Multiplicación

La multiplicación es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética , siendo las otras la suma , la resta y la división . El resultado de una multiplicación se llama producto . La multiplicación se suele representar con el símbolo de cruz, × , con el punto medio, ⋅ , por yuxtaposición o, en lenguajes de programación, con un asterisco, * . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La multiplicación de números enteros puede considerarse como una suma repetida; es decir, la multiplicación de dos números equivale a sumar tantas copias de uno de ellos, el multiplicando , como la cantidad del otro, el multiplicador . Ambos números pueden denominarse factores . Esto se distingue de los términos , que se suman.

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ veces}}}.}$

Si el primer factor es el multiplicador o el multiplicando puede ser ambiguo o depender del contexto. Por ejemplo, la expresión${\displaystyle 3\times 4}$se puede expresar como "3 veces 4" o "Tres grupos de cuatro", denotando el símbolo de multiplicación con la palabra " de " y se evalúa como${\displaystyle 4+4+4}$donde 3 es el multiplicador, pero también como "3 multiplicado por 4", en cuyo caso 3 se convierte en el multiplicando. ^{[ 3 ]} Una de las propiedades principales de la multiplicación es la propiedad conmutativa, que establece en este caso que sumar 3 copias de 4 da el mismo resultado que sumar 4 copias de 3. Por lo tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta el resultado de la multiplicación. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Las generalizaciones sistemáticas de esta definición básica definen la multiplicación de números enteros (incluidos los números negativos), números racionales (fracciones) y números reales.

La multiplicación también puede visualizarse como el conteo de objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros) o como el cálculo del área de un rectángulo con lados de longitudes dadas. El área de un rectángulo permanece igual independientemente de qué lado se mida primero, debido a la propiedad conmutativa.

El producto de dos medidas (o magnitudes físicas ) constituye un nuevo tipo de medida (o magnitud), generalmente con una unidad de medida derivada . Por ejemplo, al multiplicar las longitudes (en metros o pies) de los dos lados de un rectángulo se obtiene su área (en metros cuadrados o pies cuadrados). Este producto es objeto de análisis dimensional .

La operación inversa de la multiplicación se denomina división . Por ejemplo, dado que 4 multiplicado por 3 es igual a 12, 12 dividido entre 3 es igual a 4. De hecho, la multiplicación por 3, seguida de la división entre 3, da como resultado el número original. La división de un número distinto de 0 entre sí mismo es igual a 1.

Diversos conceptos matemáticos amplían la idea fundamental de la multiplicación. El producto de una sucesión, la multiplicación de vectores, los números complejos y las matrices son ejemplos donde esto se puede observar. Estas construcciones más avanzadas tienden a afectar las propiedades básicas de maneras particulares, como volverse no conmutativas en matrices y algunas formas de multiplicación de vectores, o cambiar el signo de los números complejos.

En aritmética , la multiplicación a menudo se escribe usando el signo de multiplicación (ya sea × o${\displaystyle \times }$) entre los factores (es decir, en notación infija ). ^{[ 6 ]} Por ejemplo,

${\displaystyle 2\times 3=6,}$("dos por tres es igual a seis")

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

El signo de la cruz fue utilizado por primera vez por Edward Wright en 1618 ^{[ 7 ]} . Existen otras notaciones matemáticas para la multiplicación:

