Grupo Mathieu

En teoría de grupos , un tema del álgebra abstracta , los grupos de Mathieu son los cinco grupos simples esporádicos M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ y M ₂₄ introducidos por Émile Mathieu ( 1861 , 1873 ) . Son grupos de permutaciones transitivas múltiples sobre 11, 12, 22, 23 o 24 objetos. Son los primeros grupos simples esporádicos que se descubrieron. 

A veces se utiliza la notación M ₈ , M ₉ , M ₁₀ , M ₂₀ y M ₂₁ para grupos relacionados (que actúan sobre conjuntos de 8, 9, 10, 20 y 21 puntos, respectivamente), es decir, los estabilizadores de puntos en los grupos más grandes. Si bien estos no son grupos simples esporádicos, son subgrupos de los grupos más grandes y pueden usarse para construirlos. John Conway ha demostrado que también se puede extender esta secuencia hacia arriba, obteniendo el grupoide de Mathieu M ₁₃ que actúa sobre 13 puntos. M ₂₁ es simple, pero no es un grupo simple esporádico, ya que es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL(3,4).

Mathieu (1861 , p. 271) introdujo el grupo M ₁₂ como parte de una investigación sobre grupos de permutaciones transitivas múltiples, y mencionó brevemente (en la página 274) el grupo M ₂₄ , indicando su orden. En Mathieu (1873) proporcionó más detalles, incluyendo conjuntos generadores explícitos para sus grupos, pero no era fácil ver en sus argumentos que los grupos generados no fueran simplemente grupos alternantes , y durante varios años la existencia de sus grupos fue objeto de controversia. Miller (1898) incluso publicó un artículo afirmando erróneamente que demostraba que M ₂₄ no existía, aunque poco después, en ( Miller 1900 ), señaló que su demostración era errónea y proporcionó una prueba de que los grupos de Mathieu son simples. Carmichael ( 1931 ) y más tarde Witt ( 1938a , 1938b ) finalmente eliminaron las dudas sobre la existencia de estos grupos, construyéndolos como extensiones transitivas sucesivas de grupos de permutación, así como grupos de automorfismos de sistemas de Steiner .  

Tras los grupos de Mathieu, no se encontraron nuevos grupos esporádicos hasta 1965, cuando se descubrió el grupo J _{1 .}

Mathieu estaba interesado en encontrar grupos de permutaciones múltiples transitivos , que ahora se definirán. Para un número natural k , un grupo de permutaciones G que actúa sobre n puntos es k _- transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a₁ , ..., _aₖ y b₁ , _... , _bₖ con la propiedad de que todos los _aᵢ son distintos y todos los _bᵢ son distintos, existe un elemento g en G que asigna aᵢ a bᵢ para cada i entre 1 y k . Dicho grupo se denomina k -transitivo estricto si el elemento g es único (es _{decir ,} la acción sobre k -tuplas es regular , en lugar de simplemente transitiva).

M ₂₄ es 5-transitivo, y M ₁₂ es 5-transitivo de forma estricta, siendo los demás grupos de Mathieu (simples o no) los subgrupos correspondientes a estabilizadores de m puntos, y por consiguiente de menor transitividad ( M ₂₃ es 4-transitivo, etc.). Estos son los únicos dos grupos 5-transitivos que no son ni grupos simétricos ni grupos alternantes ( Cameron 1992 , p. 139) .

Los únicos grupos 4-transitivos son los grupos simétricos S _k para k al menos 4, los grupos alternantes A _k para k al menos 6 y los grupos de Mathieu M ₂₄ , M ₂₃ , M ₁₂ , y M ₁₁ . ( Cameron 1999 , p. 110) La demostración completa requiere la clasificación de grupos simples finitos , pero algunos casos especiales se conocen desde hace mucho más tiempo.

Es un resultado clásico de Jordan que los grupos simétricos y alternantes (de grado k y k  +  2 respectivamente), y M ₁₂ y M ₁₁ son los únicos grupos de permutación k -transitivos estrictos para k al menos 4. 

Ejemplos importantes de grupos transitivos múltiples son los grupos 2-transitivos y los grupos de Zassenhaus . Los grupos de Zassenhaus incluyen notablemente el grupo lineal general proyectivo de una línea proyectiva sobre un cuerpo finito, PGL(2, F _q ), que es 3-transitivo exacto (véase razón cruzada ) en${\displaystyle q+1}$elementos.

Los grupos de Mathieu se pueden construir de diversas maneras.

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• ATLAS: Grupo Mathieu M ₁₀
• ATLAS: Grupo Mathieu M ₁₁
• ATLAS: Grupo Mathieu M ₁₂
• ATLAS: Grupo Mathieu M ₂₀
• ATLAS: Grupo Mathieu M ₂₁
• ATLAS: Grupo Mathieu M ₂₂
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• Sporadic M12 Una aplicación para iPhone que implementa rompecabezas basados ​​en M ₁₂ , presentados como una permutación de "giro" y una permutación de "intercambio" seleccionable.