Generador de octadas milagrosas

En matemáticas, el Generador de Octadas Milagrosas , o MOG , es una herramienta matemática introducida por Rob T. Curtis ^[1] para estudiar los grupos de Mathieu , el código binario de Golay y la red Leech .

El generador de octadas Miracle es una matriz de 4x6 combinaciones que describe cualquier punto en un espacio de 24 dimensiones. Conserva todas las simetrías y subgrupos máximos del grupo de Mathieu M ₂₄ , es decir, el grupo de mónadas, el grupo de dúos, el grupo de tríadas, el grupo de octadas, el grupo de octernidades, el grupo de sextetos, el grupo de tríos y el grupo de duum. Por lo tanto, se puede utilizar para estudiar todas estas simetrías.

Otro uso del Generador de Octadas Miracle es verificar rápidamente las palabras clave del código binario Golay . Cada elemento del Generador de Octadas Miracle puede almacenar un '1' o un '0', que normalmente se muestran como un asterisco y un espacio en blanco, respectivamente. Cada columna y la fila superior tienen una propiedad conocida como conteo , que es la cantidad de asteriscos en esa línea en particular. Uno de los criterios para que un conjunto de 24 coordenadas sea una palabra clave en el código binario Golay es que los siete conteos tengan la misma paridad . La otra restricción es que las puntuaciones de cada columna formen una palabra en el hexacódigo . La puntuación de una columna puede ser 0, 1, ω o ω-bar, según su contenido. La puntuación de una columna se evalúa mediante las siguientes reglas:

• Si una columna contiene exactamente un asterisco, tiene una puntuación de 0 si reside en la fila superior, 1 si está en la segunda fila, ω para la tercera fila y ω-bar para la fila inferior.
• Complementar simultáneamente cada bit de una columna no afecta su puntuación.
• Complementar el bit de la fila superior tampoco afecta su puntuación.

Una palabra de código se puede derivar únicamente de su fila superior y su puntuación, lo que demuestra que hay exactamente 4096 palabras de código en el código binario Golay.

John Horton Conway desarrolló una matriz de 4 × 3 conocida como MiniMOG . El MiniMOG proporciona la misma función para el grupo Mathieu M ₁₂ y el código Golay ternario que el Miracle Octad Generator para el M ₂₄ y el código Golay binario, respectivamente. En lugar de utilizar un hexacódigo cuaternario, el MiniMOG utiliza un tetracódigo ternario.

• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, Sr.  0920369
• Curtis, RT (1976), "Un nuevo enfoque combinatorio para M ₂₄ ", Actas matemáticas de la Sociedad filosófica de Cambridge , 79 (1): 25–42, doi :10.1017/S0305004100052075, ISSN  0305-0041, MR  0399247

• El generador de octadas milagrosas
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