• La multiplicación también se denota mediante un punto en la posición central:${\displaystyle 5\cdot 2}$. ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 7 ]} El punto medio fue utilizado por primera vez por GW Leibniz en 1698 ^{[ 9 ]} , porque el signo de multiplicación × se confunde fácilmente con la variable matemática común x . La notación del punto medio, u operador de punto , es ahora estándar en los Estados Unidos y otros países. Cuando el carácter del operador de punto no está disponible, se utiliza el punto medio  ( · ). En la mayoría de los países europeos y otros que usan una coma como separador decimal (y un punto como separador de miles ), el signo de multiplicación o un punto medio se usa para indicar la multiplicación. Históricamente, en el Reino Unido e Irlanda, el punto medio se usaba a veces para el separador decimal para evitar que desapareciera en la línea reglada, y el punto final (punto) se usaba para la multiplicación. Sin embargo, dado que el Ministerio de Tecnología dictaminó en 1968 que el punto se utilizara como separador decimal, ^{[ 10 ]} y el estándar del Sistema Internacional de Unidades (SI) se adoptó ampliamente desde entonces, este uso ahora solo se encuentra en las revistas más tradicionales como The Lancet . ^{[ 11 ]}
• En álgebra , la multiplicación que involucra variables a menudo se escribe como una yuxtaposición (por ejemplo,${\displaystyle xy}$para${\displaystyle x}$veces${\displaystyle y}$o${\displaystyle 5x}$cinco veces${\displaystyle x}$), también llamada multiplicación implícita . La notación también se puede utilizar para cantidades que están rodeadas de paréntesis (por ejemplo,${\displaystyle 5(2)}$,${\displaystyle (5)2}$o${\displaystyle (5)(2)}$(por cinco veces dos). ^{[ 12 ]} Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando el nombre de una variable delante de un paréntesis puede confundirse con el nombre de una función, o en la determinación correcta del orden de las operaciones . ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• En la multiplicación de vectores , existe una distinción entre los símbolos de cruz y punto. El símbolo de cruz generalmente denota el producto vectorial de dos vectores , que da como resultado un vector, mientras que el punto denota el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un escalar .

En programación informática , el asterisco (como en 5*2) sigue siendo la notación más común. Esto se debe a que, históricamente, la mayoría de las computadoras estaban limitadas a conjuntos de caracteres pequeños (como ASCII y EBCDIC ) que carecían de un signo de multiplicación (como ×o ⋅), mientras que el asterisco aparecía en todos los teclados. ^{[ 15 ]} Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN . ^{[ 16 ]} (Incluso los compiladores modernos no reconocen o como operadores de multiplicación).×⋅

Los números que se multiplican se denominan generalmente factores (como en factorización ). El número que se multiplica es el multiplicando , y el número por el que se multiplica es el multiplicador . Normalmente, el multiplicador se coloca primero y el multiplicando en segundo lugar; ^{[ 17 ] [ 18 ]} sin embargo, a veces el primer factor se considera el multiplicando y el segundo el multiplicador. Además, como el resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores, la distinción entre multiplicando y multiplicador solo es útil a un nivel muy elemental y en algunos algoritmos de multiplicación , como la multiplicación larga . Por lo tanto, en algunas fuentes, el término multiplicando se considera sinónimo de factor . ^{[ 19 ]} En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en${\displaystyle 3xy^{2}}$) se denomina coeficiente .

El resultado de una multiplicación se llama producto . Cuando un factor es un número entero , el producto es un múltiplo del otro o del producto de los otros. Por lo tanto,${\displaystyle 2\times \pi }$es un múltiplo de${\displaystyle \pi }$, tal como está${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$. El producto de números enteros es un múltiplo de cada uno de sus factores; por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5 y es múltiplo tanto de 3 como de 5.

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números naturales, números enteros, números racionales, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de dos números naturales

El producto de dos números naturales${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$se define como:

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}.}$$

Producto de dos números complejos

Dos números complejos se pueden multiplicar por la ley distributiva y el hecho de que${\displaystyle i^{2}=-1}$, de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

El significado geométrico de la multiplicación compleja se puede comprender reescribiendo los números complejos en coordenadas polares :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

Además,

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

de la cual se obtiene

${\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

El significado geométrico es que las magnitudes se multiplican y los argumentos se suman.

