Multiplicar la acción de grupo transitiva

Un grupo${\displaystyle G}$actúa de forma 2-transitiva sobre un conjunto${\displaystyle S}$si actúa transitivamente sobre el conjunto de pares ordenados distintos${\displaystyle \{(x,y)\in S\times S:x\neq y\}}$. Es decir, suponiendo (sin una pérdida real de generalidad) que${\displaystyle G}$actúa a la izquierda de${\displaystyle S}$, para cada par de pares${\displaystyle (x,y),(w,z)\in S\times S}$con${\displaystyle x\neq y}$y${\displaystyle w\neq z}$, existe un${\displaystyle g\in G}$de tal manera que${\displaystyle g(x,y)=(w,z)}$.

La acción grupal es marcadamente 2 -transitiva si tal${\displaystyle g\in G}$es único.

Un grupo 2-transitivo es un grupo tal que existe una acción grupal que es 2-transitiva y fiel. De manera similar podemos definir un grupo 2 -transitivo estricto .

De forma equivalente,${\displaystyle gx=w}$y${\displaystyle gy=z}$, puesto que la acción inducida sobre el conjunto distinto de pares es${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$.

La definición funciona en general con k reemplazando a 2. Estos grupos de permutaciones transitivos múltiples pueden definirse para cualquier número natural k . Específicamente, un grupo de permutaciones G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a ₁ , ... a _k y b ₁ , ... b _k con la propiedad de que todos los a _i son distintos y todos los b _i son distintos , existe un elemento de grupo g en G que asigna a _i a b _i para cada i entre 1 y k . Los grupos de Mathieu son ejemplos importantes.

Todo grupo es trivialmente 1-transitivo, por su acción sobre sí mismo mediante la multiplicación por la izquierda.

Dejar${\displaystyle S_{n}}$sea ​​el grupo simétrico que actúa sobre${\displaystyle \{1,...,n\}}$, entonces la acción es marcadamente n-transitiva.

El grupo de similitudes n-dimensionales actúa de forma 2-transitiva sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$En el caso${\displaystyle n=1}$esta acción es marcadamente 2-transitiva, pero para${\displaystyle n>1}$No lo es.

El grupo de transformaciones proyectivas n-dimensionales actúa casi de forma aguda (n+2)-transitiva sobre el espacio proyectivo real n-dimensional.${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$. El "casi" se debe a que los (n+2) puntos deben estar en posición lineal general . En otras palabras, las transformaciones proyectivas n-dimensionales actúan transitivamente sobre el espacio de marcos proyectivos de${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$.

Todo grupo 2-transitivo es un grupo primitivo , pero no a la inversa. Todo grupo de Zassenhaus es 2-transitivo, pero no a la inversa. Los grupos 2-transitivos resolubles fueron clasificados por Bertram Huppert y se describen en la lista de grupos lineales finitos transitivos . Los grupos insolubles fueron clasificados por Hering ( 1985 ) utilizando la clasificación de grupos simples finitos y son todos grupos casi simples .

• Multiplicar grupo transitivo

• Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Grupos de permutación , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  163, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94599-6, MR 1409812 
• Hering, Christoph (1985), "Grupos lineales transitivos y grupos lineales que contienen subgrupos irreducibles de orden primo. II", Journal of Algebra , 93 (1): 151–164 , doi : 10.1016/0021-8693(85)90179-6 , ISSN 0021-8693 , MR 0780488  
• Huppert, Bertram (1957), "Zweifach transitive, auflösbare Permutationsgruppen", Mathematische Zeitschrift , 68 : 126– 150, doi : 10.1007/BF01160336 , ISSN 0025-5874 , SEÑOR 0094386  
• Huppert, Bertram; Blackburn, Norman (1982), Grupos finitos. III. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  243, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10633-2, MR 0650245 
• Johnson, Norman L.; Jha, Vikram; Biliotti, Mauro (2007), Handbook of finite translation planes , Pure and Applied Mathematics, vol.  289, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-605-1, MR 2290291