aritmética lunar

La aritmética lunar , anteriormente llamada aritmética lúgubre , ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una versión de la aritmética en la que las operaciones de suma y multiplicación de dígitos se definen como las operaciones de máximo y mínimo . Así, en la aritmética lunar,

${\displaystyle 2+7=\max\{2,7\}=7}$y${\displaystyle 2\times 7=\min\{2,7\}=2.}$

Las operaciones aritméticas lunares con números no negativos de varias cifras se realizan como en la aritmética habitual, tal como se ilustra en los siguientes ejemplos. El mundo de la aritmética lunar se restringe al conjunto de los enteros no negativos .

976 + 348 ---- 978 (sumando dígitos columna por columna)

 976 × 348 ---- 876 (multiplicando los dígitos de 976 por 8) 444 (multiplicando los dígitos de 976 por 4) 333 (multiplicando los dígitos de 976 por 3) ------ 34876 (sumando dígitos columna por columna)

El concepto de aritmética lunar fue propuesto por David Applegate, Marc LeBrun y Neil Sloane . ^{[ 3 ]}

En la definición general de aritmética lunar, se consideran números expresados ​​en una base arbitraria.${\displaystyle b}$y definen las operaciones aritméticas lunares como las operaciones de máximo y mínimo sobre los dígitos correspondientes a la base elegida. ^{[ 3 ]} Sin embargo, para simplificar, en la siguiente discusión se asumirá que los números se representan utilizando 10 como base .

A continuación se enumeran algunas de las propiedades elementales de las operaciones lunares. ^{[ 3 ]}

1. Las operaciones lunares de suma y multiplicación satisfacen las leyes conmutativa y asociativa .
2. La multiplicación lunar se distribuye sobre la suma lunar.
3. El dígito 0 es el elemento neutro en la suma lunar. Ningún número distinto de cero tiene inverso en la suma lunar.
4. El dígito 9 es el elemento neutro en la multiplicación lunar. Ningún número distinto de 9 tiene inverso en la multiplicación lunar.

En la aritmética usual, un número primo se define como un número${\displaystyle p}$cuya única factorización posible es${\displaystyle 1\times p}$. De forma análoga, en la aritmética lunar, un número primo se define como un número${\displaystyle m}$cuya única factorización es${\displaystyle 9\times n}$donde 9 es el elemento neutro multiplicativo que corresponde a 1 en la aritmética usual. En consecuencia, los siguientes son los primeros números primos en la aritmética lunar:

${\displaystyle 19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,}$

${\displaystyle 309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\dots }$

Cada número de la forma${\displaystyle 10\ldots (n{\text{ ceros}})\ldots 09}$, dónde${\displaystyle n}$es arbitrario, es un número primo en la aritmética lunar. Dado que${\displaystyle n}$es arbitrario esto demuestra que hay un número infinito de números primos en la aritmética lunar.

Existe una relación interesante entre la operación de formar conjuntos suma de subconjuntos de enteros no negativos y la multiplicación lunar en números binarios . Sea${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$sean subconjuntos no vacíos del conjunto${\displaystyle N}$de enteros no negativos. El conjunto suma${\displaystyle A+B}$se define por

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.}$

Al conjunto${\displaystyle A}$podemos asociar un número binario único${\displaystyle \beta (A)}$de la siguiente manera. Sea${\displaystyle m=\max(A)}$. Para${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m}$definimos

${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i\in A\\0&{\text{if }}i\notin A\end{cases}}}$

y luego definimos

${\displaystyle \beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.}$

Se ha demostrado que

${\displaystyle \beta (A+B)=\beta (A)\times \beta (B)}$donde el "${\displaystyle \times }$" a la derecha denota la multiplicación lunar en números binarios. ^{[ 4 ]}

Un cuadrado mágico de cuadrados es un cuadrado mágico formado por cuadrados de números. Se desconoce si existen cuadrados mágicos de cuadrados de orden 3 con la suma y multiplicación usuales de enteros. Sin embargo, se ha observado que, si consideramos las operaciones aritméticas lunares, existe una cantidad infinita de cuadrados mágicos de cuadrados de orden 3. He aquí un ejemplo: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}44^{2}&38^{2}&45^{2}\\46^{2}&0^{2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{matrix}}}$

• aritmética tropical

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