Muchos métodos comunes para multiplicar números con lápiz y papel requieren una tabla de multiplicar memorizada o consultada de productos de números pequeños (normalmente cualquier par de números del 0 al 9). Sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesino , no lo requiere. El siguiente ejemplo ilustra la "multiplicación larga" (el "algoritmo estándar", la "multiplicación escolar"):

 23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23.958.233 × 0) 71874699 ( = 23.958.233 × 30) 191665864 ( = 23.958.233 × 800) + 119791165 ( = 23.958.233 × 5.000) ——————————————— 139676498390 ( = 139.676.498.390 )

En algunos países como Alemania , la multiplicación anterior se representa de forma similar, pero con el problema original escrito en una sola línea y el cálculo comenzando con el primer dígito del multiplicador: ^{[ 20 ]}

23958233 · 5830 ——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000 ——————————————— 139676498390

Multiplicar números a mano con más de dos decimales es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar estos cálculos, ya que sumar logaritmos equivale a multiplicar. La regla de cálculo permitía multiplicar números rápidamente con una precisión de aproximadamente tres decimales. A principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas , como la Marchant , automatizaron la multiplicación de números de hasta 10 dígitos. Las computadoras y calculadoras electrónicas modernas han reducido considerablemente la necesidad de multiplicar a mano.

Algoritmos históricos

Los métodos de multiplicación quedaron documentados en los escritos de las antiguas civilizaciones egipcia , griega, india y china .

El hueso de Ishango , datado entre 18.000 y 20.000  a. C., podría indicar un conocimiento de la multiplicación en el Paleolítico Superior en África Central , pero esto es especulativo. ^{[ 21 ]}

egipcios

El método egipcio de multiplicación de enteros y fracciones, documentado en el Papiro Matemático de Rhind , se basaba en sumas y duplicaciones sucesivas. Por ejemplo, para hallar el producto de 13 y 21, había que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168. El producto completo se podía hallar sumando los términos correspondientes obtenidos en la secuencia de duplicación: ^{[ 22 ]}

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

babilonios

Los babilonios usaban un sistema de numeración posicional sexagesimal , análogo al sistema decimal actual . ^{[ 23 ]} Por lo tanto, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la relativa dificultad de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilonios empleaban tablas de multiplicar . Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un cierto número principal n : n , 2n , ..., 20n ; seguidos de los múltiplos de 10n : 30n , 40n y 50n . ^{[ 23 ]} Luego , para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53n , solo se necesitaba sumar 50n y 3n calculados a partir de la tabla.

Chino

En el texto matemático Zhoubi Suanjing , fechado antes del 300  a. C., y en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , los cálculos de multiplicación se escribían con palabras, aunque los primeros matemáticos chinos empleaban el cálculo de varillas, que implicaba suma, resta, multiplicación y división con valor posicional. Los chinos ya utilizaban una tabla de multiplicar decimal al final del período de los Reinos Combatientes . ^{[ 24 ]}

Métodos modernos

El método moderno de multiplicación basado en el sistema de numeración indoarábigo fue descrito por primera vez por Brahmagupta . Brahmagupta dio reglas para la suma, la resta, la multiplicación y la división. Henry Burchard Fine , entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton , escribió lo siguiente:

Los indígenas son los inventores no solo del sistema decimal posicional en sí, sino también de la mayoría de los procesos involucrados en el cálculo elemental con dicho sistema. Realizaban la suma y la resta prácticamente igual que hoy en día; la multiplicación la efectuaban de muchas maneras, entre ellas la nuestra, pero la división la realizaban de forma engorrosa. ^{[ 25 ]}

Estos algoritmos de aritmética decimal posicional fueron introducidos en los países árabes por Al Khwarizmi a principios  del siglo IX y popularizados en el mundo occidental por Fibonacci en el siglo XIII. ^{[ 26 ]}

Método de cuadrícula

La multiplicación mediante el método de cuadrícula , o método de la caja, se utiliza en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales, y en algunas zonas de Estados Unidos, para ayudar a comprender cómo funciona la multiplicación de números de varias cifras. Un ejemplo de multiplicación de 34 por 13 sería disponer los números en una cuadrícula de la siguiente manera:

y luego agregar las entradas.

Solo se pueden sumar o restar cantidades del mismo tipo de manera significativa, pero las cantidades de diferentes tipos se pueden multiplicar o dividir sin problemas. Por ejemplo, cuatro bolsas con tres canicas cada una se pueden considerar como: ^{[ 4 ]}

[4 bolsas] × [3 canicas por bolsa] = 12 canicas.

