multiplicación por método de cuadrícula

El método de cuadrícula se puede introducir pensando en cómo sumar el número de puntos en una matriz regular, por ejemplo, el número de cuadrados de chocolate en una barra de chocolate. A medida que el tamaño del cálculo aumenta, resulta más fácil comenzar a contar de diez en diez y representar el cálculo como un recuadro que se puede subdividir, en lugar de dibujar multitud de puntos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En el nivel más básico, se podría pedir a los alumnos que apliquen el método a un cálculo como 3 × 17. Al descomponer ("particionar") el 17 como (10 + 7), esta multiplicación desconocida se puede resolver como la suma de dos multiplicaciones simples:

entonces 3 × 17 = 30 + 21 = 51.

Esta es la estructura de "cuadrícula" o "cajas" que da nombre al método de multiplicación.

Ante una multiplicación ligeramente mayor, como 34 × 13, se puede animar inicialmente a los alumnos a que también la dividan en decenas. Así, expandiendo 34 como 10 + 10 + 10 + 4 y 13 como 10 + 3, el producto 34 × 13 podría representarse de la siguiente manera:

Sumando el contenido de cada fila, es evidente que el resultado final del cálculo es (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.

Una vez que los alumnos se familiarizan con la idea de dividir el producto total en contribuciones de casillas separadas, es un paso natural agrupar las decenas, de modo que el cálculo 34 × 13 se convierte en

dando la adición

entonces 34 × 13 = 442.

Esta es la forma más habitual de realizar un cálculo en cuadrícula. En países como el Reino Unido, donde la enseñanza del método de cuadrícula es común, los alumnos pueden dedicar un tiempo considerable a realizar cálculos como el anterior de forma regular, hasta que el método les resulte completamente cómodo y familiar.

El método de la cuadrícula se extiende fácilmente a cálculos que involucran números más grandes.

Por ejemplo, para calcular 345 × 28, el estudiante podría construir la cuadrícula con seis multiplicaciones sencillas.

Para hallar la respuesta, 6900 + 2760 = 9660.

Sin embargo, llegado este punto (al menos según la práctica docente estándar actual en el Reino Unido), es posible que se empiece a animar a los alumnos a que realicen dicho cálculo utilizando la forma tradicional de multiplicación larga, sin necesidad de dibujar una cuadrícula.

La multiplicación larga tradicional se puede relacionar con una multiplicación en cuadrícula en la que solo uno de los números se divide en decenas y unidades para ser multiplicadas por separado:

El método tradicional es, en definitiva, más rápido y mucho más compacto; pero requiere dos multiplicaciones significativamente más difíciles con las que los alumnos pueden tener dificultades al principio . En comparación con el método de la cuadrícula, la multiplicación larga tradicional también puede ser más abstracta y menos evidente , por lo que a algunos alumnos les resulta más difícil recordar qué hacer en cada paso y por qué . Por lo tanto, se puede animar a los alumnos durante un tiempo a utilizar el método de la cuadrícula, más sencillo, junto con el método de multiplicación larga tradicional, más eficiente, como método de verificación y de respaldo.

Aunque no se suele enseñar como método estándar para multiplicar fracciones , el método de la cuadrícula se puede aplicar fácilmente a casos sencillos en los que es más fácil hallar un producto descomponiéndolo.

Por ejemplo, el cálculo 2 ⁠ 1 / 2 ⁠ × 1 ⁠ 1 / 2 ⁠ se puede realizar utilizando el método de cuadrícula.

para encontrar que el producto resultante es 2 + 1/2 + 1 + 1/4 = 3 3/4​

El método de la cuadrícula también se puede utilizar para ilustrar la multiplicación de un producto de binomios , como ( a + 3)( b + 2), un tema estándar en álgebra elemental (aunque no se suele ver hasta la escuela secundaria ):

Por lo tanto, ( a + 3)( b + 2) = ab + 3b + 2a + 6 .

Las CPU de 32 bits generalmente carecen de una instrucción para multiplicar dos enteros de 64 bits. Sin embargo, la mayoría permite obtener el resultado completo de 64 bits de una multiplicación entre dos enteros de 32 bits, una "multiplicación larga". Esto generalmente implica generar salidas en dos registros separados (como mul r/m32se introdujo con el 80386 y umullse agregó en el conjunto de instrucciones ARMv4t ).

En las plataformas que admiten estas instrucciones, se utiliza una versión ligeramente modificada del método de cuadrícula. En lugar de usar múltiplos de 10, usamos múltiplos de 2³² ^, es decir 0x100000000, . Un entero de 64 bits se puede dividir en dos de estos números partiéndolo por la mitad.

Además, la multiplicación de dos enteros de 64 bits técnicamente produce un resultado de 128 bits. Si solo se necesitan los 64 bits inferiores (como en este caso), se puede ahorrar una multiplicación de 32 bits. Esto se debe a que el método de cuadrícula se basa en el hecho de que${\displaystyle (Nb+a)(Nd+c)=ac+N(bc+ad)+N^{2}(bd)}$. Porque N = 2 ³² , N ² = 2 ⁶⁴ , por lo que cualquier resultado en${\displaystyle bd}$quedarían fuera del rango de 64 bits. Esto también significa que solo se necesita una "multiplicación larga" de 32 bits, ya que los 32 bits superiores de bc y ad también quedarían fuera del rango.

Esta sería la rutina en C:

#include <stdint.h>uint64_t multiply ( uint64_t ab , uint64_t cd ) { /* Estos desplazamientos y máscaras suelen ser implícitos, ya que los enteros de 64 bits  * a menudo se pasan como 2 registros de 32 bits. */ uint32_t b = ab >> 32 , a = ab & 0xFFFFFFFF ; uint32_t d = cd >> 32 , c = cd & 0xFFFFFFFF ;/* multiplicar con desbordamiento */ uint64_t ac = ( uint64_t ) a * ( uint64_t ) c ; uint32_t high = ac >> 32 ; /* desbordamiento */ uint32_t low = ac & 0xFFFFFFFF ;/* Multiplicación de 32 bits y suma a los bits altos */ high += ( a * d ); /* suma ad */ high += ( b * c ); /* suma bc */ /* Multiplica por 0x100000000 (mediante desplazamiento a la izquierda) y suma a los bits bajos con una operación OR binaria. */ return (( uint64_t ) high << 32 ) | low ; }

Esta sería la rutina en lenguaje ensamblador ARM:

multiplicar: ; a = r0 ; b = r1 ; c = r2 ; d = r3 push { r4 , lr } ; copia de seguridad de r4 y lr en la pila umull r12 , lr , r2 , r0 ; multiplica r2 y r0, almacena el resultado en r12 y el desbordamiento en lr mla r4 , r2 , r1 , lr ; multiplica r2 y r1, suma lr y almacena en r4 mla r1 , r3 , r0 , r4 ; multiplica r3 y r0, suma r4 y almacena en r1 ; El valor se desplaza implícitamente a la izquierda porque los ; bits altos de un entero de 64 bits se devuelven en r1. mov r0 , r12 ; Establece los bits bajos del valor de retorno en r12 (ac) pop { r4 , lr } ; restaura r4 y lr de la pila bx lr ; devuelve los bits bajos y altos en r0 y r1 respectivamente