Máximo y mínimo

En análisis matemático , el máximo y el mínimo ^{[ a ]} de una función son, respectivamente, el mayor y el menor valor que toma la función. Conocidos genéricamente como extremos , ^{[ b ]} pueden definirse dentro de un rango dado (los extremos locales o relativos ) o en todo el dominio (los extremos globales o absolutos ) de una función. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la adecuación , para encontrar los máximos y mínimos de las funciones.

Según la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son, respectivamente, el elemento mayor y el menor del conjunto. Los conjuntos infinitos no acotados , como el conjunto de los números reales , no tienen mínimo ni máximo.

En estadística , el concepto correspondiente es el máximo y el mínimo de la muestra .

Una función de valor real f definida en un dominio X tiene un punto máximo global (o absoluto ).en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X . De manera similar, la función tiene un punto mínimo global (o absoluto )en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X . El valor de la función en un punto máximo se llamavalor máximo de la función, denotado${\displaystyle \max(f(x))}$y el valor de la función en un punto mínimo se llamavalor mínimo de la función, (denotado${\displaystyle \min(f(x))}$(para mayor claridad). Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{0}\in X}$es un punto máximo global de función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$si${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición del punto mínimo global también procede de forma similar.

Si el dominio X es un espacio métrico , entonces se dice que f tiene un punto máximo local (o relativo ).en el punto x ^∗ , si existe algún ε > 0 tal que f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X dentro de una distancia ε de x ^∗ . De manera similar, la función tiene un punto mínimo local.en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X dentro de una distancia ε de x ^∗ . Se puede usar una definición similar cuando X es un espacio topológico , ya que la definición anterior se puede reformular en términos de vecindades. Matemáticamente, la definición dada se escribe de la siguiente manera:

Dejar${\displaystyle (X,d_{X})}$ser un espacio métrico y función${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$. Entonces${\displaystyle x_{0}\in X}$es un punto máximo local de la función${\displaystyle f}$si${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$de tal manera que${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición del punto mínimo local también puede proceder de forma similar.

En ambos casos, tanto a nivel global como local, el concepto de unaSe puede definir un extremo estricto . Por ejemplo, x^∗es unpunto máximo global estricto si para todoxenXcon x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ), yx^∗es unUn punto es un máximo local estricto si existe algún ε > 0tal que, para todoxenXdentro de una distanciaεdex^∗con x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ). Nótese que un punto es un máximo global estricto si y solo si es el único máximo global, y de forma similar para los puntos mínimos.

Una función continua de valores reales con un dominio compacto siempre tiene un punto máximo y un punto mínimo. Un ejemplo importante es una función cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado de números reales (véase la gráfica anterior).

El objetivo de la optimización matemática es encontrar máximos y mínimos globales . Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces, por el teorema del valor extremo , existen máximos y mínimos globales. Además, un máximo (o mínimo) global debe ser un máximo (o mínimo) local en el interior del dominio, o bien debe estar en su frontera. Por lo tanto, un método para encontrar un máximo (o mínimo) global consiste en considerar todos los máximos (o mínimos) locales en el interior y también los máximos (o mínimos) de los puntos en la frontera, y tomar el mayor (o menor) valor.

Para funciones diferenciables , el teorema de Fermat establece que los extremos locales en el interior de un dominio deben ocurrir en puntos críticos (o puntos donde la derivada es igual a cero). ^{[ 4 ]} Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos. A menudo se puede distinguir si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos mediante el criterio de la primera derivada , el criterio de la segunda derivada o el criterio de derivadas de orden superior , siempre que exista suficiente diferenciabilidad. ^{[ 5 ]}

Para cualquier función que se defina por partes , se encuentra un máximo (o mínimo) hallando el máximo (o mínimo) de cada parte por separado y luego viendo cuál es el mayor (o el menor).

Como ejemplo práctico, ^{[ 6 ]} supongamos una situación en la que alguien tiene${\displaystyle 200}$pies de cerca y está tratando de maximizar el área cuadrada de un recinto rectangular, donde${\displaystyle x}$es la longitud,${\displaystyle y}$es el ancho, y${\displaystyle xy}$es la zona:

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

La derivada con respecto a${\displaystyle x}$es:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Establecer esto igual a${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

revela que${\displaystyle x=50}$es nuestro único punto crítico . Ahora recuperamos los puntos finales determinando el intervalo al que${\displaystyle x}$está restringido. Dado que el ancho es positivo, entonces${\displaystyle x>0}$y desde entonces${\displaystyle x=100-y}$, eso implica que${\displaystyle x<100}$. Insertar punto crítico${\displaystyle 50}$, así como los puntos finales${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 100}$, en${\displaystyle xy=x(100-x)}$y los resultados son${\displaystyle 2500,0,}$y${\displaystyle 0}$respectivamente.