Cuando se multiplican dos mediciones, el producto resultante es de un tipo que depende del tipo de mediciones. La teoría general se describe mediante el análisis dimensional . Este análisis se aplica habitualmente en física, pero también tiene aplicaciones en finanzas y otros campos aplicados.

Un ejemplo común en física es el hecho de que multiplicar la velocidad por el tiempo da como resultado la distancia . Por ejemplo:

50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.

En este caso, las unidades de hora se cancelan, dejando el producto con solo unidades de kilómetro.

Otros ejemplos de multiplicación que involucran unidades incluyen:

2,5 metros × 4,5 metros = 11,25 metros cuadrados

11 metros/segundo × 9 segundos = 99 metros

4,5 residentes por casa × 20 casas = 90 residentes

Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación . Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2×2×2) es "dos elevado a la tercera potencia" y se denota por 2³ ^, un dos con un tres en superíndice . En este ejemplo, el número dos es la base y tres es el exponente . ^{[ 33 ]} En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

indica que se multiplicarán entre sí n copias de la base a . Esta notación se puede usar siempre que se sepa que la multiplicación es asociativa de potencias .

Para los números reales y complejos , que incluyen, por ejemplo, los números naturales , los enteros y las fracciones , la multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad conmutativa

El orden en que se multiplican dos números no importa: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

Propiedad asociativa

Las expresiones que involucran únicamente multiplicación o suma son invariantes con respecto al orden de las operaciones : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

Propiedad distributiva

Se cumple con respecto a la multiplicación sobre la suma. Esta identidad es de suma importancia para simplificar expresiones algebraicas: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

Elemento de identidad

El elemento neutro multiplicativo es 1; cualquier cosa multiplicada por 1 es ella misma. Esta característica del 1 se conoce como la propiedad de identidad : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

Propiedad de 0

Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

Negación

-1 multiplicado por cualquier número es igual al inverso aditivo de ese número:

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$, dónde${\displaystyle (-x)+x=0.}$

−1 por −1 es 1:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

Elemento inverso

Todo número x , excepto el 0 , tiene un inverso multiplicativo ,${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$, de tal manera que${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$. ^{[ 36 ]}

Preservación del orden

La multiplicación por un número positivo conserva el orden :

Para a > 0 , si b > c , entonces ab > ac .

La multiplicación por un número negativo invierte el orden:

Para a < 0 , si b > c , entonces ab < ac .

Los números complejos no tienen un orden que sea compatible tanto con la suma como con la multiplicación. ^{[ 37 ]}

Otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación pueden no tener todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones . ^{[ 34 ]} El teorema de Hurwitz muestra que para los números hipercomplejos de dimensión 8 o superior, incluidos los octoniones , sedeniones y trigintaduoniones , la multiplicación generalmente no es asociativa. ^{[ 38 ]}

En el libro Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basados ​​en sus axiomas para los números naturales. La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

Aquí S ( y ) representa el sucesor de y ; es decir, el número natural que sigue a y . Las diversas propiedades, como la asociatividad, pueden demostrarse a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluyendo la inducción . Por ejemplo, S (0), denotado por 1, es una identidad multiplicativa porque

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

Los axiomas para los enteros generalmente los definen como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en tratar ( x , y ) como equivalente a x − y cuando x e y se tratan como enteros. Por lo tanto, tanto (0,1) como (1,2) son equivalentes a −1. El axioma de multiplicación para enteros definido de esta manera es

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

La regla de que −1 × −1 = 1 se puede deducir entonces de

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

La multiplicación se extiende de forma similar a los números racionales y luego a los números reales .

El producto de enteros no negativos se puede definir mediante la teoría de conjuntos utilizando números cardinales o los axiomas de Peano . Véase más adelante cómo extender esto a la multiplicación de enteros arbitrarios y, posteriormente, de números racionales arbitrarios. El producto de números reales se define en términos de productos de números racionales; véase la construcción de los números reales . ^{[ 39 ]}

Existen muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura de grupo . Estos axiomas son la clausura, la asociatividad y la inclusión de un elemento neutro y sus inversos.

