campo vectorial simpléctico

En física y matemáticas , un campo vectorial simpléctico es aquel cuyo flujo conserva una forma simpléctica . Es decir, si${\displaystyle (M,\omega )}$es una variedad simpléctica con una variedad suave${\displaystyle M}$y forma simpléctica${\displaystyle \omega }$, entonces un campo vectorial${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$de campos vectoriales suaves en${\displaystyle M}$Es simpléctico si su flujo preserva la estructura simpléctica. En otras palabras, la derivada de Lie del campo vectorial debe anularse:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$. ^{[ 1 ]}

Una definición alternativa es que un campo vectorial es simpléctico si su producto interior con la forma simpléctica es cerrado. ^{[ 1 ]} (El producto interior da una aplicación de campos vectoriales a 1-formas, que es un isomorfismo debido a la no degeneración de una 2-forma simpléctica). La equivalencia de las definiciones se deduce de la naturaleza cerrada de la forma simpléctica y de la fórmula mágica de Cartan para la derivada de Lie en términos de la derivada exterior .

Si el producto interior de un campo vectorial con la forma simpléctica es una forma exacta (y en particular, una forma cerrada), entonces se denomina campo vectorial hamiltoniano . Si el primer grupo de cohomología de De Rham${\displaystyle H^{1}(M)}$de la variedad es trivial, todas las formas cerradas son exactas, por lo que todos los campos vectoriales simplécticos son hamiltonianos. Es decir, la obstrucción a que un campo vectorial simpléctico sea hamiltoniano reside en${\displaystyle H^{1}(M)}$ En particular, los campos vectoriales simplécticos en variedades simplemente conexas son hamiltonianos.

El corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es hamiltoniano, y por lo tanto, tanto el conjunto de campos vectoriales simplécticos como el conjunto de campos vectoriales hamiltonianos forman álgebras de Lie .

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