Identidad jacobina

En matemáticas , la identidad de Jacobi es una propiedad de una operación binaria que describe cómo el orden de evaluación, es decir, la colocación de paréntesis en un producto múltiple, afecta el resultado de la operación. Por el contrario, para operaciones con la propiedad asociativa , cualquier orden de evaluación produce el mismo resultado (no se necesitan paréntesis en un producto múltiple). La identidad recibe su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi , quien la derivó para los corchetes de Poisson en su artículo de 1862 sobre ecuaciones diferenciales. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El producto cruzado${\displaystyle a\times b}$y la operación del soporte de Lie${\displaystyle [a,b]}$ambos satisfacen la identidad de Jacobi. ^{[ 3 ]} En mecánica analítica , la identidad de Jacobi es satisfecha por los corchetes de Poisson . En mecánica cuántica , es satisfecha por conmutadores de operadores en un espacio de Hilbert y, equivalentemente, en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica por el corchete de Moyal .

Dejar${\displaystyle +}$ser una operación binaria y${\displaystyle \times }$sea ​​una operación binaria anticonmutativa y deje que${\displaystyle 0}$ser el elemento de identidad para${\displaystyle +}$. ElLa identidad de Jacobi es

${\displaystyle x\times (y\times z)\ +\ y\times (z\times x)\ +\ z\times (x\times y)\ =\ 0.}$

Observe el patrón en las variables del lado izquierdo de esta identidad. En cada expresión subsiguiente de la forma${\displaystyle a\times (b\times c)}$, las variables${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y${\displaystyle z}$se permutan según el ciclo${\displaystyle x\mapsto y\mapsto z\mapsto x}$Alternativamente, podemos observar que las ternas ordenadas${\displaystyle (x,y,z)}$,${\displaystyle (y,z,x)}$y${\displaystyle (z,x,y)}$son las permutaciones pares de la tripleta ordenada${\displaystyle (x,y,z)}$.

La identidad de Jacobi para el producto vectorial surge del hecho de que el producto vectorial de dos vectores que permanecen fijos con respecto a un sistema de referencia giratorio también gira con ese sistema de referencia. Específicamente, sea${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$sean dos vectores que giran con el sistema de referencia,${\displaystyle D}$sea ​​el operador diferencial relativo del marco, y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$Sea el vector de velocidad angular . Tenemos

${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

También tenemos

${\displaystyle D\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times D\mathbf {b} =\left({\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} -({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )\times \mathbf {b} \right)+\left(\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}-\mathbf {a} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {b} )\right)}$

Ambas ecuaciones dan como resultado el vector cero porque${\displaystyle D(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=D\mathbf {a} =D\mathbf {b} =\mathbf {0} }$. Utilizando la bilinealidad y la anticonmutatividad del producto cruzado, llegamos a

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times {\boldsymbol {\omega }})+\mathbf {b} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} )=\mathbf {0} }$

El ejemplo informativo más simple de un álgebra de Lie se construye a partir del anillo (asociativo) de${\displaystyle n\times n}$matrices, que pueden considerarse como movimientos infinitesimales de un espacio vectorial n -dimensional. La operación × es el conmutador , que mide el fallo de la conmutatividad en la multiplicación de matrices. En lugar de${\displaystyle X\times Y}$Se utiliza la notación de corchetes de Lie:

${\displaystyle [X,Y]=XY-YX.}$

En esa notación, la identidad de Jacobi es:

${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0}$

Eso se puede comprobar fácilmente mediante cálculos.

De forma más general, si A es un álgebra asociativa y V es un subespacio de A que es cerrado bajo la operación de corchetes:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$pertenece a V para todos${\displaystyle X,Y\in V}$, la identidad de Jacobi continúa siendo válida en V . ^{[ 4 ]} Por lo tanto, si una operación binaria${\displaystyle [X,Y]}$satisface la identidad de Jacobi, se puede decir que se comporta como si estuviera dado por${\displaystyle XY-YX}$en algún tipo de álgebra asociativa, aunque en realidad no esté definida de esa manera.

Utilizando la propiedad de antisimetría${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$, la identidad de Jacobi puede reescribirse como una modificación de la propiedad asociativa :

${\displaystyle [[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]~.}$

Si${\displaystyle [X,Z]}$es la acción del movimiento infinitesimal X sobre Z , que puede expresarse como:

La acción de Y seguida de X (operador${\displaystyle [X,[Y,\cdot \ ]]}$), menos la acción de X seguida de Y (operador${\displaystyle ([Y,[X,\cdot \ ]]}$), es igual a la acción de${\displaystyle [X,Y]}$, (operador${\displaystyle [[X,Y],\cdot \ ]}$).

También existe una plétora de identidades de Jacobi graduadas que involucran anticonmutadores.${\displaystyle \{X,Y\}}$, como:

${\displaystyle [\{X,Y\},Z]+[\{Y,Z\},X]+[\{Z,X\},Y]=0,\qquad [\{X,Y\},Z]+\{[Z,Y],X\}+\{[Z,X],Y\}=0.}$

Los ejemplos más comunes de la identidad de Jacobi provienen de la multiplicación de corchetes.${\displaystyle [x,y]}$sobre álgebras de Lie y anillos de Lie . La identidad de Jacobi se escribe como:

${\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0.}$

Debido a que la multiplicación por corchetes es antisimétrica , la identidad de Jacobi admite dos reformulaciones equivalentes. Definiendo el operador adjunto${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:y\mapsto [x,y]}$, la identidad se convierte en:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z].}$

Así, la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie establece que la acción de cualquier elemento sobre el álgebra es una derivación . Esa forma de la identidad de Jacobi también se utiliza para definir la noción de álgebra de Leibniz .

Otro reordenamiento muestra que la identidad de Jacobi es equivalente a la siguiente identidad entre los operadores de la representación adjunta:

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}].}$

Allí, el corchete del lado izquierdo es la operación del álgebra original, el corchete del lado derecho es el conmutador de la composición de operadores, y la identidad establece que el${\displaystyle \mathrm {ad} }$Un mapa que asigna cada elemento a su acción adjunta es un homomorfismo de álgebra de Lie .

• La identidad de Hall-Witt es la identidad análoga para la operación de conmutación en un grupo .

• La siguiente identidad de Jacobi de orden superior se cumple en un álgebra de Lie arbitraria: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{3}],x_{4}]+[[[x_{2},x_{1}],x_{4}],x_{3}]+[[[x_{3},x_{4}],x_{1}],x_{2}]+[[[x_{4},x_{3}],x_{2}],x_{1}]=0.}$

• La identidad de Jacobi es equivalente a la regla del producto , donde el corchete de Lie actúa como producto y como derivada: ${\displaystyle [X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]}$. Si${\displaystyle X,Y}$son campos vectoriales, entonces${\displaystyle [X,Y]}$es literalmente un operador derivado que actúa sobre${\displaystyle Y}$, concretamente la derivada de Lie${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$.

• constantes de estructura
• Identidad de Super Jacobi
• Lema de los tres subgrupos (identidad de Hall-Witt)
• Identidad de producto quíntuple

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Jacobi, CGJ (1862). "Nova Methodus, aequationes diferenciales parciales primi ordinis inter numerum variabilium quemcunque propositas integrandi" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 60 : 1-181.
• Hawkins, Thomas (1991). "Jacobi y el nacimiento de la teoría de grupos de Lie". Arch. Hist. Exact Sci . 42 (3): 187-278. doi : 10.1007/BF00375135 .

• Weisstein, Eric W. "Identidades Jacobi" . MundoMatemático .