Anillo de Poisson

En matemáticas , un anillo de Poisson es un anillo conmutativo sobre el cual una operación binaria anticonmutativa y distributiva${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$Se define la operación que satisface la identidad de Jacobi y la regla del producto . Dicha operación se conoce entonces como el corchete de Poisson del anillo de Poisson.

Muchas operaciones y resultados importantes de la geometría simpléctica y la mecánica hamiltoniana pueden formularse en términos del corchete de Poisson y, por lo tanto, aplicarse también a las álgebras de Poisson . Esta observación es importante para estudiar el límite clásico de la mecánica cuántica : el álgebra no conmutativa de operadores en un espacio de Hilbert tiene como límite singular el álgebra de Poisson de funciones en una variedad simpléctica , y las propiedades del álgebra no conmutativa se transfieren a las propiedades correspondientes del álgebra de Poisson.

El corchete de Poisson debe satisfacer las identidades

• ${\displaystyle [f,g]=-[g,f]}$(simetría antisimétrica)
• ${\displaystyle [f+g,h]=[f,h]+[g,h]}$(distributividad)
• ${\displaystyle [fg,h]=f[g,h]+[f,h]g}$( derivación )
• ${\displaystyle [f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0}$( Identidad jacobiana )

a pesar de${\displaystyle f,g,h}$en el ring.

Un álgebra de Poisson es un anillo de Poisson que también es un álgebra sobre un cuerpo . En este caso, agregue el requisito adicional.

${\displaystyle [sf,g]=s[f,g]}$

para todos los escalares s .

Para cada g en un anillo de Poisson A , la operación${\displaystyle ad_{g}}$definido como${\displaystyle ad_{g}(f)=[f,g]}$es una derivación . Si el conjunto${\displaystyle \{ad_{g}|g\in A\}}$genera el conjunto de derivaciones de A , entonces se dice que A no es degenerado .

Si un anillo de Poisson no degenerado es isomorfo como anillo conmutativo al álgebra de funciones suaves en una variedad M , entonces M debe ser una variedad simpléctica y${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$es el corchete de Poisson definido por la forma simpléctica.

• "Si el álgebra de funciones en una variedad es un anillo de Poisson, entonces la variedad es simpléctica" . PlanetMath .

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