Topología de orden

En matemáticas , una topología de orden es una topología específica que puede definirse en cualquier conjunto totalmente ordenado . Es una generalización natural de la topología de los números reales a conjuntos totalmente ordenados arbitrarios.

Si X es un conjunto totalmente ordenado, la topología de orden en X se genera mediante la subbase de "rayos abiertos".

\{x\mid a<x\}

\{x\mid x<b\}

para todo a, b en X. Siempre que X tenga al menos dos elementos, esto es equivalente a decir que los intervalos abiertos

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

Junto con los rayos mencionados anteriormente, forman una base para la topología del orden. Los conjuntos abiertos en X son aquellos que constituyen la unión de (posiblemente infinitos) intervalos abiertos y rayos.

Un espacio topológico X se denomina ordenable o linealmente ordenable ^{[ 1 ]} si existe un orden total en sus elementos tal que la topología de orden inducida por ese orden y la topología dada en X coinciden. La topología de orden convierte a X en un espacio de Hausdorff completamente normal .

Las topologías estándar en R , Q , Z y N son las topologías de orden.

Topología de orden inducido

Si Y es un subconjunto de X , y X es un conjunto totalmente ordenado, entonces Y hereda un orden total de X. Por lo tanto , el conjunto Y posee una topología de orden, la topología de orden inducido . Como subconjunto de X , Y también posee una topología de subespacio . La topología de subespacio es siempre al menos tan fina como la topología de orden inducido, pero en general no son idénticas.

Por ejemplo, consideremos el subconjunto Y = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} de los racionales . Bajo la topología de subespacio, el conjunto unitario {−1} es abierto en Y , pero bajo la topología de orden inducido, cualquier conjunto abierto que contenga −1 debe contener todos los miembros del espacio excepto un número finito.

Ejemplo de un subespacio de un espacio linealmente ordenado cuya topología no es una topología de orden.

Aunque en la sección anterior se muestra que la topología de subespacio de Y = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N} no está generada por el orden inducido en Y , no obstante es una topología de orden en Y ; de hecho, en la topología de subespacio cada punto está aislado (es decir, el singleton { y } es abierto en Y para cada y en Y ), por lo que la topología de subespacio es la topología discreta en Y (la topología en la que cada subconjunto de Y es abierto), y la topología discreta en cualquier conjunto es una topología de orden. Para definir un orden total en Y que genere la topología discreta en Y , simplemente modifique el orden inducido en Y definiendo −1 como el elemento más grande de Y y manteniendo el mismo orden para los demás puntos, de modo que en este nuevo orden (llamémoslo, por ejemplo, < 1 ₎ tengamos 1/ n < ₁ −1 para todo n ∈ N. Entonces, en la topología de orden en Y generada por < ₁ , cada punto de Y está aislado en Y .

Deseamos definir aquí un subconjunto Z de un espacio topológico linealmente ordenado X tal que ningún orden total en Z genere la topología del subespacio en Z , de modo que la topología del subespacio no sea una topología de orden aunque sea la topología del subespacio de un espacio cuya topología es una topología de orden.

Dejar $Z=\{-1\}\taza (0,1)$ en la línea real . El mismo argumento que antes muestra que la topología del subespacio en Z no es igual a la topología del orden inducido en Z , pero se puede demostrar que la topología del subespacio en Z no puede ser igual a ninguna topología de orden en Z.

A continuación se presenta un argumento. Supongamos, por contradicción, que existe un orden total estricto < en Z tal que la topología de orden generada por < es igual a la topología de subespacio en Z (nótese que no estamos asumiendo que < sea el orden inducido en Z , sino más bien un orden total arbitrariamente dado en Z que genera la topología de subespacio).

Let M = Z \ {−1} = (0,1), then M is connected, so M is dense on itself and has no gaps, in regards to <. If −1 is not the smallest or the largest element of Z, then $(-\infty ,-1)$ and $(-1,\infty )$ separate M, a contradiction. Assume without loss of generality that −1 is the smallest element of Z. Since {−1} is open in Z, there is some point p in M such that the interval (−1,p) is empty, so p is the minimum of M. Then M \ {p} = (0,p) ∪ (p,1) is not connected with respect to the subspace topology inherited from $R$ . On the other hand, the subspace topology of M \ {p} inherited from the order topology of Z coincides with the order topology of M \ {p} induced by <, which is connected since there are no gaps in M \ {p} and it is dense. This is a contradiction.