Un ejemplo sencillo es el conjunto de los números racionales distintos de cero . Aquí, el elemento neutro es 1, a diferencia de los grupos de suma, donde el elemento neutro suele ser 0. Cabe destacar que, en el caso de los racionales, el cero debe excluirse porque, bajo la multiplicación, no tiene inverso: no existe ningún número racional que, al multiplicarse por cero, dé como resultado 1. En este ejemplo, el resultado es un grupo abeliano , pero no siempre es así.

Para comprobarlo, consideremos el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada sobre un cuerpo dado . En este caso, es sencillo verificar la clausura, la asociatividad y la inclusión de la matriz identidad (la matriz identidad ) y sus inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que demuestra que este grupo no es abeliano.

Otro hecho que vale la pena destacar es que los números enteros bajo la multiplicación no forman un grupo, incluso si se excluye el cero. Esto se observa fácilmente por la inexistencia de un inverso para todos los elementos distintos de 1 y  -1.

La multiplicación en la teoría de grupos se suele notar mediante un punto o mediante yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre elementos). Así, multiplicar el elemento a por el elemento b podría notarse como${\displaystyle \cdot }$b o ab . Cuando se hace referencia a un grupo mediante la indicación del conjunto y la operación, se utiliza el punto. Por ejemplo, nuestro primer ejemplo podría indicarse mediante${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$. ^{[ 40 ]}

Los números pueden contar (3  manzanas), ordenar (la tercera  manzana) o medir (3,5  pies de altura); a medida que la historia de las matemáticas ha progresado desde contar con los dedos hasta modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se ha generalizado a tipos de números más complicados y abstractos, y a cosas que no son números (como las matrices ) o que no se parecen mucho a los números (como los cuaterniones ).

Números enteros

${\displaystyle N\times M}$es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da la cantidad de elementos en una matriz de N de ancho y M de alto. La generalización a números negativos se puede hacer mediante

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$y

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

Las mismas reglas de signos se aplican a los números racionales y reales.

Números racionales

Generalización a fracciones${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$se obtiene multiplicando los numeradores y los denominadores, respectivamente:${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$Esto da como resultado el área de un rectángulo.${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$alto y${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$ancho, y es igual al número de elementos en una matriz cuando los números racionales resultan ser números enteros. ^{[ 34 ]}

Números reales

Los números reales y sus productos pueden definirse en términos de secuencias de números racionales .

Números complejos

Considerando los números complejos${\displaystyle z_{1}}$y${\displaystyle z_{2}}$como pares ordenados de números reales${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$y${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$, el producto${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$es${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$Esto es lo mismo que para los reales.${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$cuando las partes imaginarias${\displaystyle b_{1}}$y${\displaystyle b_{2}}$son cero.

De forma equivalente, denotando${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$como${\displaystyle i}$,${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$^{[ 34 ]}

Alternativamente, en forma trigonométrica, si${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$, entonces${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$^{[ 34 ]}

Generalizaciones adicionales

Véase Multiplicación en teoría de grupos , más arriba, y grupo multiplicativo , que incluye, por ejemplo, la multiplicación de matrices. Un concepto muy general y abstracto de multiplicación es la operación binaria (segunda) "denotada multiplicativamente" en un anillo . Un ejemplo de anillo que no pertenece a ninguno de los sistemas numéricos anteriores es un anillo de polinomios (los polinomios se pueden sumar y multiplicar, pero no son números en el sentido habitual).

División

A menudo división,${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$, es lo mismo que multiplicar por un inverso,${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$La multiplicación para algunos tipos de "números" puede tener una división correspondiente, sin inversas; en un dominio de integridad x puede no tener inversa.${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$" pero${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$puede definirse. En un anillo de división hay inversos, pero${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$puede ser ambiguo en anillos no conmutativos ya que${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$no tiene por qué ser lo mismo que${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$. ^{[ 41 ]}

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• Multiplicación y operaciones aritméticas en varios sistemas numéricos en cut-the-knot
• Técnicas modernas de multiplicación chinas con ábaco