorial.${\displaystyle X}$en el punto${\displaystyle q}$en el espacio de configuración como $${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$ dónde${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$es el sistema de coordenadas local. El momento conjugado a${\displaystyle X}$tiene la expresión $${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$ donde el${\displaystyle p_{i}}$son las funciones de momento conjugadas a las coordenadas. Entonces se tiene, para un punto${\displaystyle (q,p)}$en el espacio de fases , $${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

Lo anterior se aplica a todos${\displaystyle (q,p)}$, dando el resultado deseado.

Los corchetes de Poisson se transforman en corchetes de Moyal al cuantizarse ; es decir, se generalizan a un álgebra de Lie diferente, el álgebra de Moyal , o, equivalentemente en el espacio de Hilbert , a conmutadores cuánticos. La contracción del grupo de Wigner-İnönü de estos (el límite clásico, ħ → 0 ) da como resultado el álgebra de Lie mencionada anteriormente.

Para expresarlo de forma más explícita y precisa, el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (con la condición de que el centro sea la unidad). El producto de Moyal es, por lo tanto, un caso especial del producto estrella en el álgebra de símbolos. Una definición explícita del álgebra de símbolos y del producto estrella se ofrece en el artículo sobre el álgebra envolvente universal .

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