Left and right order topologies

Several variants of the order topology can be given:

The right order topology^[2] on X is the topology having as a base all intervals of the form $(a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}$ , together with the set X.
The left order topology on X is the topology having as a base all intervals of the form $(-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}$ , together with the set X.

These topologies naturally arise when working with semicontinuous functions, in that a real-valued function on a topological space is lower semicontinuous if and only if it is continuous when the reals are equipped with the right order.^[3] The (natural) compact open topology on the resulting set of continuous functions is sometimes referred to as the semicontinuous topology^[4].

Additionally, these topologies can be used to give counterexamples in general topology. For example, the left or right order topology on a bounded set provides an example of a compact space that is not Hausdorff.

La topología de orden izquierdo es la topología estándar utilizada para muchos propósitos de teoría de conjuntos en un álgebra booleana .

Espacio ordinal

Para cualquier número ordinal λ se pueden considerar los espacios de números ordinales.

[0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}

[0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}

junto con la topología del orden natural. Estos espacios se denominan espacios ordinales . (Nótese que en la construcción usual de números ordinales en teoría de conjuntos tenemos λ = [0, λ ) y λ + 1 = [0, λ ]). Obviamente, estos espacios son de interés principalmente cuando λ es un ordinal infinito; para ordinales finitos, la topología del orden es simplemente la topología discreta .

Cuando λ = ω (el primer ordinal infinito), el espacio [0, ω ) es simplemente N con la topología usual (todavía discreta), mientras que [0, ω ] es la compactificación de un punto de N .

De particular interés es el caso en que λ = ω ₁ , el conjunto de todos los ordinales numerables y el primer ordinal no numerable . El elemento ω ₁ es un punto límite del subconjunto [0, ω ₁ ) aunque ninguna secuencia de elementos en [0, ω ₁ ) tiene al elemento ω ₁ como su límite. En particular, [0, ω ₁ ] no es primeramente numerable . Sin embargo, el subespacio [0, ω ₁ ) sí es primeramente numerable, ya que el único punto en [0, ω ₁ ] sin una base local numerable es ω ₁ . Algunas propiedades adicionales incluyen:

ni [0, ω ₁ ) ni [0, ω ₁ ] son separables o de segundo orden contable.
[0, ω ₁ ] es compacto , mientras que [0, ω ₁ ) es secuencialmente compacto y numerablemente compacto , pero no compacto ni paracompacto.

Topología y ordinales

Los ordinales como espacios topológicos

Cualquier número ordinal puede considerarse un espacio topológico al dotarlo de la topología de orden (de hecho, los ordinales están bien ordenados , y en particular, totalmente ordenados ). Salvo que se especifique lo contrario, esta es la topología habitual que se les atribuye a los ordinales. Además, si aceptamos una clase propia como espacio topológico, podemos considerar de forma similar la clase de todos los ordinales como un espacio topológico con la topología de orden.

El conjunto de puntos límite de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales límite menores que α . Los ordinales sucesores (y el cero) menores que α son puntos aislados en α . En particular, $ω$ (que significa el conjunto $[0, ω)$ ) es un espacio topológico discreto , al igual que cada ordinal finito, pero ningún ordinal mayor que $ω$ es discreto. El ordinal α es compacto como espacio topológico si y solo si α es un ordinal sucesor o el cero.

Los conjuntos cerrados de un ordinal α son aquellos que contienen un ordinal límite menor que α siempre que todo intervalo abierto que contiene el ordinal límite interseca el conjunto.

Cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor. También podemos definir la topología de los ordinales de la siguiente manera inductiva : 0 es el espacio topológico vacío, α +1 se obtiene tomando la compactificación de un punto de α , y para δ un ordinal límite, δ está dotado de la topología límite inductiva . Nótese que si α es un ordinal sucesor, entonces α es compacto, en cuyo caso su compactificación de un punto α +1 es la unión disjunta de α y un punto.

