Multiplicación de vectores

En matemáticas , la multiplicación de vectores puede referirse a una de varias operaciones entre dos (o más) vectores . Puede estar relacionada con cualquiera de los siguientes elementos:

• Producto escalar – también conocido como “producto escalar”, una operación binaria que toma dos vectores y devuelve una cantidad escalar . El producto escalar de dos vectores se puede definir como el producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores. Alternativamente, se define como el producto de la proyección del primer vector sobre el segundo vector y la magnitud del segundo vector. Por lo tanto,$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$
• Producto vectorial – también conocido como "producto de vectores" – una operación binaria entre dos vectores que da como resultado otro vector . El producto vectorial de dos vectores en el espacio tridimensional se define como el vector perpendicular al plano determinado por los dos vectores cuya magnitud es el producto de las magnitudes de los dos vectores y el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, si${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$es el vector unitario perpendicular al plano determinado por vectores${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$,$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\sin \theta \,\mathbf {\hat {n}} .}$$
• Producto exterior o producto cuña: una operación binaria sobre dos vectores que da como resultado un bivector . En el espacio euclidiano tridimensional, el producto cuña${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$tiene la misma magnitud que el producto cruzado${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$(el área del paralelogramo formado por lados${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$) pero se generaliza a espacios afines arbitrarios y productos entre más de dos vectores.
• Producto tensorial – para dos vectores${\displaystyle v\in V}$y${\displaystyle w\in W,}$dónde${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales , su producto tensorial${\displaystyle v\otimes w}$pertenece al producto tensorial${\displaystyle V\otimes W}$de los espacios vectoriales.
• Producto geométrico o producto de Clifford : para dos vectores, el producto geométrico$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$$es una cantidad mixta que consta de un escalar más un bivector. El producto geométrico está bien definido para cualquier multivector como argumentos.
• Un producto bilineal en un álgebra sobre un cuerpo .
• Un corchete de Lie para vectores en un álgebra de Lie .
• Producto de Hadamard : producto elemento a elemento o entrada por entrada de tuplas de coordenadas escalares, donde${\displaystyle (a\odot b)_{i}=a_{i}b_{i}}$.
• Producto externo - dónde${\displaystyle (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )}$con${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{m},\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$da como resultado un${\displaystyle (m\times n)}$matriz.
• Productos triples : productos que involucran tres vectores.
• Productos cuádruples : productos que involucran cuatro vectores.

La multiplicación de vectores tiene múltiples aplicaciones en matemáticas, pero también en otros campos como la física y la ingeniería.

• Multiplicación escalar
• multiplicación de matrices
• Suma de vectores
• relaciones de álgebra vectorial