Por lo tanto, la mayor área alcanzable con un rectángulo de${\displaystyle 200}$pies de cercado es${\displaystyle 50\times 50=2500}$. ^{[ 6 ]}

Para funciones de más de una variable, se aplican condiciones similares. Por ejemplo, en la figura (ampliable) de la derecha, las condiciones necesarias para un máximo local son similares a las de una función con una sola variable. Las primeras derivadas parciales con respecto a z (la variable que se va a maximizar) son cero en el máximo (el punto brillante en la parte superior de la figura). Las segundas derivadas parciales son negativas. Estas son solo condiciones necesarias, no suficientes, para un máximo local, debido a la posibilidad de un punto de silla . Para usar estas condiciones para calcular un máximo, la función z también debe ser diferenciable en todo su intervalo. El criterio de la segunda derivada parcial puede ayudar a clasificar el punto como un máximo relativo o un mínimo relativo. En cambio, existen diferencias sustanciales entre las funciones de una variable y las funciones de más de una variable en la identificación de extremos globales. Por ejemplo, si una función diferenciable acotada f definida en un intervalo cerrado en la recta real tiene un único punto crítico, que es un mínimo local, entonces también es un mínimo global (use el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrar esto por contradicción ). En dos o más dimensiones, este argumento falla. Esto se ilustra con la función

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

cuyo único punto crítico está en (0,0), que es un mínimo local con f (0,0)  =  0. Sin embargo, no puede ser un mínimo global, porque f (2,3)  =  −5.

Si el dominio de una función para la cual se busca un extremo consiste en funciones (es decir, si se busca un extremo de un funcional ), entonces el extremo se encuentra utilizando el cálculo de variaciones .

Los máximos y mínimos también se pueden definir para conjuntos. En general, si un conjunto ordenado S tiene un elemento máximo m , entonces m es un elemento maximal del conjunto, también denotado como${\displaystyle \max(S)}$Además, si S es un subconjunto de un conjunto ordenado T y m es el mayor elemento de S con (respecto al orden inducido por T ), entonces m es una cota superior mínima de S en T. Resultados similares se cumplen para el elemento mínimo , el elemento mínimo y la mayor cota inferior . La función de máximo y mínimo para conjuntos se utiliza en bases de datos y se puede calcular rápidamente, ya que el máximo (o mínimo) de un conjunto se puede calcular a partir de los máximos de una partición; formalmente, son funciones de agregación autodescomponibles .

En el caso de un orden parcial general , el elemento menor (es decir, aquel que es menor que todos los demás) no debe confundirse con el elemento mínimo (ninguno es menor). Del mismo modo, el elemento máximo de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es una cota superior del conjunto que está contenida dentro del conjunto, mientras que el elemento máximo m de un poset A es un elemento de A tal que si m ≤ b (para cualquier b en A ), entonces m = b . Cualquier elemento menor o máximo de un poset es único, pero un poset puede tener varios elementos mínimos o máximos. Si un poset tiene más de un elemento máximo, estos elementos no serán comparables entre sí.

En un conjunto o cadena totalmente ordenado , todos los elementos son mutuamente comparables, por lo que dicho conjunto puede tener como máximo un elemento mínimo y como máximo un elemento máximo. Entonces, debido a la comparabilidad mutua, el elemento mínimo será también el menor, y el elemento máximo será también el mayor. Por lo tanto, en un conjunto totalmente ordenado, podemos usar simplemente los términos mínimo y máximo .

Si una cadena es finita, siempre tendrá un máximo y un mínimo. Si es infinita, no necesariamente tendrá uno. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales no tiene máximo, aunque sí tiene un mínimo. Si una cadena infinita S es acotada, su clausura Cl ( S ) ocasionalmente tiene un mínimo y un máximo, que se denominan , respectivamente, mayor cota inferior y menor cota superior del conjunto S.

• Prueba de derivada
• Ínfimo y supremo
• Limitar lo superior y limitar lo inferior
• identidad de máximos y mínimos
• Equilibrio mecánico
• México (matemáticas)
• Punto de silla
• Máximo y mínimo de la muestra

• El trabajo de Thomas Simpson sobre Máximos y Mínimos en Convergence.
• Aplicación de máximos y mínimos con subpáginas de problemas resueltos.
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). «Máximas y Mínimas»  . Enciclopedia Británica . vol.  17 (11ª  ed.). págs. 918-920 .