Como espacios topológicos, todos los ordinales son Hausdorff e incluso normales . También son totalmente disconexos (los componentes conexos son puntos), dispersos (cada subespacio no vacío tiene un punto aislado; en este caso, basta con tomar el elemento más pequeño), cero-dimensionales (la topología tiene una base clopen : aquí, un intervalo abierto ( β , γ ) se escribe como la unión de los intervalos clopen ( β , γ ' +1) = [ β +1, γ '] para γ ' < γ ). Sin embargo, en general no son extremalmente disconexos (hay conjuntos abiertos, por ejemplo los números pares de ω, cuya clausura no es abierta).

Los espacios topológicos ω ₁ y su sucesor ω ₁ +1 se utilizan frecuentemente como ejemplos de libros de texto de espacios topológicos no numerables. Por ejemplo, en el espacio topológico ω ₁ +1, el elemento ω ₁ pertenece a la clausura del subconjunto ω _1, aunque ninguna secuencia (de longitud numerable) de elementos en ω ₁ tenga al elemento ω ₁ como límite: un elemento en ω ₁ es un conjunto numerable; para cualquier secuencia de tales conjuntos, la unión de estos conjuntos es la unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables, por lo que sigue siendo numerable; esta unión es una cota superior de los elementos de la secuencia y, por lo tanto, del límite de la secuencia, si lo tiene.

El espacio ω ₁ es numerable en primera dimensión pero no en segunda dimensión , y ω ₁ +1 no posee ninguna de estas dos propiedades, a pesar de ser compacto . También cabe destacar que cualquier función continua de ω ₁ a R (la recta real ) es eventualmente constante: por lo tanto, la compactificación de Stone-Čech de ω ₁ es ω ₁ +1, al igual que su compactificación de un punto (en marcado contraste con ω, cuya compactificación de Stone-Čech es mucho mayor que la de ω).

Secuencias indexadas ordinales

Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una sucesión de elementos de X indexada por α simplemente significa una función de α a X. Este concepto, una sucesión transfinita o sucesión indexada por ordinal , es una generalización del concepto de sucesión . Una sucesión ordinaria corresponde al caso α = ω.

Si X es un espacio topológico, decimos que una secuencia de elementos de X indexada por α converge a un límite x cuando converge como una red , en otras palabras, cuando dado cualquier entorno U de x hay un ordinal β < α tal que x _ι está en U para todo ι ≥ β .

Las secuencias indexadas por ordinales son más potentes que las secuencias ordinarias (indexadas por ω) para determinar límites en topología: por ejemplo, ω ₁ es un punto límite de ω ₁ +1 (porque es un ordinal límite) y, de hecho, es el límite de la secuencia indexada por ω ₁ que asigna a sí misma cualquier ordinal menor que ω ₁ ; sin embargo, no es el límite de ninguna secuencia ordinaria (indexada por ω) en ω ₁ , ya que cualquier límite de este tipo es menor o igual que la unión de sus elementos, que es una unión numerable de conjuntos numerables, por lo tanto, numerable en sí misma.

Sin embargo, las secuencias indexadas ordinalmente no son lo suficientemente potentes como para reemplazar las redes (o filtros ) en general: por ejemplo, en el plano de Tychonoff (el espacio producto). $(\omega _{1}+1)\times (\omega +1)$ ), el punto de la esquina $(\omega _ {1},\omega )$ es un punto límite (está en la clausura) del subconjunto abierto $\omega _{1}\times \omega$ , pero no es el límite de una secuencia de ordinales indexada por orden en $\omega _{1}\times \omega$ .

Véase también

Notas

↑ Lynn, IL (1962). "Espacios linealmente ordenables" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 13 (3): 454– 456. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0138089-6 .
↑ Steen y Seebach, pág. 74
↑ Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4
^ Dal Maso, Gianni (1993). Una introducción a la Γ-convergencia . doi : 10.1007/978-1-4612-0327-8 . ISBN 978-1-4612-6709-6.

Referencias

Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr.; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts.

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[1] Lynn, IL (1962). "Espacios linealmente ordenables" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 13 (3): 454– 456. doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0138089-6 .

[2] Steen y Seebach, pág. 74

[Stromberg-3] Stromberg, pág. 132, Ejercicio 4

[4] Dal Maso, Gianni (1993). Una introducción a la Γ-convergencia . doi : 10.1007/978-1-4612-0327-8 . ISBN 978-1-4612-6709-6.

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